ジョルダン標準形・テンソル代数

90問 • 5ヶ月前

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問題一覧

2つのn次正方行列AとBが共役であるとは、どのような関係を指しますか？

B=P−1AP となる正則行列Pが存在する

行列Aの固有多項式 Φ(t,A) の正しい定義はどれですか？

det(tI−A)

ケーリー・ハミルトンの定理が主張している内容はどれですか？

固有多項式に行列自身を代入するとゼロ行列になる

線型変換Aが対角化可能であるための必要十分条件はどれですか？

Aの固有ベクトルからなる基底が存在する

ある自然数kに対して Nk=0 となる線型変換Nを何と呼びますか？

ベキ零変換

任意の線型変換Aを A = S + N（Sは半単純、Nはベキ零、SN=NS）と一意的に分解することを何と呼びますか？

Jordan分解

体Kが代数的閉体（例えば複素数体）である場合、K上の任意の線型変換について正しい記述はどれですか？

Jordan標準形を持つ

行列Aの最小多項式が (t−2)2(t−3) であるとき、AのJordan標準形としてあり得ないものはどれですか？

J(2,1)⊕J(2,1)⊕J(3,1)

実数行列Aが実数でない固有値 α=a+bi を持つとき、必ず固有値となるものはどれですか？

αˉ=a−bi

線型変換Aが半単純であるための、最小多項式に関する条件はどれですか？

最小多項式が重根を持たない（分離的である）

t行列の基本変形に含まれない操作はどれですか？

1つの行に多項式 f(t) を掛ける

行列Aの特性行列 tI - A の最後の単因子 en(t) は、Aのどの不変量と一致しますか？

最小多項式

2つのn次正方行列AとBが共役であるための、単因子論における必要十分条件はどれですか？

tI - A と tI - B の単因子が一致する

有理標準形の特徴として正しいものはどれですか？

行列の成分の四則演算と最大公約数を求める操作だけで得られる

tI−A の単純単因子が (t−2)2,(t−2),(t−3) である行列AのJordan標準形はどれですか？

J(2,2)⊕J(2,1)⊕J(3,1)

単項イデアル整域（PID）の定義として正しいものはどれですか？

任意のイデアルがただ一つの元で生成される整域

次のうち、単項イデアル整域でないものはどれですか？

2変数多項式環 K[x, y]

単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理が保証することは何ですか？

任意の加群が巡回加群の直和に分解できること

t行列A(t)のk次行列式因子 dk(t) とはどのように定義されますか？

A(t)のk次のすべての小行列式の最大公約多項式

ある行列の相似不変式（単因子）が (1,t−1,(t−1)(t−2)) であるとき、その行列の固有多項式と最小多項式はそれぞれどれですか？

固有多項式: (t−1)2(t−2), 最小多項式: (t−1)(t−2)

行列Aのべき乗 Am を計算する際、Jordan標準形J（ただし A=PJP−1）を利用する利点は何ですか？

Jm の計算が容易であるため、Am=PJmP−1 として求められる

線型差分方程式 x(m+1)=Ax(m) の一般解は、初期値 x(0) を用いてどのように表せますか？

x(m)=Amx(0)

フィボナッチ数列 x(m+2)=x(m+1)+x(m) は、どのような行列Aを用いた差分方程式に変換できますか？

A=(1110)

行列方程式 AX=XB について、AとBが共通の固有値を持たない場合、解Xはどうなりますか？

解はゼロ行列 0 のみである

行列Aと可換な行列X全体の集合 {A}′ をAの交換団と呼びます。では、{A}′ の交換団 {A}′′（再交換団）は何と一致しますか？

Aの多項式で書ける行列の全体 K[A]

行列 A=J(λ,p), B=J(μ,q) のとき、方程式 AX=XB の解空間の次元はいくつですか？ (λ,μ∈K)

