数値解析第2版

60問 • 6ヶ月前

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問題一覧

有限次元ベクトル空間におけるノルムの性質として、誤っているものはどれか？

l2ノルムは、ベクトルの各成分の絶対値の総和で定義される。

行列Aのスペクトル半径 ρ(A) と任意の自然なノルム ∣∣A∣∣ の関係として、常に正しいものはどれか？

ρ(A)≤∣∣A∣∣

連立1次方程式 Ax=b の解の相対誤差と、係数行列Aやベクトルbの相対誤差の関係を評価する際に、最も重要な指標となるものはどれか？

行列Aの条件数

ガウスの消去法において、計算の安定性を高め、桁落ち誤差を減らすために行われる操作は何か？

ピボット選択

行列Aを A=LU （L:左下三角行列, U:右上三角行列）と分解する利点として、最も適切なものはどれか？

同じ係数行列Aを持つ、異なる右辺bの方程式を効率的に解くことができる。

反復法 x(k+1)=Mx(k)+c が任意の初期値から収束するための必要十分条件は何か？

反復行列Mのスペクトル半径 ρ(M) が1未満である。

ヤコビ法やガウス・ザイデル法が収束することが保証される行列の性質として、十分条件となるものはどれか？

対角優位性

正定値対称行列を係数に持つ連立1次方程式を解く際に、特に有効な分解法は何か？

コレスキー分解

共役勾配法（CG法）が最も適しているのは、どのような性質を持つ係数行列Aの問題か？

対称正定値行列

共役勾配法などの反復法の収束が遅い場合に、収束を大幅に加速させるために元の方程式を変形するテクニックを何と呼ぶか？

前処理

非線形方程式の解法であるニュートン法に関する記述として、最も適切なものはどれか？

解の近傍で2次収束と呼ばれる非常に速い収束性を示す。

反復法 x(k+1)=ϕ(x(k)) が唯一の解に収束することを保証する「縮小写像の原理」における、関数 ϕ(x) が満たすべき最も重要な条件は何か？

ϕ(x) が定義域内の任意の2点間の距離を一定の割合で縮めること。

多変数（n変数）の非線形方程式にニュートン法を適用する際に、各ステップで解く必要のある連立1次方程式の係数行列として現れるものは何か？

ヤコビ行列

代数方程式の実根の個数をある区間内で正確に知るために用いられる方法はどれか？

スツルムの方法

1変数の方程式 x=ϕ(x) に対する反復法が、解の近傍で収束するための十分条件はどれか？

∣ϕ′(x)∣<1

ほとんど等しい値の数値の引き算によって、有効桁数が大幅に失われる現象を何と呼ぶか？

桁落ち

デュラン・ケルナー法やエーリッヒ・アバース法のような「連立法」が対象とする問題は何か？

代数方程式の全解（複素根を含む）の同時求解

多項式 pn(z) の値を効率的に計算する「ホーナーの方法」は、どのような操作に基づいているか？

多項式の組立除法（z−z0での割り算）

方程式 f(x)=0 の解が重根である場合、ニュートン法の収束性はどうなるか？

収束性が2次収束から1次収束に低下する。

ニュートン法が1回の反復で真の解に到達するのは、どのような場合か？

方程式が線形（1次式）の場合

対称行列の固有値計算において、ハウスホルダー法やランチョス法がまず目指す行列の形は何か？

3重対角行列

対称な3重対角行列の固有値を求める際に、スツルム列の性質を利用して区間内に存在する固有値の個数を数えることができる手法は何か？

バイセクション法

べき乗法で求められる固有値はどれか？

絶対値が最大の固有値

ある固有値の近似値が既知のときに、対応する固有ベクトルを高精度に求めるのに最も適した方法はどれか？

逆反復法

任意の正方行列Aを、ユニタリ（直交）行列Qと右上三角行列Rの積 A=QR に分解することを何と呼ぶか？

QR分解

非対称行列を含む一般の行列の全ての固有値を求めるための、現代の標準的なアルゴリズムは何か？

QR法

ヤコビ法が対象とする行列の種類は何か？

対称行列

QR法の反復計算 Ak+1=RkQk は、元の行列 Ak に対するどのような変換になっているか？

相似変換

QR法の収束を大幅に加速させるために、反復の際に Ak の代わりに行列 Ak−skI を分解するテクニックを何と呼ぶか？

原点移動（シフト）

非対称行列をハウスホルダー法で変換すると、どのような形の行列になるか？

ヘッセンベルグ行列

