数値計算の誤差と精度

60問 • 6ヶ月前

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問題一覧

0以外の実数を「±0.d₁d₂...dₜ × pᵉ」という形式で表現する浮動小数点表示において、「d₁d₂...dₜ」の部分は何と呼ばれますか。

仮数部

値の近い2つの数の引き算を行った際に、有効桁数が大幅に減少してしまう誤差を何と呼びますか。

桁落ち

絶対値が非常に大きい数と非常に小さい数の足し算や引き算を行った際に、小さい方の数の情報が計算結果に反映されなくなる誤差を何と呼びますか。

情報落ち

計算結果の絶対値が大きすぎて、計算機で定められた形式では表現できなくなる状態を何と呼びますか。

オーバーフロー

初等関数などを計算する際に、無限級数や反復計算を有限の項や回数で打ち切ることによって生じる誤差を何と呼びますか。

打ち切り誤差

本書で説明されている「倍精度実数型」に関する記述として、最も適切なものはどれですか。

1実数あたり8バイトを使用し、仮数部は十進換算で約15桁である。

例1.2で、xが小さい正の数である場合に「(1+x)² - (1-x)²」と「4x」の計算結果を比較しています。この例から得られる教訓として最も適切なものはどれですか。

数学的に等価な式でも、計算手順によって誤差の大きさが著しく異なることがある。

例1.3で、nを非常に大きくしていくと、単精度計算での「(1+1/n)ⁿ」の結果が1.0になってしまう現象が報告されています。この主な原因として考えられるものはどれですか。

1+1/n の計算で情報落ちが発生し、結果が1と見なされたため。

数値計算の誤差がどの程度かを確認するための最も基本的な方法として、本書で述べられているのはどれですか。

厳密な解（答え）が分かっている問題で計算を行い、その結果と比較する。

本書が扱う「誤差」の対象範囲として、正しいものはどれですか 17。

数理モデルをコンピューターで解く際に生じる計算上の誤差。

Newton法の基本的な考え方を説明したものとして、最も適切なものはどれですか。

関数をその点における接線（または接平面）で近似し、そのゼロ点を次の近似解とする。

反復計算のたびに導関数（Jacobi行列）を計算する手間を省くため、最初に計算した導関数を以降のステップでも使い続ける反復法を何と呼びますか。

簡易Newton法

単独の方程式における導関数 Df(x) に相当するものとして、連立方程式版のNewton法で用いられる行列は何ですか。

Jacobi行列

反復計算において、あるステップでの誤差が、その前のステップでの誤差の2乗に比例して減少していくような収束を特に何と呼びますか。

2次収束

反復法 x(k+1) = g(x(k)) が解に収束するための十分条件を与える「縮小写像」の定義として正しいものはどれですか。（Cは定数）

g(x₁) - g(x₂)

反復計算を停止する際の判定基準について、本書が推奨している考え方はどれですか。

残差や近似解の差など、複数の基準を併用して総合的に判断し停止する。

ベクトルの大きさを測る尺度である「ノルム」が満たすべき性質（公理）として、誤っているものはどれですか。（x, yはベクトル、αは実数）

αx

n次元ベクトル x = [x₁, x₂, ..., xₙ]T のノルムの一つであるL∞ノルム（最大値ノルム）

各成分の絶対値の最大値 max

例2.2では、方程式 x³ - 3x = 0 の解をNewton法で求めています。この例で、導関数 Df(x) が0になる点（x=±1）に近い初期値を選ぶと、どのような現象が起きましたか。

反復回数が非常に多くなり、一度解から大きく離れるなど不安定な挙動を示した。

反復計算の停止基準として用いられる「残差」、すなわち

近似解 x(k) が厳密解に近い場合もあるが、必ずしもそうとは限らない。

連立1次方程式の解法のうち、Gaussの消去法が分類されるのはどちらですか。

直接法

この章で紹介されているCG法（共役勾配法）が、特に高い性能を発揮するために係数行列Aに要求される性質として、正しい組み合わせはどれですか。

実対称かつ正定値である

CG法は、連立1次方程式 Ax=f を解く問題を、ある等価な問題に置き換えて解いていると解釈できます。その等価な問題とは何ですか。

特定の二次形式の関数 F(x) を最小化する最適化問題

CG法の理論的な基礎となるKrylov（クリロフ）部分空間は、どのベクトルから生成されますか。

初期残差ベクトル r(0) に係数行列 A を繰り返し乗じたベクトル列

CG法において、2つのベクトル x, y が互いに「共役」であるとは、どのような関係式が成り立つことですか。（Aは係数行列、(・,・)は内積）

(Ax, y) = 0

CG法の収束性に関する記述として、理論的に正しいものはどれですか。

計算機誤差を無視すれば、最大でも未知数の数（n）回の反復で厳密解に収束する。

線形反復法 x(k) = M⁻¹(f - Nx^(k-1)) が収束するための十分条件として挙げられているものはどれですか。

反復行列 -M⁻¹N の作用素ノルムが1未満であること。

例3.2の数値例で、大規模な連立1次方程式をGaussの消去法で解いた際に、どのような現象が確認されましたか。

問題の規模が大きくなると、計算機誤差の蓄積により、倍精度計算ですら破綻することがあった。

ベクトルの内積が満たすべき性質（公理）として、誤っているものはどれですか。（x, y, zはベクトル、cは実数）

(分配則) (x+y, z) = (x, z) * (y, z)

