数値解析　数・学・探・検 17

60問 • 6ヶ月前

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問題一覧

ニュートン法の反復計算を示す漸化式として正しいものはどれか。

xk+1=xk−f′(xk)f(xk)

縮小写像の定理によれば、反復法 xk+1=φ(xk) が閉区間 J 内の初期値から始めて唯一の不動点に収束するためには、φ(x) が J を J に写し、かつある定数 0<λ<1 に対してどのような条件を満たす必要があるか。

∣φ(x)−φ(x′)∣≤λ∣x−x′∣

ニュートン法に関する収束の速さの記述として、最も適切なものはどれか。

2次収束であり、収束は非常に速い。

微分係数の計算が難しい場合に用いられるセカント法を開始するために必要な初期値は何か。

x0 と x1 の2つ

緩和反復法 xk+1=xk−βf(xk) が解 a の近くで収束するための、緩和パラメータ β が満たすべき十分条件はどれか。

0<βf′(a)<2

連立非線形方程式に対してニュートン法を適用する際、反復計算のたびに現れる行列は何か。

ヤコビ行列

誤差が Ek+1≈MEkp の関係を満たすとき、収束の次数 p を実験的に推定するために計算される pk の式はどれか。

logEk+1−logEklogEk+2−logEk+1

デュラン・ケルナー法（連立法）の主な目的は何か。

n次代数方程式のn個の複素解をすべて同時に求める。

カルダーノの公式が解の公式として知られているのは、何次方程式か。

3次方程式

ある反復法の誤差 Ek が「2次収束」するとは、どのような関係が成り立つことか。

Ek+1 が Ek の2乗にほぼ比例する。

複合シンプソン公式の誤差は、区間幅を h としたとき、一般的に h の何乗に比例して減少するか。

等間隔の標本点で高次のラグランジュ補間多項式を作成した際に、区間の端で近似誤差が著しく大きくなる現象を何と呼ぶか。

ルンゲの現象

ガウス型積分公式が、標本点の数を n+1 個とした場合に、厳密な積分値を与えることができる多項式の最大次数はいくつか。

2n+1 次

複合中点公式と複合台形公式は、共にh^2に比例する誤差を持つ（2次精度）が、誤差の大きさの定数項を比較すると、一般的にどちらがより高精度か。

複合中点公式

ガウス型積分公式において、標本点として選ばれるのは何か。

ある直交多項式の零点

シンプソン公式 S(f)=6f(a)+4f(2a+b)+f(b)(b−a) は、どのような関数を3つの点で補間し、その積分から導出されるか。

2次関数

重み関数 w(x)=(1−x2)−1/2 に関する [−1,1] 上の直交多項式系として知られているものは何か。

チェビシェフ多項式

ある数値積分公式が「m次精度を持つ」とは、どのような意味か。

m次以下の多項式に対して厳密な積分値を与える。

次の数値積分公式のうち、標本点として関数の微分係数 f′(xj) の値を必要とするものはどれか。

エルミート補間多項式の積分

関数 f(x) が3次多項式のとき、シンプソン公式 S(f) で計算した積分値と、厳密な積分値 Q(f) の関係はどうなるか。

S(f)=Q(f)

ガウスの消去法における「前進消去」の操作は、行列Aをどのような行列の積に分解することと等価か。

下三角行列Lと上三角行列U (LU分解)

