変分法と有限要素法

60問 • 6ヶ月前

ユーザ名非公開

通報

問題一覧

変分問題が目指すものは次のうちどれですか？

ある量を最小または最大にするような「関数」そのものを見つけること

「関数を入力すると、それに対して一つの実数値が定まる関係」を何と呼びますか？

汎関数

本文中で、最も短い時間で滑り降りる滑り台の形状を求める問題は何と呼ばれていますか？

最速降下曲線（ブラキストクロ―ネ）の問題

汎関数 J[u] において、入力する関数 u をわずかに変化させたときの J の値の変化（の主要部分）を何と呼びますか？

第1変分

変分問題において、汎関数を停留させる（極値をとる可能性のある）関数を見つけるために立てる条件はどれですか？

第1変分を0とする

変分問題を解く過程で、停留条件から導かれる微分方程式を何と呼びますか？

オイラー方程式

「区間内の任意の（性質の良い）関数 g(x) について常に ∫f(x)g(x)dx = 0 が成り立つならば、f(x) は常に 0 である」という定理を何と呼びますか？

変分学の基本補題

第1変分の計算過程で、オイラー方程式を導出するために重要な役割を果たす計算手法はどれですか？

部分積分

糸の両端を固定したときに垂れ下がって描く曲線の形状（懸垂線）を求める問題は、何を最小化する問題として定式化できますか？

糸の位置エネルギーの総和

汎関数 J[u] の変数に相当するもので、答えとして求められる対象である関数 u のことを何と呼びますか？

変関数

汎関数 J[u] = ∫F(x, u, u')dx に対するオイラー方程式の一般的な形はどれですか？

∂F/∂u - d/dx(∂F/∂u') = 0

汎関数 J[u] = ∫F(u, u')dx のように、被積分関数 F が変数 x を陽に含まない場合、オイラー方程式を積分して得られる簡単な形の式はどれですか？ (cは積分定数)