CG法の収束が遅い場合に、収束性を改善するために係数行列 A に施す変換を何と呼びますか。

前処理

いくつかの異なる点（標本点）で元の関数と値が一致するように、多項式で関数を近似する手法を何と呼びますか。

Lagrange補間

特定の関数（例：y=1/(1+25x²)）を等間隔の点で補間する際に、補間点の数を増やしていくとかえって区間の端で誤差が振動して増大する現象を何と呼びますか。

Rungeの現象

数値積分の基本的な考え方として、最も適切なものはどれですか。

被積分関数を多項式で近似し、その多項式を厳密に積分する。

3つの標本点（両端とその中点）を使って積分値を近似する「Simpsonの公式」は、何次までの多項式を誤差なく正確に積分できますか。

3次

標本点の位置と重みを最適化することで、同じ点数でも他の多くの公式より高い次数の多項式を正確に積分できる、非常に強力な数値積分公式は何ですか。

Gaussの公式

積分区間を多数の細かい小区間に分割し、それぞれの小区間で台形公式のような単純な公式を適用して、その結果を足し合わせる方法を何と呼びますか。

複合公式

数値積分の精度について述べた文として、最も適切なものはどれですか。

被積分関数が滑らか（何回も微分可能）であるほど、高次の公式が有効になり精度が向上する。

関数の値だけでなく、その導関数の値も用いて、より滑らかに接続する多項式で関数を近似する手法を何と呼びますか。

Hermite補間

補間多項式を用いる際に、補間に用いた標本点が含まれる区間の「外側」の点の値を推定することを何と呼びますか。

外挿（補外）

数値積分公式の性能を表す「次数」とは、何を意味しますか。

その公式が誤差なく正確に積分できる多項式の最大次数。

常微分方程式の数値解法において、時刻tᵢ₊₁の値を、直前の時刻tᵢの値の情報だけを用いて計算する手法を総称して何と呼びますか。

1段法

1階常微分方程式 x' = f(t,x) に対する、最も基本的な前進Euler法の漸化式として正しいものはどれですか。（hは時間ステップ）

Xᵢ₊₁ = Xᵢ + hf(tᵢ, Xᵢ)

時定数が大きく異なる成分が混在し、陽的な解法では安定性を保つために時間ステップを極端に小さくしなければならないような、数値的に扱いにくい方程式系を何と呼びますか。

スティッフな系

次の時刻tᵢ₊₁の値を求めるために、その値Xᵢ₊₁自身を含む方程式を解く必要があるような解法を、一般に何と呼びますか。

陰的な方法（陰解法）

実用上広く用いられ、一般に4次の精度を持つとされる1段法の名称は何ですか。

Runge-Kutta法

x'' + x = 0 のような2階の常微分方程式を解くための一つのアプローチとして、本書で紹介されているものはどれですか。

速度 y = x' を新たな未知関数として導入し、1階の連立常微分方程式として扱う。

2階の常微分方程式の解法であるNewmarkのβ法において、パラメータβを1/4に選んだ場合に見られる特徴的な性質は何ですか。

数値解が、もとの問題が持つ力学的エネルギー保存則を（離散的に）満たす。

2階導関数 x'' を、時刻 tᵢ において (Xᵢ₊₁ - 2Xᵢ + Xᵢ₋₁) / h² という形で近似する手法を何と呼びますか。

中心差分法

数値解法の性能を評価する「局所打ち切り誤差」とは、何を意味しますか。

解法の漸化式に、真の（厳密な）解を代入したときに生じるズレ（残差）。

例5.1のスティッフな問題 x' = -15x の計算例において、陽解法である前進Euler法はどのような結果を示しましたか。

解が激しく振動し、定性的に誤った、物理的にありえない挙動を示した。

行列の固有値問題に数値的な近似解法が必要となる根本的な理由は何ですか。

5次以上の行列では、固有値を求めるための代数的な解の公式が存在しないため。

適当な初期ベクトルに行列Aを繰り返し乗じていく「べき乗法」によって、基本的にはどの固有値（とそれに対応する固有ベクトル）が求められますか。

絶対値が最大の固有値

行列 A の絶対値が最小の固有値を求める際、べき乗法を応用した「逆べき乗法」が用いられます。この方法は、どの行列に対してべき乗法を適用するものですか。（Iは単位行列）