与えられた関数との誤差の最大値を最小にする近似法を何と呼ぶか？

ミニマックス近似

最小二乗近似において、基底関数として直交多項式を用いる最大の利点は何か？

係数決定のための正規方程式が悪条件になるのを防ぎ、計算が安定する。

高次の多項式で補間を行う際に、標本点を等間隔に配置すると区間の端で誤差が大きく振動することがある。この現象を何と呼ぶか？

ルンゲの現象

ルンゲの現象を抑制し、精度の良い多項式補間を得るための標本点の選び方として、最も推奨されるものはどれか？

チェビシェフ多項式の零点に配置する。

チェビシェフ多項式 Tn(x) の最も重要な性質の一つは何か？

区間 [−1,1] で値が ±1 の間を等しい振幅で振動する。

ミニマックス近似多項式がもたらす誤差の振る舞いに関する定理（チェビシェフの等振動定理）の内容として正しいものはどれか？

誤差は少なくとも n+2 個の点で、符号を交互に変えながら同じ最大値をとる。

関数 f(x) の近似多項式を求める際に、誤差の二乗積分 ∫ab(f(x)−pn(x))2dx を最小化する手法は何か？

最小二乗近似

与えられた複数のデータ点を厳密に通過する多項式を求めることを特に何と呼ぶか？

補間

周期関数の近似や補間に最も適している基底関数はどれか？

三角関数（sin, cos）

解析関数の多項式補間の誤差を評価する際に、本書で用いられている強力な数学的ツールは何か？

複素積分と留数定理

積分区間内の等間隔な点を用いて関数を補間し、それを積分して得られる数値積分公式群を何と呼ぶか？

ニュートン・コーツ公式

n個の標本点を用いることで、2n−1次までの多項式を誤差なく積分できる、非常に精度の高い数値積分公式はどれか？

ガウス型公式

ガウス型積分公式における最適な標本点（分点）は、何と一致するか？

ある直交多項式の零点

台形公式の誤差が、刻み幅hの偶数べきの級数で表現されることを示す公式は何か？

オイラー・マクローリン展開

台形公式で刻み幅を h,h/2,h/4,… と変えながら計算を行い、それらの結果から補外計算によって高精度な近似値を得る手法を何と呼ぶか？

ロンバーグ積分法

被積分関数が積分区間の端点で特異性を持つ場合に、特に有効な数値積分法はどれか？

二重指数関数型公式（DE公式）

二重指数関数型公式（DE公式）の基本的なアイデアは何か？

巧妙な変数変換の後に台形公式を適用する。

被積分関数が周期関数であり、積分区間がちょうど1周期と一致する場合、非常に高い精度を示す単純な公式は何か？

台形公式

数値積分公式の誤差を、複素平面上の周回積分として表現する際に現れる、公式の性質のみに依存する関数を何と呼ぶか？

誤差の特性関数

N=2 の場合のニュートン・コーツ公式として知られるものは何か？

シンプソンの公式

常微分方程式の初期値問題において、次のステップの値 vn+1 を直前のステップの値 vn のみから計算する手法を総称して何と呼ぶか？

1段法

高次の導関数を直接計算せずに、1ステップ内で複数回関数の値を評価することで高精度を達成する、実用的な1段法は何か？

ルンゲ・クッタ法

多段法が収束するための必要条件として、「安定性」と共にもう一つ満たすべき条件は何か？

適合性

多段法の安定性は、何によって判定されるか？

特性方程式の根の絶対値

真の解が減衰するにもかかわらず、数値解が発散してしまうような、解法と問題の相性によって生じる不安定性を特に何と呼ぶか？

数値的不安定性

常微分方程式の境界値問題を解くために、微分を差分で置き換えて連立1次方程式に変換する手法は何か？

差分解法

微分方程式を解く代わりに、それと同等な「汎関数の最小化問題」として捉え直すアプローチを何と呼ぶか？

変分法

陽公式（予測子）で次のステップの値を予測し、その値を使って陰公式（修正子）で精度を向上させる一連の手法を何と呼ぶか？

予測子修正子法

変分法に基づき、解を既知の基底関数の線形結合で近似し、弱形式の方程式から係数を決定する手法で、有限要素法の基礎となっているものは何か？

ガレルキン法

常微分方程式の初期値問題の解が一意的に存在するための十分条件として、関数 f(t,u) が満たすべき重要な条件は何か？

リプシッツ条件

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有限次元ベクトル空間におけるノルムの性質として、誤っているものはどれか？