λ=μ のとき min(p,q), λ=μ のとき 0

A=(200−1) のとき、Am はどうなりますか？

(2m00(−1)m)

n 階線型同次差分方程式 x(m+n)+⋯+a0x(m)=0 の解空間の次元はいくつですか？

A=J(0,3) のとき、A2 はどの行列ですか？

001000000

行列Aの再交換団 {A}′′ がA自身と一致するのはどのような場合ですか？

一般には成り立たない

行列の指数関数 expA の定義として正しいものはどれですか？

∑m=0∞m!Am

定数係数線型常微分方程式 dtdx=Ax の解 x(t)（ただし初期値 x(0)=c）はどのように表せますか？

x(t)=(exptA)c

A=(0−tt0) のとき、expA はどのようになりますか？

(cost−sintsintcost)

limm→∞Am=0 となるための必要十分条件は、Aの任意の固有値αについて何が成り立つことですか？

∣α∣<1

A=(2000.5) とするとき、limm→∞Am はどうなりますか？

(∞000) (発散する)

行列AとBが可換（AB=BA）であるとき、指数関数について成り立つ法則はどれですか？

exp(A+B)=expA⋅expB

微分方程式 dtdx=Ax のすべての解が t→∞ で0に収束するための条件は、Aの任意の固有値αについて何が成り立つことですか？

Re(α)<0

非負行列が持つ特別な固有値を何と呼びますか？

Frobenius根

A=(1011) とするとき、limm→∞Am はどうなりますか？

発散する

指数関数について常に成り立つ等式はどれですか？

det(expA)=exp(trA)

行列Aの解素 R(z,A) の定義として正しいものはどれですか？

(zI−A)−1

解素 R(z,A) が極を持つ点 z は、行列Aの何に対応しますか？

固有値

f(A)=2πi1∫Cf(z)R(z,A)dz という定義において、積分路Cが満たすべき条件はどれですか？

Aのすべての固有値を内部に含む

Aの固有値αが最小多項式のk位の根である場合、解素 R(z,A) はz=αにおいてどのような特異点になりますか？

k位の極

固有値αにおける解素 R(z,A) の留数 Resz=αR(z,A) は何に等しくなりますか？

一般固有空間 V0(α) への射影作用素

A=(λ00μ) のとき、R(z,A) はどうなりますか？

((z−λ)−100(z−μ)−1)

z,w がAの解素集合に属するとき、成り立つ解素等式はどれですか？

R(z)−R(w)=(w−z)R(z)R(w)

行列Aのすべての固有値が円 ∣z∣<1 の内部にあるとき、f(z)=∑m=0∞zm=(1−z)−1 を適用すると、f(A) は何になりますか？

(I−A)−1

A=J(α,2) のとき、R(z,A) はどうなりますか？

z−α1I+(z−α)21(A−αI)

Aのスペクトル半径 ρ(A)=sup{∣λ∣∣λ∈σ(A)} とするとき、べき級数 ∑m=0∞cmAm が収束するためには、対応する複素関数の収束半径Rがどのような条件を満たす必要がありますか？

R>ρ(A)

2つのベクトル空間V, Wのテンソル積 V⊗W を特徴づける最も重要な性質は何ですか？

V×W 上の任意の双線型写像を線型化する普遍性

dimV=n,dimW=m のとき、V⊗W の次元はいくつですか？

V∗⊗W はどの線型空間と自然に同型ですか？（$V^*$はVの双対空間）

$Hom(V, W)$

F1:V1→W1, F2:V2→W2 を線型写像とし、それぞれ行列A, Bで表現されるとき、F1⊗F2 を表現する行列は何ですか？

A⊗B （クロネッカー積）

V1⊗(V2⊗V3) と (V1⊗V2)⊗V3 の関係について正しい記述はどれですか？

自然な同型が存在し、同一視できる（結合法則）

V⊗W の任意の元が、v⊗w （v∈V,w∈W）の形で書けるという記述は正しいですか？

間違い。一般にはそのような元の有限個の和として書かれる

k を体とするとき、k⊗V はどの空間と自然に同型ですか？

A=(12),B=(34) のとき、そのテンソル積（クロネッカー積） A⊗B はどうなりますか？

(3468)