A⁻¹（Aの逆行列）

近似的に求まった固有ベクトル x から、より精度の高い固有値の近似値を求めるために使われる「Rayleigh商」の定義式として正しいものはどれですか。（(・,・)は内積）

(Ax, x) / (x, x)

Jacobi法やHouseholder法に代表される「行列変換法」の主な目的は何ですか。

行列を、固有値が計算しやすい対角行列や三重対角行列に変換すること。

行列変換法の一つであるJacobi法は、どのような変換を繰り返し適用することで、行列を対角行列に近づけていきますか。

平面内の回転を表す変換

Householder法は、有限回の変換で行列を三重対角行列にすることができます。この方法で用いられる変換は、幾何学的には何を意味しますか。

鏡映（鏡像）

Ax = λBx という形式で表される固有値問題を、特に何と呼びますか。

一般固有値問題

シフト値 μ を用いた「シフト付き逆べき乗法」によって求められるのは、行列 A のどの固有値ですか。

μ に最も近い固有値

この章で、固有値問題の数値解法を説明するにあたって、主に対象として扱われている行列の種類は何ですか。

実対称行列

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仮数部

値の近い2つの数の引き算を行った際に、有効桁数が大幅に減少してしまう誤差を何と呼びますか。

桁落ち

情報落ち

計算結果の絶対値が大きすぎて、計算機で定められた形式では表現できなくなる状態を何と呼びますか。

オーバーフロー

初等関数などを計算する際に、無限級数や反復計算を有限の項や回数で打ち切ることによって生じる誤差を何と呼びますか。

打ち切り誤差

本書で説明されている「倍精度実数型」に関する記述として、最も適切なものはどれですか。

1実数あたり8バイトを使用し、仮数部は十進換算で約15桁である。

数学的に等価な式でも、計算手順によって誤差の大きさが著しく異なることがある。

1+1/n の計算で情報落ちが発生し、結果が1と見なされたため。

数値計算の誤差がどの程度かを確認するための最も基本的な方法として、本書で述べられているのはどれですか。

厳密な解（答え）が分かっている問題で計算を行い、その結果と比較する。

本書が扱う「誤差」の対象範囲として、正しいものはどれですか 17。

数理モデルをコンピューターで解く際に生じる計算上の誤差。

Newton法の基本的な考え方を説明したものとして、最も適切なものはどれですか。

関数をその点における接線（または接平面）で近似し、そのゼロ点を次の近似解とする。

簡易Newton法

単独の方程式における導関数 Df(x) に相当するものとして、連立方程式版のNewton法で用いられる行列は何ですか。

Jacobi行列

反復計算において、あるステップでの誤差が、その前のステップでの誤差の2乗に比例して減少していくような収束を特に何と呼びますか。

2次収束

反復法 x(k+1) = g(x(k)) が解に収束するための十分条件を与える「縮小写像」の定義として正しいものはどれですか。（Cは定数）

g(x₁) - g(x₂)

反復計算を停止する際の判定基準について、本書が推奨している考え方はどれですか。

残差や近似解の差など、複数の基準を併用して総合的に判断し停止する。

ベクトルの大きさを測る尺度である「ノルム」が満たすべき性質（公理）として、誤っているものはどれですか。（x, yはベクトル、αは実数）

αx

n次元ベクトル x = [x₁, x₂, ..., xₙ]T のノルムの一つであるL∞ノルム（最大値ノルム）

各成分の絶対値の最大値 max

反復回数が非常に多くなり、一度解から大きく離れるなど不安定な挙動を示した。

反復計算の停止基準として用いられる「残差」、すなわち

近似解 x(k) が厳密解に近い場合もあるが、必ずしもそうとは限らない。

連立1次方程式の解法のうち、Gaussの消去法が分類されるのはどちらですか。

直接法

実対称かつ正定値である

CG法は、連立1次方程式 Ax=f を解く問題を、ある等価な問題に置き換えて解いていると解釈できます。その等価な問題とは何ですか。

特定の二次形式の関数 F(x) を最小化する最適化問題

CG法の理論的な基礎となるKrylov（クリロフ）部分空間は、どのベクトルから生成されますか。

初期残差ベクトル r(0) に係数行列 A を繰り返し乗じたベクトル列

CG法において、2つのベクトル x, y が互いに「共役」であるとは、どのような関係式が成り立つことですか。（Aは係数行列、(・,・)は内積）

(Ax, y) = 0

CG法の収束性に関する記述として、理論的に正しいものはどれですか。

計算機誤差を無視すれば、最大でも未知数の数（n）回の反復で厳密解に収束する。

線形反復法 x(k) = M⁻¹(f - Nx^(k-1)) が収束するための十分条件として挙げられているものはどれですか。

反復行列 -M⁻¹N の作用素ノルムが1未満であること。

例3.2の数値例で、大規模な連立1次方程式をGaussの消去法で解いた際に、どのような現象が確認されましたか。

問題の規模が大きくなると、計算機誤差の蓄積により、倍精度計算ですら破綻することがあった。

ベクトルの内積が満たすべき性質（公理）として、誤っているものはどれですか。（x, y, zはベクトル、cは実数）

(分配則) (x+y, z) = (x, z) * (y, z)