F - u'(∂F/∂u') = c

境界値を特に指定しない場合に、変分計算の過程で自動的に満たされる境界条件を何と呼びますか？

自然境界条件

最速降下曲線（サイクロイド）を求める問題で、オイラー方程式を解くと何階の微分方程式になりますか？

2階

汎関数が2階導関数 u'' を含む J[u] = ∫F(x, u, u', u'')dx の場合、オイラー方程式は何階の微分方程式になりますか？

4階

汎関数 J[u] = (1/2)∫(u'')²dx に対するオイラー方程式はどれですか？

u'''' = 0

独立変数が x, y の2つある2次元問題において、汎関数を停留させる条件から導かれるオイラー方程式は、一般にどのような方程式になりますか？

偏微分方程式

2次元の汎関数 J[u] = (1/2)∬{(∂u/∂x)² + (∂u/∂y)²}dxdy のオイラー方程式はどれですか？

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 （ラプラス方程式）

2次元問題における変分計算で、1次元での部分積分に相当する役割を果たす定理はどれですか？

グリーンの定理

微分演算 d/dx と変分演算 δ はどのような関係にありますか？

常に d(δy)/dx = δ(dy/dx) であり、交換可能である

変分問題の「直接解法」とは、どのようなアプローチですか？

解を基底関数の線形結合で近似し、汎関数を直接最小化する方法

直接解法において、解を近似するために用いる、あらかじめ定められた既知の関数の組 (φ₁, φ₂, ...) を何と呼びますか？

基底関数

レイリー・リッツ法において、近似解を汎関数の式に代入した後、汎関数 J は何についての「普通の関数」と見なせますか？

未定係数 aᵢ

レイリー・リッツ法で未定係数 aᵢ を決定するために解く方程式系はどれですか？

∂J/∂aᵢ = 0

ラプラス方程式 ∇²u = 0 やポアソン方程式 ∇²u = f に対応する変分問題を直接解法で解く場合、最終的に解くべき方程式はどのようなものになりますか？

連立1次方程式

波動や振動の解析で、ハミルトンの原理などから定式化された変分問題を直接解法で解く手法として、古くから広く使われている名前はどれですか？

レイリー・リッツ法

直接解法の大きな利点として挙げられているものは次のうちどれですか？

自然境界条件が自動的に（近似的に）満たされること

境界で値が指定されている条件（ディリクレ条件）を直接解法で扱う場合、一般的にどのように対処しますか？

近似解（基底関数の選び方）の時点でその条件を満たすように作っておく

汎関数が未知関数 u やその導関数について2次形式の場合、直接解法で得られる決定方程式はどのようになりますか？

連立1次方程式となり、解きやすい

本文で、ポアソン方程式 ∇²u = f に対応する汎関数として挙げられているものはどれですか？

J[u] = (1/2)∬{(∂u/∂x)² + (∂u/∂y)²} dxdy + ∬ u･f dxdy

有限要素法が、従来の直接解法に比べて優れている点として本文で強調されているのはどれですか？

複雑な形状の領域を扱いやすいこと

有限要素法の基本的なアプローチはどれですか？

領域を小さな「要素」に分割し、要素ごとに簡単な多項式で近似する

有限要素法で近似解として用いられる、要素ごとに関数が定義され、それらが全体でつながれた関数を何と呼びますか？

区分多項式

1次元の有限要素法で最も簡単な近似関数として紹介されているものはどれですか？

折れ線関数

2次元問題において、領域を分割するためによく用いられる最も基本的な要素の形状は何ですか？

三角形

要素の頂点や辺上に設けられる、計算の基準となる点のことを何と呼びますか？

節点（ノード）

ある特定の節点で値が1、他のすべての節点で値が0となるような、有限要素法で用いられる便利な基底関数を特に何と呼びますか？

形状関数

三角形1次要素において、要素内部の物理量（変位や温度など）はどのように近似されますか？

1次式（線形）

有限要素法で得られる最終的な方程式は、一般にどのような特徴を持っていますか？

係数行列が「帯状（バンド行列）」や「疎（スパース行列）」になり、効率的に解ける

三角形分割を行う際の注意点として「悪い分割の例」で示されているのはどのようなケースですか？

ある三角形の辺の途中に、隣接しない別の三角形の頂点が存在すること

有限要素法のプログラムの主な処理の流れとして、適切でないものはどれですか？

オイラー方程式を解析的に解き、厳密解を求める

個々の要素に対して計算される、その要素の特性を表す小さな行列を何と呼びますか？

要素係数行列（要素剛性行列）

各要素で計算した要素係数行列は、その後どのように処理されますか？

全体係数行列の対応する位置に足し合わせる（重ね合わせる）

境界で関数の値が指定されている場合（ディリクレ条件）、プログラムでは一般的にどのように処理されますか？

連立方程式から該当する未知数の行を、値を強制的に指定する式で置き換える

有限要素法で最終的に解く連立1次方程式の係数行列は、一般に「疎行列（スパース行列）」となります。これは何を意味しますか？

行列のほとんどの成分が0であること

微分方程式に直接対応する変分原理が見つからない場合でも、有限要素法と同様の考え方を適用できる手法として紹介されているものはどれですか？

ガレルキン法

ガレルキン法を用いて定式化した場合、標準的な有限要素法と比べてどのような違いが生じることがありますか？

決定方程式の係数行列が一般に対称にならない

要素内で2次や3次の多項式を用いて近似精度を上げる要素を何と呼びますか？

高次要素

有限要素法を時間的に変化する現象（時間依存問題）に適用する場合、一般的にどのように扱いますか？

空間変数を有限要素法で、時間変数を差分法で扱う

有限要素法の誤差評価について、本文ではどのように述べられていますか？

領域形状の複雑さなどから、実際的な誤差評価は困難である

ニュートンの運動方程式に代表される、物事の法則を局所的な変化（微分）の連鎖として捉える考え方に対し、ライプニッツに源流を持つ、全体として何かが最小になるという原理で捉える考え方を何と呼びますか？