VのR（実数体）からC（複素数体）への係数拡大 VC は、どのテンソル積で表現できますか？

V⊗RC

F∈Hom(V1,W1), G∈Hom(V2,W2) のテンソル積について、tr(F⊗G) は何に等しくなりますか？

tr(F)⋅tr(G)

p個のベクトル空間Vとq個の双対空間V*のテンソル積 Tqp(V) の元を何と呼びますか？

(p,q)型テンソル

ベクトル空間V上の線型変換は、何型のテンソルとみなせますか？

(1,1)型

物理学などで用いられる「基底変換に伴い、特定の法則で変換される成分の組」というテンソルの定義は、本書の定義において何に相当しますか？

テンソルの成分

(1,1)型テンソルの縮約を行うと、何型のテンソルになりますか？

(0,0)型（スカラー）

添字の入れ替えに対して不変であるテンソルを何と呼びますか？

対称テンソル

すべての階数の反変テンソル空間の直和に、テンソル積を乗法として定義した代数系を何と呼びますか？

テンソル代数

n次元ベクトル空間V上の対称代数 S(V) は、何と同型ですか？

n変数多項式環 k[X1,…,Xn]

Tqp(V) の双対空間 (Tqp(V))∗ は、どのテンソル空間と同型ですか？

Tpq(V)

t∈T2(V) が交代テンソルであるとは、置換 σ=(12) に対してどのような性質を持つことですか？

Pσ(t)=sgn(σ)t

基底変換の行列式が変換則に現れるテンソルを、特に何と呼びますか？

相対テンソル（テンソル密度）

外積 ∧ の基本的な性質として正しいものはどれですか？

v∧w=−w∧v

n次元ベクトル空間Vについて、外積代数のp階の成分 Ap(V) の次元が0になるのはどのような場合ですか？

p>n

n個のベクトル x1,…,xn と基底 e1,…,en の関係式 x1∧⋯∧xn=λ(e1∧⋯∧en) において、スカラー λ は何に等しいですか？

行列 X の行列式

v1,…,vp が線型独立であるための必要十分条件はどれですか？

v1∧⋯∧vp=0

分解可能なp-ベクトル z=v1∧⋯∧vp が幾何学的に表現するものは何ですか？

Vのp次元部分空間（向きと大きさを含む）

n次元空間Vにおいて、An(V) の次元はいくつですか？

v,w∈V とするとき、v∧w は何ですか？

21(v⊗w−w⊗v)

e1,e2,e3 が基底のとき、e2∧e1∧e3 は何に等しいですか？

−(e1∧e2∧e3)

外積代数 A(V) は、テンソル代数 T(V) をどのような元で生成されるイデアルで割ったものですか？

v⊗v

z∈A2(V) (n=4) が分解可能であるためのPlückerの関係式として正しいものはどれですか？（ただし ξij は ei∧ej の係数）

ξ12ξ34−ξ13ξ24+ξ14ξ23=0

線型空間Aに双線型な積 m: A x A -> A を定めたものを代数と呼びますが、この積 m は何型のテンソルとみなせますか？

(1,2)型

Lie代数の積（ブラケット積） [X, Y] が満たすべき性質でないものはどれですか？

[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z] （結合法則）

行列AとBに対し、ブラケット積を [A,B]=AB−BA と定義したとき、gl(V)（V上の全線型変換の集合）はどのような代数系になりますか？

Lie代数

行列BがAのレプリカであるための基本的な条件はどれですか？

Aで不変な任意の型のテンソルがBでも不変であること

行列AのJordan分解を A = S + N とするとき、SとNはAのレプリカですか？

SもNもレプリカである

Engelの定理によれば、各元がベキ零行列であるような線型Lie代数gについて、どのようなことが言えますか？

gはベキ零Lie代数であり、同時三角化可能である

Lieの定理によれば、複素数体上の可解Lie代数の既約表現はどのようなものに限られますか？

1次元表現

Lie代数gの随伴表現とは、どのような写像ですか？

X↦ad(X)、ただし ad(X)(Y)=[X,Y]