CG法の収束が遅い場合に、収束性を改善するために係数行列 A に施す変換を何と呼びますか。

前処理

いくつかの異なる点（標本点）で元の関数と値が一致するように、多項式で関数を近似する手法を何と呼びますか。

Lagrange補間

Rungeの現象

数値積分の基本的な考え方として、最も適切なものはどれですか。

被積分関数を多項式で近似し、その多項式を厳密に積分する。

3つの標本点（両端とその中点）を使って積分値を近似する「Simpsonの公式」は、何次までの多項式を誤差なく正確に積分できますか。

3次

Gaussの公式

複合公式

数値積分の精度について述べた文として、最も適切なものはどれですか。

被積分関数が滑らか（何回も微分可能）であるほど、高次の公式が有効になり精度が向上する。

関数の値だけでなく、その導関数の値も用いて、より滑らかに接続する多項式で関数を近似する手法を何と呼びますか。

Hermite補間

補間多項式を用いる際に、補間に用いた標本点が含まれる区間の「外側」の点の値を推定することを何と呼びますか。

外挿（補外）

数値積分公式の性能を表す「次数」とは、何を意味しますか。

その公式が誤差なく正確に積分できる多項式の最大次数。

常微分方程式の数値解法において、時刻tᵢ₊₁の値を、直前の時刻tᵢの値の情報だけを用いて計算する手法を総称して何と呼びますか。

1段法

1階常微分方程式 x' = f(t,x) に対する、最も基本的な前進Euler法の漸化式として正しいものはどれですか。（hは時間ステップ）

Xᵢ₊₁ = Xᵢ + hf(tᵢ, Xᵢ)

スティッフな系

次の時刻tᵢ₊₁の値を求めるために、その値Xᵢ₊₁自身を含む方程式を解く必要があるような解法を、一般に何と呼びますか。

陰的な方法（陰解法）

実用上広く用いられ、一般に4次の精度を持つとされる1段法の名称は何ですか。

Runge-Kutta法

x'' + x = 0 のような2階の常微分方程式を解くための一つのアプローチとして、本書で紹介されているものはどれですか。

速度 y = x' を新たな未知関数として導入し、1階の連立常微分方程式として扱う。

2階の常微分方程式の解法であるNewmarkのβ法において、パラメータβを1/4に選んだ場合に見られる特徴的な性質は何ですか。

数値解が、もとの問題が持つ力学的エネルギー保存則を（離散的に）満たす。

2階導関数 x'' を、時刻 tᵢ において (Xᵢ₊₁ - 2Xᵢ + Xᵢ₋₁) / h² という形で近似する手法を何と呼びますか。

中心差分法

数値解法の性能を評価する「局所打ち切り誤差」とは、何を意味しますか。

解法の漸化式に、真の（厳密な）解を代入したときに生じるズレ（残差）。

例5.1のスティッフな問題 x' = -15x の計算例において、陽解法である前進Euler法はどのような結果を示しましたか。

解が激しく振動し、定性的に誤った、物理的にありえない挙動を示した。

行列の固有値問題に数値的な近似解法が必要となる根本的な理由は何ですか。

5次以上の行列では、固有値を求めるための代数的な解の公式が存在しないため。

絶対値が最大の固有値

A⁻¹（Aの逆行列）

(Ax, x) / (x, x)

Jacobi法やHouseholder法に代表される「行列変換法」の主な目的は何ですか。

行列を、固有値が計算しやすい対角行列や三重対角行列に変換すること。

行列変換法の一つであるJacobi法は、どのような変換を繰り返し適用することで、行列を対角行列に近づけていきますか。

平面内の回転を表す変換

Householder法は、有限回の変換で行列を三重対角行列にすることができます。この方法で用いられる変換は、幾何学的には何を意味しますか。

鏡映（鏡像）

Ax = λBx という形式で表される固有値問題を、特に何と呼びますか。

一般固有値問題

シフト値 μ を用いた「シフト付き逆べき乗法」によって求められるのは、行列 A のどの固有値ですか。

μ に最も近い固有値

この章で、固有値問題の数値解法を説明するにあたって、主に対象として扱われている行列の種類は何ですか。

実対称行列