変分原理（最小作用の原理など）

変分法の基本的な枠組みを作り上げ、解析力学の基礎を築いた18世紀を代表する二人の数学者は誰ですか？

オイラーとラグランジュ

ラグランジュの解析力学をさらに発展させ、相空間の考え方やハミルトン-ヤコビの方程式を導入した19世紀のアイルランドの数学者は誰ですか？

ハミルトン

ハミルトンが力学理論を着想する元となった、彼が元々研究していた物理分野は何ですか？

光学

線型微分方程式の解が、同次方程式の一般解と非同次方程式の一つの特殊解の「和」で表されるといった性質を何と呼びますか？

重ね合わせの原理

線型代数の基本的な概念である「線型独立性」は、元々どのような問題の研究から認識されるようになったと言われていますか？

線型微分方程式の解の構造

連立線型微分方程式を解く際に、行列の固有値問題を解くことの物理的・数学的な意味合いとして最も近いものはどれですか？

複雑に連成した系を、独立した単純なモードに「分解」すること

バネの振動を表す微分方程式 m(d²x/dt²) + p(dx/dt) + qx = 0 において、p² < 4mq の場合に解が振動的になるのはなぜですか？

特性方程式の解が互いに共役な虚数解を持つから

今日の「線型代数」で使われる行列やベクトルの形式を整備した中心人物として挙げられている19世紀の数学者は誰ですか？

ケーリー

ハミルトンが3次元空間を複素数のように表現する数の体系を探求した結果、最終的に作り出した4成分からなる数の体系は何ですか？

四元数

数学のかんどころ19 射影幾何学の考え方

ユーザ名非公開 · 70問 · 1ヶ月前

数学のかんどころ19 射影幾何学の考え方

数学ガールポアンカレ予想

数学ガールポアンカレ予想

射影幾何学入門 - 生物の形態と数学 -

射影幾何学入門 - 生物の形態と数学 -

数値解析の原理_2

数値解析の原理_2

問題一覧

変分問題が目指すものは次のうちどれですか？

ある量を最小または最大にするような「関数」そのものを見つけること

「関数を入力すると、それに対して一つの実数値が定まる関係」を何と呼びますか？

汎関数

本文中で、最も短い時間で滑り降りる滑り台の形状を求める問題は何と呼ばれていますか？

最速降下曲線（ブラキストクロ―ネ）の問題

汎関数 J[u] において、入力する関数 u をわずかに変化させたときの J の値の変化（の主要部分）を何と呼びますか？

第1変分

変分問題において、汎関数を停留させる（極値をとる可能性のある）関数を見つけるために立てる条件はどれですか？

第1変分を0とする

変分問題を解く過程で、停留条件から導かれる微分方程式を何と呼びますか？

オイラー方程式

「区間内の任意の（性質の良い）関数 g(x) について常に ∫f(x)g(x)dx = 0 が成り立つならば、f(x) は常に 0 である」という定理を何と呼びますか？