Lie代数gの根基が {0} であるとき、gを何と呼びますか？

半単純

Aを半単純行列、BをAのレプリカとするとき、Bはどのような行列ですか？

半単純行列

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B=P−1AP となる正則行列Pが存在する

行列Aの固有多項式 Φ(t,A) の正しい定義はどれですか？

det(tI−A)

ケーリー・ハミルトンの定理が主張している内容はどれですか？

固有多項式に行列自身を代入するとゼロ行列になる

線型変換Aが対角化可能であるための必要十分条件はどれですか？

Aの固有ベクトルからなる基底が存在する

ある自然数kに対して Nk=0 となる線型変換Nを何と呼びますか？

ベキ零変換

任意の線型変換Aを A = S + N（Sは半単純、Nはベキ零、SN=NS）と一意的に分解することを何と呼びますか？

Jordan分解

体Kが代数的閉体（例えば複素数体）である場合、K上の任意の線型変換について正しい記述はどれですか？

Jordan標準形を持つ

行列Aの最小多項式が (t−2)2(t−3) であるとき、AのJordan標準形としてあり得ないものはどれですか？

J(2,1)⊕J(2,1)⊕J(3,1)

実数行列Aが実数でない固有値 α=a+bi を持つとき、必ず固有値となるものはどれですか？

αˉ=a−bi

線型変換Aが半単純であるための、最小多項式に関する条件はどれですか？

最小多項式が重根を持たない（分離的である）

t行列の基本変形に含まれない操作はどれですか？

1つの行に多項式 f(t) を掛ける

行列Aの特性行列 tI - A の最後の単因子 en(t) は、Aのどの不変量と一致しますか？

最小多項式

2つのn次正方行列AとBが共役であるための、単因子論における必要十分条件はどれですか？

tI - A と tI - B の単因子が一致する

有理標準形の特徴として正しいものはどれですか？

行列の成分の四則演算と最大公約数を求める操作だけで得られる

tI−A の単純単因子が (t−2)2,(t−2),(t−3) である行列AのJordan標準形はどれですか？

J(2,2)⊕J(2,1)⊕J(3,1)

単項イデアル整域（PID）の定義として正しいものはどれですか？

任意のイデアルがただ一つの元で生成される整域

次のうち、単項イデアル整域でないものはどれですか？

2変数多項式環 K[x, y]

単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理が保証することは何ですか？

任意の加群が巡回加群の直和に分解できること

t行列A(t)のk次行列式因子 dk(t) とはどのように定義されますか？

A(t)のk次のすべての小行列式の最大公約多項式

ある行列の相似不変式（単因子）が (1,t−1,(t−1)(t−2)) であるとき、その行列の固有多項式と最小多項式はそれぞれどれですか？

固有多項式: (t−1)2(t−2), 最小多項式: (t−1)(t−2)

行列Aのべき乗 Am を計算する際、Jordan標準形J（ただし A=PJP−1）を利用する利点は何ですか？

Jm の計算が容易であるため、Am=PJmP−1 として求められる

線型差分方程式 x(m+1)=Ax(m) の一般解は、初期値 x(0) を用いてどのように表せますか？

x(m)=Amx(0)

フィボナッチ数列 x(m+2)=x(m+1)+x(m) は、どのような行列Aを用いた差分方程式に変換できますか？

A=(1110)

行列方程式 AX=XB について、AとBが共通の固有値を持たない場合、解Xはどうなりますか？

解はゼロ行列 0 のみである

行列Aと可換な行列X全体の集合 {A}′ をAの交換団と呼びます。では、{A}′ の交換団 {A}′′（再交換団）は何と一致しますか？

Aの多項式で書ける行列の全体 K[A]

行列 A=J(λ,p), B=J(μ,q) のとき、方程式 AX=XB の解空間の次元はいくつですか？ (λ,μ∈K)