行列AがLU分解されていれば、連立一次方程式 Ax=b を解く問題は、2つのより簡単な方程式に帰着される。その2つとは何か。

Ly=b と Ux=y

ある行列Aについて、行の交換なしのガウスの消去法が実行可能であるための必要十分条件は何か。

Aのすべての首座小行列式が0でないこと。

次の行列の性質のうち、行交換なしのLU分解が可能であることを保証する十分条件はどれか。

Aが狭義優対角行列である。

一般の正則行列Aに対して、行交換を伴うLU分解はどのような形で表現されるか。Pは置換行列とする。

PA=LU

共役勾配法（CG法）が特に有効とされるのは、係数行列Aがどのような性質を持つ場合か。

正定値対称行列

共役勾配法は、連立一次方程式を解く問題を、ある関数の最小化問題に置き換える。その関数とはどのようなものか。

二次形式の関数

理論上、n次元の連立一次方程式に対して共役勾配法を適用した場合、最大で何回の反復で厳密解に到達するか。

n回

Ax=b の近似解 xk が得られたとき、rk=b−Axk で定義されるベクトルを何と呼ぶか。

残差ベクトル

共役勾-法の収束を速めるために、元の方程式を A^x^=b^ の形に変換する操作を何と呼ぶか。

前処理（プリコンディショニング）

常微分方程式の初期値問題を解く最も基本的な数値解法であり、dtdu を hUn+1−Un で近似する手法は何か。

オイラー法

数値解法の誤差が、刻み幅 h の p 乗に比例して小さくなる時、その解法は「p次精度」であるという。標準的なルンゲ・クッタ法（4段のもの）の精度は何次か。

4次

2種類以上の生物の個体数変化など、複数の未知関数が互いに影響し合う系を記述する微分方程式は何か。

連立常微分方程式

微分方程式の解が持つエネルギー保存則などの数学的・物理的な性質を、離散的な数値計算の上でも保つように設計された解法を何と総称するか。

構造保存型解法

弦の振動など、考えている区間の両端での値が指定されている条件を何と呼ぶか。

境界条件

境界値問題を差分法で解く場合、最終的にどのような種類の数学的問題を解くことになるか。

連立一次方程式

オイラー法を改良したホイン法は、どの数値積分公式の考え方に基づいているか。

台形公式

常微分方程式の数値解法において、計算の時間ステップの幅を表すパラメータ h を何と呼ぶか。

刻み幅（ステップサイズ）

連立常微分方程式の解の軌跡を、各変数を軸とする空間（平面）上に描画した図を何と呼ぶか。

相図

オイラー法の局所離散化誤差は、刻み幅 h の何乗に比例するか。

ほぼ等しい2つの数値を引き算したときに、有効桁数が大幅に減少し、相対誤差が著しく大きくなる現象を何と呼ぶか。

桁落ち

コンピュータにおける浮動小数点数の標準規格として、現在広く用いられているものは何か。

IEEE 754

絶対値が極端に異なる2つの数を足し算したときに、小さい方の数の影響が計算結果から消えてしまう現象を何と呼ぶか。

情報落ち

2次方程式 x2+bx+c=0 (b>0,c>0) の解の公式で、b2 が 4c に比べて非常に大きい場合、2つの解のうちどちらの計算で桁落ちが発生しやすいか。

x1=2−b+b2−4c

浮動小数点数系 F(2,53,1022,1023) で定義される「計算機イプシロン ϵM」の値は何か。

1と、1より大きい隣の浮動小数点数との差

実数を有限桁の浮動小数点数で近似する際に必ず発生する誤差を何と呼ぶか。

丸め誤差

IEEE 754規格のbinary64（倍精度実数型）において、仮数部のビット数はいくつか。

52ビット

浮動小数点数では表現できないほど計算結果の絶対値が大きくなってしまうことを何と呼ぶか。

オーバーフロー

IEEE 754規格では、絶対値が非常に小さく、正規化数では表現できない範囲の数を扱うために用意されている特殊な数を何と呼ぶか。

非正規化数

「1.0 + 0.0000000000000001」を倍精度浮動小数点数で計算すると、結果はどうなる可能性が最も高いか。（計算機イプシロン ϵM≈2.22×10−16）

あるアルゴリズムを実行するために必要な浮動小数点数演算の回数を評価する指標を何というか。

計算量

ガウスの消去法でn次元の連立一次方程式を解く際の計算量は、nが十分に大きいとき、nの何乗にほぼ比例するか。

ガウスの消去法において、丸め誤差の影響を抑えるために、各ステップで絶対値が最大の成分をピボットとして選ぶ操作を何と呼ぶか。

部分ピボット選択

ベクトルや行列の「大きさ」を測るための数学的な尺度を総称して何と呼ぶか。

ノルム

連立一次方程式 Ax=b の解の安定性を測る指標であり、入力データの微小な誤差が解に与える影響の大きさを示すものは何か。

行列Aの条件数 cond(A)

条件数が非常に大きい行列を持つ連立一次方程式は、数値的に解くのが困難である。このような問題を指す言葉は何か。

悪条件な問題

1秒間あたりに実行できる浮動小数点数演算の回数を示す、コンピュータの性能指標は何か。

FLOPS (Floating-point Operations Per Second)