l2ノルムは、ベクトルの各成分の絶対値の総和で定義される。

行列Aのスペクトル半径 ρ(A) と任意の自然なノルム ∣∣A∣∣ の関係として、常に正しいものはどれか？

ρ(A)≤∣∣A∣∣

連立1次方程式 Ax=b の解の相対誤差と、係数行列Aやベクトルbの相対誤差の関係を評価する際に、最も重要な指標となるものはどれか？

行列Aの条件数

ガウスの消去法において、計算の安定性を高め、桁落ち誤差を減らすために行われる操作は何か？

ピボット選択

行列Aを A=LU （L:左下三角行列, U:右上三角行列）と分解する利点として、最も適切なものはどれか？

同じ係数行列Aを持つ、異なる右辺bの方程式を効率的に解くことができる。

反復法 x(k+1)=Mx(k)+c が任意の初期値から収束するための必要十分条件は何か？

反復行列Mのスペクトル半径 ρ(M) が1未満である。

ヤコビ法やガウス・ザイデル法が収束することが保証される行列の性質として、十分条件となるものはどれか？

対角優位性

正定値対称行列を係数に持つ連立1次方程式を解く際に、特に有効な分解法は何か？

コレスキー分解

共役勾配法（CG法）が最も適しているのは、どのような性質を持つ係数行列Aの問題か？

対称正定値行列

共役勾配法などの反復法の収束が遅い場合に、収束を大幅に加速させるために元の方程式を変形するテクニックを何と呼ぶか？

前処理

非線形方程式の解法であるニュートン法に関する記述として、最も適切なものはどれか？

解の近傍で2次収束と呼ばれる非常に速い収束性を示す。

反復法 x(k+1)=ϕ(x(k)) が唯一の解に収束することを保証する「縮小写像の原理」における、関数 ϕ(x) が満たすべき最も重要な条件は何か？

ϕ(x) が定義域内の任意の2点間の距離を一定の割合で縮めること。

多変数（n変数）の非線形方程式にニュートン法を適用する際に、各ステップで解く必要のある連立1次方程式の係数行列として現れるものは何か？

ヤコビ行列

代数方程式の実根の個数をある区間内で正確に知るために用いられる方法はどれか？

スツルムの方法

1変数の方程式 x=ϕ(x) に対する反復法が、解の近傍で収束するための十分条件はどれか？

∣ϕ′(x)∣<1

ほとんど等しい値の数値の引き算によって、有効桁数が大幅に失われる現象を何と呼ぶか？

桁落ち

デュラン・ケルナー法やエーリッヒ・アバース法のような「連立法」が対象とする問題は何か？

代数方程式の全解（複素根を含む）の同時求解

多項式 pn(z) の値を効率的に計算する「ホーナーの方法」は、どのような操作に基づいているか？

多項式の組立除法（z−z0での割り算）

方程式 f(x)=0 の解が重根である場合、ニュートン法の収束性はどうなるか？

収束性が2次収束から1次収束に低下する。

ニュートン法が1回の反復で真の解に到達するのは、どのような場合か？

方程式が線形（1次式）の場合

対称行列の固有値計算において、ハウスホルダー法やランチョス法がまず目指す行列の形は何か？

3重対角行列

対称な3重対角行列の固有値を求める際に、スツルム列の性質を利用して区間内に存在する固有値の個数を数えることができる手法は何か？

バイセクション法

べき乗法で求められる固有値はどれか？

絶対値が最大の固有値

ある固有値の近似値が既知のときに、対応する固有ベクトルを高精度に求めるのに最も適した方法はどれか？

逆反復法

任意の正方行列Aを、ユニタリ（直交）行列Qと右上三角行列Rの積 A=QR に分解することを何と呼ぶか？

QR分解

非対称行列を含む一般の行列の全ての固有値を求めるための、現代の標準的なアルゴリズムは何か？

QR法

ヤコビ法が対象とする行列の種類は何か？

対称行列

QR法の反復計算 Ak+1=RkQk は、元の行列 Ak に対するどのような変換になっているか？

相似変換

QR法の収束を大幅に加速させるために、反復の際に Ak の代わりに行列 Ak−skI を分解するテクニックを何と呼ぶか？

原点移動（シフト）

非対称行列をハウスホルダー法で変換すると、どのような形の行列になるか？

ヘッセンベルグ行列