λ=μ のとき min(p,q), λ=μ のとき 0

A=(200−1) のとき、Am はどうなりますか？

(2m00(−1)m)

n 階線型同次差分方程式 x(m+n)+⋯+a0x(m)=0 の解空間の次元はいくつですか？

A=J(0,3) のとき、A2 はどの行列ですか？

001000000

行列Aの再交換団 {A}′′ がA自身と一致するのはどのような場合ですか？

一般には成り立たない

行列の指数関数 expA の定義として正しいものはどれですか？

∑m=0∞m!Am

定数係数線型常微分方程式 dtdx=Ax の解 x(t)（ただし初期値 x(0)=c）はどのように表せますか？

x(t)=(exptA)c

A=(0−tt0) のとき、expA はどのようになりますか？

(cost−sintsintcost)

limm→∞Am=0 となるための必要十分条件は、Aの任意の固有値αについて何が成り立つことですか？

∣α∣<1

A=(2000.5) とするとき、limm→∞Am はどうなりますか？

(∞000) (発散する)

行列AとBが可換（AB=BA）であるとき、指数関数について成り立つ法則はどれですか？

exp(A+B)=expA⋅expB

微分方程式 dtdx=Ax のすべての解が t→∞ で0に収束するための条件は、Aの任意の固有値αについて何が成り立つことですか？

Re(α)<0

非負行列が持つ特別な固有値を何と呼びますか？

Frobenius根

A=(1011) とするとき、limm→∞Am はどうなりますか？

発散する

指数関数について常に成り立つ等式はどれですか？

det(expA)=exp(trA)

行列Aの解素 R(z,A) の定義として正しいものはどれですか？

(zI−A)−1

解素 R(z,A) が極を持つ点 z は、行列Aの何に対応しますか？

固有値

f(A)=2πi1∫Cf(z)R(z,A)dz という定義において、積分路Cが満たすべき条件はどれですか？

Aのすべての固有値を内部に含む

Aの固有値αが最小多項式のk位の根である場合、解素 R(z,A) はz=αにおいてどのような特異点になりますか？

k位の極

固有値αにおける解素 R(z,A) の留数 Resz=αR(z,A) は何に等しくなりますか？

一般固有空間 V0(α) への射影作用素

A=(λ00μ) のとき、R(z,A) はどうなりますか？

((z−λ)−100(z−μ)−1)

z,w がAの解素集合に属するとき、成り立つ解素等式はどれですか？

R(z)−R(w)=(w−z)R(z)R(w)

行列Aのすべての固有値が円 ∣z∣<1 の内部にあるとき、f(z)=∑m=0∞zm=(1−z)−1 を適用すると、f(A) は何になりますか？

(I−A)−1

A=J(α,2) のとき、R(z,A) はどうなりますか？

z−α1I+(z−α)21(A−αI)

R>ρ(A)

2つのベクトル空間V, Wのテンソル積 V⊗W を特徴づける最も重要な性質は何ですか？

V×W 上の任意の双線型写像を線型化する普遍性

dimV=n,dimW=m のとき、V⊗W の次元はいくつですか？

V∗⊗W はどの線型空間と自然に同型ですか？（$V^*$はVの双対空間）

$Hom(V, W)$

F1:V1→W1, F2:V2→W2 を線型写像とし、それぞれ行列A, Bで表現されるとき、F1⊗F2 を表現する行列は何ですか？

A⊗B （クロネッカー積）

V1⊗(V2⊗V3) と (V1⊗V2)⊗V3 の関係について正しい記述はどれですか？

自然な同型が存在し、同一視できる（結合法則）

V⊗W の任意の元が、v⊗w （v∈V,w∈W）の形で書けるという記述は正しいですか？

間違い。一般にはそのような元の有限個の和として書かれる

k を体とするとき、k⊗V はどの空間と自然に同型ですか？

A=(12),B=(34) のとき、そのテンソル積（クロネッカー積） A⊗B はどうなりますか？

(3468)