行列Aの$\infty$ノルム ∣∣A∣∣∞ はどのように計算されるか。$A=(a_{ij})$とする。

各行の成分の絶対値和のうちの最大値

数値計算で得られた近似解 x~ が、どのような「少しずれた問題」 (A+E)x~=b+c の厳密解になっているかを考える誤差解析の手法を何と呼ぶか。

後退誤差解析

代数方程式 (z+1)(z+2)⋯(z+20)=0 の係数に微小な摂動を加えると、解が大きく変動し、実数解が複素数解に変わってしまうことがある。この例は何と呼ばれているか。

ウィルキンソンの例

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問題一覧

ニュートン法の反復計算を示す漸化式として正しいものはどれか。

xk+1=xk−f′(xk)f(xk)

∣φ(x)−φ(x′)∣≤λ∣x−x′∣

ニュートン法に関する収束の速さの記述として、最も適切なものはどれか。

2次収束であり、収束は非常に速い。

微分係数の計算が難しい場合に用いられるセカント法を開始するために必要な初期値は何か。

x0 と x1 の2つ

緩和反復法 xk+1=xk−βf(xk) が解 a の近くで収束するための、緩和パラメータ β が満たすべき十分条件はどれか。

0<βf′(a)<2

連立非線形方程式に対してニュートン法を適用する際、反復計算のたびに現れる行列は何か。

ヤコビ行列

誤差が Ek+1≈MEkp の関係を満たすとき、収束の次数 p を実験的に推定するために計算される pk の式はどれか。

logEk+1−logEklogEk+2−logEk+1

デュラン・ケルナー法（連立法）の主な目的は何か。

n次代数方程式のn個の複素解をすべて同時に求める。

カルダーノの公式が解の公式として知られているのは、何次方程式か。

3次方程式

ある反復法の誤差 Ek が「2次収束」するとは、どのような関係が成り立つことか。

Ek+1 が Ek の2乗にほぼ比例する。

複合シンプソン公式の誤差は、区間幅を h としたとき、一般的に h の何乗に比例して減少するか。

等間隔の標本点で高次のラグランジュ補間多項式を作成した際に、区間の端で近似誤差が著しく大きくなる現象を何と呼ぶか。

ルンゲの現象

ガウス型積分公式が、標本点の数を n+1 個とした場合に、厳密な積分値を与えることができる多項式の最大次数はいくつか。

2n+1 次

複合中点公式

ガウス型積分公式において、標本点として選ばれるのは何か。

ある直交多項式の零点

シンプソン公式 S(f)=6f(a)+4f(2a+b)+f(b)(b−a) は、どのような関数を3つの点で補間し、その積分から導出されるか。

2次関数

重み関数 w(x)=(1−x2)−1/2 に関する [−1,1] 上の直交多項式系として知られているものは何か。

チェビシェフ多項式

ある数値積分公式が「m次精度を持つ」とは、どのような意味か。

m次以下の多項式に対して厳密な積分値を与える。

次の数値積分公式のうち、標本点として関数の微分係数 f′(xj) の値を必要とするものはどれか。

エルミート補間多項式の積分

関数 f(x) が3次多項式のとき、シンプソン公式 S(f) で計算した積分値と、厳密な積分値 Q(f) の関係はどうなるか。

S(f)=Q(f)

ガウスの消去法における「前進消去」の操作は、行列Aをどのような行列の積に分解することと等価か。

下三角行列Lと上三角行列U (LU分解)