変分学の基本補題

第1変分の計算過程で、オイラー方程式を導出するために重要な役割を果たす計算手法はどれですか？

部分積分

糸の両端を固定したときに垂れ下がって描く曲線の形状（懸垂線）を求める問題は、何を最小化する問題として定式化できますか？

糸の位置エネルギーの総和

汎関数 J[u] の変数に相当するもので、答えとして求められる対象である関数 u のことを何と呼びますか？

変関数

汎関数 J[u] = ∫F(x, u, u')dx に対するオイラー方程式の一般的な形はどれですか？

∂F/∂u - d/dx(∂F/∂u') = 0

F - u'(∂F/∂u') = c

境界値を特に指定しない場合に、変分計算の過程で自動的に満たされる境界条件を何と呼びますか？

自然境界条件

最速降下曲線（サイクロイド）を求める問題で、オイラー方程式を解くと何階の微分方程式になりますか？

2階

汎関数が2階導関数 u'' を含む J[u] = ∫F(x, u, u', u'')dx の場合、オイラー方程式は何階の微分方程式になりますか？

4階

汎関数 J[u] = (1/2)∫(u'')²dx に対するオイラー方程式はどれですか？

u'''' = 0

独立変数が x, y の2つある2次元問題において、汎関数を停留させる条件から導かれるオイラー方程式は、一般にどのような方程式になりますか？

偏微分方程式

2次元の汎関数 J[u] = (1/2)∬{(∂u/∂x)² + (∂u/∂y)²}dxdy のオイラー方程式はどれですか？

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 （ラプラス方程式）

2次元問題における変分計算で、1次元での部分積分に相当する役割を果たす定理はどれですか？

グリーンの定理

微分演算 d/dx と変分演算 δ はどのような関係にありますか？

常に d(δy)/dx = δ(dy/dx) であり、交換可能である

変分問題の「直接解法」とは、どのようなアプローチですか？

解を基底関数の線形結合で近似し、汎関数を直接最小化する方法

直接解法において、解を近似するために用いる、あらかじめ定められた既知の関数の組 (φ₁, φ₂, ...) を何と呼びますか？

基底関数

レイリー・リッツ法において、近似解を汎関数の式に代入した後、汎関数 J は何についての「普通の関数」と見なせますか？

未定係数 aᵢ

レイリー・リッツ法で未定係数 aᵢ を決定するために解く方程式系はどれですか？

∂J/∂aᵢ = 0

連立1次方程式

レイリー・リッツ法

直接解法の大きな利点として挙げられているものは次のうちどれですか？

自然境界条件が自動的に（近似的に）満たされること

境界で値が指定されている条件（ディリクレ条件）を直接解法で扱う場合、一般的にどのように対処しますか？

近似解（基底関数の選び方）の時点でその条件を満たすように作っておく

汎関数が未知関数 u やその導関数について2次形式の場合、直接解法で得られる決定方程式はどのようになりますか？

連立1次方程式となり、解きやすい

本文で、ポアソン方程式 ∇²u = f に対応する汎関数として挙げられているものはどれですか？

J[u] = (1/2)∬{(∂u/∂x)² + (∂u/∂y)²} dxdy + ∬ u･f dxdy

有限要素法が、従来の直接解法に比べて優れている点として本文で強調されているのはどれですか？

複雑な形状の領域を扱いやすいこと

有限要素法の基本的なアプローチはどれですか？

領域を小さな「要素」に分割し、要素ごとに簡単な多項式で近似する

有限要素法で近似解として用いられる、要素ごとに関数が定義され、それらが全体でつながれた関数を何と呼びますか？

区分多項式

1次元の有限要素法で最も簡単な近似関数として紹介されているものはどれですか？

折れ線関数

2次元問題において、領域を分割するためによく用いられる最も基本的な要素の形状は何ですか？

三角形

要素の頂点や辺上に設けられる、計算の基準となる点のことを何と呼びますか？

節点（ノード）

ある特定の節点で値が1、他のすべての節点で値が0となるような、有限要素法で用いられる便利な基底関数を特に何と呼びますか？

形状関数

三角形1次要素において、要素内部の物理量（変位や温度など）はどのように近似されますか？

1次式（線形）

有限要素法で得られる最終的な方程式は、一般にどのような特徴を持っていますか？

係数行列が「帯状（バンド行列）」や「疎（スパース行列）」になり、効率的に解ける

三角形分割を行う際の注意点として「悪い分割の例」で示されているのはどのようなケースですか？

ある三角形の辺の途中に、隣接しない別の三角形の頂点が存在すること

有限要素法のプログラムの主な処理の流れとして、適切でないものはどれですか？

オイラー方程式を解析的に解き、厳密解を求める

個々の要素に対して計算される、その要素の特性を表す小さな行列を何と呼びますか？

要素係数行列（要素剛性行列）

各要素で計算した要素係数行列は、その後どのように処理されますか？

全体係数行列の対応する位置に足し合わせる（重ね合わせる）

境界で関数の値が指定されている場合（ディリクレ条件）、プログラムでは一般的にどのように処理されますか？

連立方程式から該当する未知数の行を、値を強制的に指定する式で置き換える

有限要素法で最終的に解く連立1次方程式の係数行列は、一般に「疎行列（スパース行列）」となります。これは何を意味しますか？

行列のほとんどの成分が0であること

ガレルキン法

ガレルキン法を用いて定式化した場合、標準的な有限要素法と比べてどのような違いが生じることがありますか？

決定方程式の係数行列が一般に対称にならない

要素内で2次や3次の多項式を用いて近似精度を上げる要素を何と呼びますか？

高次要素

有限要素法を時間的に変化する現象（時間依存問題）に適用する場合、一般的にどのように扱いますか？

空間変数を有限要素法で、時間変数を差分法で扱う

有限要素法の誤差評価について、本文ではどのように述べられていますか？

領域形状の複雑さなどから、実際的な誤差評価は困難である

変分原理（最小作用の原理など）

変分法の基本的な枠組みを作り上げ、解析力学の基礎を築いた18世紀を代表する二人の数学者は誰ですか？

オイラーとラグランジュ

ラグランジュの解析力学をさらに発展させ、相空間の考え方やハミルトン-ヤコビの方程式を導入した19世紀のアイルランドの数学者は誰ですか？

ハミルトン

ハミルトンが力学理論を着想する元となった、彼が元々研究していた物理分野は何ですか？

光学

線型微分方程式の解が、同次方程式の一般解と非同次方程式の一つの特殊解の「和」で表されるといった性質を何と呼びますか？

重ね合わせの原理

線型代数の基本的な概念である「線型独立性」は、元々どのような問題の研究から認識されるようになったと言われていますか？

線型微分方程式の解の構造

連立線型微分方程式を解く際に、行列の固有値問題を解くことの物理的・数学的な意味合いとして最も近いものはどれですか？

複雑に連成した系を、独立した単純なモードに「分解」すること

バネの振動を表す微分方程式 m(d²x/dt²) + p(dx/dt) + qx = 0 において、p² < 4mq の場合に解が振動的になるのはなぜですか？

特性方程式の解が互いに共役な虚数解を持つから

今日の「線型代数」で使われる行列やベクトルの形式を整備した中心人物として挙げられている19世紀の数学者は誰ですか？

ケーリー

ハミルトンが3次元空間を複素数のように表現する数の体系を探求した結果、最終的に作り出した4成分からなる数の体系は何ですか？

四元数