VのR（実数体）からC（複素数体）への係数拡大 VC は、どのテンソル積で表現できますか？

V⊗RC

F∈Hom(V1,W1), G∈Hom(V2,W2) のテンソル積について、tr(F⊗G) は何に等しくなりますか？

tr(F)⋅tr(G)

p個のベクトル空間Vとq個の双対空間V*のテンソル積 Tqp(V) の元を何と呼びますか？

(p,q)型テンソル

ベクトル空間V上の線型変換は、何型のテンソルとみなせますか？

(1,1)型

物理学などで用いられる「基底変換に伴い、特定の法則で変換される成分の組」というテンソルの定義は、本書の定義において何に相当しますか？

テンソルの成分

(1,1)型テンソルの縮約を行うと、何型のテンソルになりますか？

(0,0)型（スカラー）

添字の入れ替えに対して不変であるテンソルを何と呼びますか？

対称テンソル

すべての階数の反変テンソル空間の直和に、テンソル積を乗法として定義した代数系を何と呼びますか？

テンソル代数

n次元ベクトル空間V上の対称代数 S(V) は、何と同型ですか？

n変数多項式環 k[X1,…,Xn]

Tqp(V) の双対空間 (Tqp(V))∗ は、どのテンソル空間と同型ですか？

Tpq(V)

t∈T2(V) が交代テンソルであるとは、置換 σ=(12) に対してどのような性質を持つことですか？

Pσ(t)=sgn(σ)t

基底変換の行列式が変換則に現れるテンソルを、特に何と呼びますか？

相対テンソル（テンソル密度）

外積 ∧ の基本的な性質として正しいものはどれですか？

v∧w=−w∧v

n次元ベクトル空間Vについて、外積代数のp階の成分 Ap(V) の次元が0になるのはどのような場合ですか？

p>n

n個のベクトル x1,…,xn と基底 e1,…,en の関係式 x1∧⋯∧xn=λ(e1∧⋯∧en) において、スカラー λ は何に等しいですか？

行列 X の行列式

v1,…,vp が線型独立であるための必要十分条件はどれですか？

v1∧⋯∧vp=0

分解可能なp-ベクトル z=v1∧⋯∧vp が幾何学的に表現するものは何ですか？

Vのp次元部分空間（向きと大きさを含む）

n次元空間Vにおいて、An(V) の次元はいくつですか？

v,w∈V とするとき、v∧w は何ですか？

21(v⊗w−w⊗v)

e1,e2,e3 が基底のとき、e2∧e1∧e3 は何に等しいですか？

−(e1∧e2∧e3)

外積代数 A(V) は、テンソル代数 T(V) をどのような元で生成されるイデアルで割ったものですか？

v⊗v

z∈A2(V) (n=4) が分解可能であるためのPlückerの関係式として正しいものはどれですか？（ただし ξij は ei∧ej の係数）

ξ12ξ34−ξ13ξ24+ξ14ξ23=0

線型空間Aに双線型な積 m: A x A -> A を定めたものを代数と呼びますが、この積 m は何型のテンソルとみなせますか？

(1,2)型

Lie代数の積（ブラケット積） [X, Y] が満たすべき性質でないものはどれですか？

[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z] （結合法則）

行列AとBに対し、ブラケット積を [A,B]=AB−BA と定義したとき、gl(V)（V上の全線型変換の集合）はどのような代数系になりますか？

Lie代数

行列BがAのレプリカであるための基本的な条件はどれですか？

Aで不変な任意の型のテンソルがBでも不変であること

行列AのJordan分解を A = S + N とするとき、SとNはAのレプリカですか？

SもNもレプリカである

Engelの定理によれば、各元がベキ零行列であるような線型Lie代数gについて、どのようなことが言えますか？

gはベキ零Lie代数であり、同時三角化可能である

Lieの定理によれば、複素数体上の可解Lie代数の既約表現はどのようなものに限られますか？

1次元表現

Lie代数gの随伴表現とは、どのような写像ですか？

X↦ad(X)、ただし ad(X)(Y)=[X,Y]

Lie代数gの根基が {0} であるとき、gを何と呼びますか？

半単純

Aを半単純行列、BをAのレプリカとするとき、Bはどのような行列ですか？

半単純行列