行列AがLU分解されていれば、連立一次方程式 Ax=b を解く問題は、2つのより簡単な方程式に帰着される。その2つとは何か。

Ly=b と Ux=y

ある行列Aについて、行の交換なしのガウスの消去法が実行可能であるための必要十分条件は何か。

Aのすべての首座小行列式が0でないこと。

次の行列の性質のうち、行交換なしのLU分解が可能であることを保証する十分条件はどれか。

Aが狭義優対角行列である。

一般の正則行列Aに対して、行交換を伴うLU分解はどのような形で表現されるか。Pは置換行列とする。

PA=LU

共役勾配法（CG法）が特に有効とされるのは、係数行列Aがどのような性質を持つ場合か。

正定値対称行列

共役勾配法は、連立一次方程式を解く問題を、ある関数の最小化問題に置き換える。その関数とはどのようなものか。

二次形式の関数

理論上、n次元の連立一次方程式に対して共役勾配法を適用した場合、最大で何回の反復で厳密解に到達するか。

n回

Ax=b の近似解 xk が得られたとき、rk=b−Axk で定義されるベクトルを何と呼ぶか。

残差ベクトル

共役勾-法の収束を速めるために、元の方程式を A^x^=b^ の形に変換する操作を何と呼ぶか。

前処理（プリコンディショニング）

常微分方程式の初期値問題を解く最も基本的な数値解法であり、dtdu を hUn+1−Un で近似する手法は何か。

オイラー法

4次

2種類以上の生物の個体数変化など、複数の未知関数が互いに影響し合う系を記述する微分方程式は何か。

連立常微分方程式

微分方程式の解が持つエネルギー保存則などの数学的・物理的な性質を、離散的な数値計算の上でも保つように設計された解法を何と総称するか。

構造保存型解法

弦の振動など、考えている区間の両端での値が指定されている条件を何と呼ぶか。

境界条件

境界値問題を差分法で解く場合、最終的にどのような種類の数学的問題を解くことになるか。

連立一次方程式

オイラー法を改良したホイン法は、どの数値積分公式の考え方に基づいているか。

台形公式

常微分方程式の数値解法において、計算の時間ステップの幅を表すパラメータ h を何と呼ぶか。

刻み幅（ステップサイズ）

連立常微分方程式の解の軌跡を、各変数を軸とする空間（平面）上に描画した図を何と呼ぶか。

相図

オイラー法の局所離散化誤差は、刻み幅 h の何乗に比例するか。

ほぼ等しい2つの数値を引き算したときに、有効桁数が大幅に減少し、相対誤差が著しく大きくなる現象を何と呼ぶか。

桁落ち

コンピュータにおける浮動小数点数の標準規格として、現在広く用いられているものは何か。

IEEE 754

絶対値が極端に異なる2つの数を足し算したときに、小さい方の数の影響が計算結果から消えてしまう現象を何と呼ぶか。

情報落ち

2次方程式 x2+bx+c=0 (b>0,c>0) の解の公式で、b2 が 4c に比べて非常に大きい場合、2つの解のうちどちらの計算で桁落ちが発生しやすいか。

x1=2−b+b2−4c

浮動小数点数系 F(2,53,1022,1023) で定義される「計算機イプシロン ϵM」の値は何か。

1と、1より大きい隣の浮動小数点数との差

実数を有限桁の浮動小数点数で近似する際に必ず発生する誤差を何と呼ぶか。

丸め誤差

IEEE 754規格のbinary64（倍精度実数型）において、仮数部のビット数はいくつか。

52ビット

浮動小数点数では表現できないほど計算結果の絶対値が大きくなってしまうことを何と呼ぶか。

オーバーフロー

IEEE 754規格では、絶対値が非常に小さく、正規化数では表現できない範囲の数を扱うために用意されている特殊な数を何と呼ぶか。

非正規化数

「1.0 + 0.0000000000000001」を倍精度浮動小数点数で計算すると、結果はどうなる可能性が最も高いか。（計算機イプシロン ϵM≈2.22×10−16）

あるアルゴリズムを実行するために必要な浮動小数点数演算の回数を評価する指標を何というか。

計算量

ガウスの消去法でn次元の連立一次方程式を解く際の計算量は、nが十分に大きいとき、nの何乗にほぼ比例するか。

ガウスの消去法において、丸め誤差の影響を抑えるために、各ステップで絶対値が最大の成分をピボットとして選ぶ操作を何と呼ぶか。

部分ピボット選択

ベクトルや行列の「大きさ」を測るための数学的な尺度を総称して何と呼ぶか。

ノルム

連立一次方程式 Ax=b の解の安定性を測る指標であり、入力データの微小な誤差が解に与える影響の大きさを示すものは何か。

行列Aの条件数 cond(A)

条件数が非常に大きい行列を持つ連立一次方程式は、数値的に解くのが困難である。このような問題を指す言葉は何か。

悪条件な問題

1秒間あたりに実行できる浮動小数点数演算の回数を示す、コンピュータの性能指標は何か。

FLOPS (Floating-point Operations Per Second)

行列Aの$\infty$ノルム ∣∣A∣∣∞ はどのように計算されるか。$A=(a_{ij})$とする。

各行の成分の絶対値和のうちの最大値

数値計算で得られた近似解 x~ が、どのような「少しずれた問題」 (A+E)x~=b+c の厳密解になっているかを考える誤差解析の手法を何と呼ぶか。

後退誤差解析

ウィルキンソンの例

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