与えられた関数との誤差の最大値を最小にする近似法を何と呼ぶか？

ミニマックス近似

最小二乗近似において、基底関数として直交多項式を用いる最大の利点は何か？

係数決定のための正規方程式が悪条件になるのを防ぎ、計算が安定する。

高次の多項式で補間を行う際に、標本点を等間隔に配置すると区間の端で誤差が大きく振動することがある。この現象を何と呼ぶか？

ルンゲの現象

ルンゲの現象を抑制し、精度の良い多項式補間を得るための標本点の選び方として、最も推奨されるものはどれか？

チェビシェフ多項式の零点に配置する。

チェビシェフ多項式 Tn(x) の最も重要な性質の一つは何か？

区間 [−1,1] で値が ±1 の間を等しい振幅で振動する。

ミニマックス近似多項式がもたらす誤差の振る舞いに関する定理（チェビシェフの等振動定理）の内容として正しいものはどれか？

誤差は少なくとも n+2 個の点で、符号を交互に変えながら同じ最大値をとる。

関数 f(x) の近似多項式を求める際に、誤差の二乗積分 ∫ab(f(x)−pn(x))2dx を最小化する手法は何か？

最小二乗近似

与えられた複数のデータ点を厳密に通過する多項式を求めることを特に何と呼ぶか？

補間

周期関数の近似や補間に最も適している基底関数はどれか？

三角関数（sin, cos）

解析関数の多項式補間の誤差を評価する際に、本書で用いられている強力な数学的ツールは何か？

複素積分と留数定理

積分区間内の等間隔な点を用いて関数を補間し、それを積分して得られる数値積分公式群を何と呼ぶか？

ニュートン・コーツ公式

n個の標本点を用いることで、2n−1次までの多項式を誤差なく積分できる、非常に精度の高い数値積分公式はどれか？

ガウス型公式

ガウス型積分公式における最適な標本点（分点）は、何と一致するか？

ある直交多項式の零点

台形公式の誤差が、刻み幅hの偶数べきの級数で表現されることを示す公式は何か？

オイラー・マクローリン展開

台形公式で刻み幅を h,h/2,h/4,… と変えながら計算を行い、それらの結果から補外計算によって高精度な近似値を得る手法を何と呼ぶか？

ロンバーグ積分法

被積分関数が積分区間の端点で特異性を持つ場合に、特に有効な数値積分法はどれか？

二重指数関数型公式（DE公式）

二重指数関数型公式（DE公式）の基本的なアイデアは何か？

巧妙な変数変換の後に台形公式を適用する。

被積分関数が周期関数であり、積分区間がちょうど1周期と一致する場合、非常に高い精度を示す単純な公式は何か？

台形公式

数値積分公式の誤差を、複素平面上の周回積分として表現する際に現れる、公式の性質のみに依存する関数を何と呼ぶか？

誤差の特性関数

N=2 の場合のニュートン・コーツ公式として知られるものは何か？

シンプソンの公式

常微分方程式の初期値問題において、次のステップの値 vn+1 を直前のステップの値 vn のみから計算する手法を総称して何と呼ぶか？

1段法

高次の導関数を直接計算せずに、1ステップ内で複数回関数の値を評価することで高精度を達成する、実用的な1段法は何か？

ルンゲ・クッタ法

多段法が収束するための必要条件として、「安定性」と共にもう一つ満たすべき条件は何か？

適合性

多段法の安定性は、何によって判定されるか？

特性方程式の根の絶対値

真の解が減衰するにもかかわらず、数値解が発散してしまうような、解法と問題の相性によって生じる不安定性を特に何と呼ぶか？

数値的不安定性

常微分方程式の境界値問題を解くために、微分を差分で置き換えて連立1次方程式に変換する手法は何か？

差分解法

微分方程式を解く代わりに、それと同等な「汎関数の最小化問題」として捉え直すアプローチを何と呼ぶか？

変分法

陽公式（予測子）で次のステップの値を予測し、その値を使って陰公式（修正子）で精度を向上させる一連の手法を何と呼ぶか？

予測子修正子法

ガレルキン法

常微分方程式の初期値問題の解が一意的に存在するための十分条件として、関数 f(t,u) が満たすべき重要な条件は何か？

リプシッツ条件

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