問題一覧
1
ユークリッド空間上の制約付き最適化問題において、制約条件を満たす点の集合自体を一つの空間と見なす考え方で現れる幾何学的な対象を何と呼びますか？
多様体
2
行列の各列ベクトルが互いに直交し、かつ各列ベクトルの長さが1であるという制約を持つ行列全体の集合がなす多様体は何ですか？
シュティーフェル多様体
3
n次元空間内のp次元線形部分空間全体の集合がなす多様体は何ですか？
グラスマン多様体
4
実対称行列Aの最小固有値とそれに対応する固有ベクトルを求める問題は、どの多様体上の最適化問題として定式化できますか？
球面 Sn−1
5
St(p,n) の定義において、p=1 とした場合に一致する多様体はどれですか？
Sn−1
6
データ行列の分散共分散行列の固有値分解と密接な関係があるデータ分析手法は何ですか？
主成分分析
7
2組のデータ間の相関を最大化するような線形結合を見つける正準相関分析は、主にどの多様体上の最適化問題として定式化されますか？
一般化シュティーフェル多様体
8
混合正規分布モデルのパラメータ推定問題において、分散共分散行列が満たすべき条件として現れる多様体は何ですか？
正定値対称行列全体
9
多様体であり、かつ群の構造も持つ数学的対象を何と呼びますか？
リー群
10
主成分分析に「結合係数が非負である」という制約を加えた非負主成分分析は、どのような最適化問題として定式化されますか？
多様体上の制約付き最適化問題
11
凸関数を凸集合上で最小化する問題において、局所的最適解はどのような性質を持ちますか？
常に大域的最適解でもある
12
C_1級関数f(x)の無制約最適化問題において、点x^*が局所的最適解であるための1次の必要条件は何ですか？
grad f(x^*)=0
13
C_2級関数f(x)の無制約最適化問題において、点x^*が狭義局所的最適解であるための2次の十分条件として、grad f(x^*)=0 に加えてもう一つ必要な条件は何ですか？
Hess f(x^*)>0
14
最適化アルゴリズムにおいて、現在の点から次に進むべき方向を何と呼びますか？
探索方向
15
直線探索において、ステップ幅が小さくなりすぎることを防ぎ、かつ関数値を十分に減少させることを保証する条件の組み合わせを何と呼びますか？
強ウルフ条件
16
点列${x_k}が解x^$に収束するとき、不等式 $
2次収束
17
探索方向として、目的関数の勾配の逆方向 −gradf(xk) を用いる最も基本的な最適化アルゴリズムは何ですか？
最急降下法
18
目的関数を2次関数で近似し、その最小点を次の点とする最適化手法で、局所的に非常に高速な収束性を持つものはどれですか？
ニュートン法
19
線形共役勾配法がもともと解法として提案されたのは、どのような問題ですか？
連立1次方程式
20
ニュートン法において、ヘッセ行列の計算を近似的な行列で置き換えることで、計算コストを抑えつつ高速な収束を目指す手法は何ですか？
準ニュートン法
21
制約付き最適化問題において、ある実行可能解$\overline{x}で不等式制約g_i(x) \le 0$の等号が成り立つとき、この制約を何と呼びますか？
有効な制約
22
実行可能集合のある点において、その点から進むことが可能な方向ベクトル全体の集合を幾何学的に表現したものを何と呼びますか？
接錐
23
制約付き最適化問題の局所的最適解が満たすべき1次の必要条件として、ラグランジュ乗数を用いて記述される条件を何と呼びますか？
KKT条件
24
KKT条件の一部で、不等式制約gi(x)≤0とそのラグランジュ乗数$\mu_i \ge 0$について μigi(x)=0 が成り立つという条件を何と呼びますか？
相補性条件
25
局所的最適解でKKT条件が成立することを保証するために、制約関数が満たすべき仮定を総称して何と呼びますか？
制約想定
26
以下の制約想定のうち、最も強い（成立すれば他の3つも成立する）ものはどれですか？
LICQ (線形独立制約想定)
27
ある錐Cのすべてのベクトルと標準内積をとった際に非正になるようなベクトル全体の集合を何と呼びますか？
極錐
28
ラグランジュ関数に制約違反に対するペナルティ項を加えた関数を用いて最適化を行う手法は何ですか？
拡張ラグランジュ法
29
球面$S^{n-1}$上の最適化問題を考える際、ある点$x \in S^{n-1}$における探索方向は、どの空間に属するベクトルとして計算するのが自然ですか？
接空間TxSn−1
30
球面上の最適化アルゴリズムで、ある点xkから探索方向dkへ進むとき、次の点$x_{k+1}$を計算する操作は何に対応しますか？
球面に沿った曲線（レトラクション）で移動する
31
位相空間を定義するために、距離の概念から抽象化された最も基本的な概念は何ですか？
開集合
32
位相空間$(X, \mathcal{O})において、開集合が満たすべき性質として∗∗間違っている∗∗ものはどれですか？
有限個の開集合の和集合は開集合である
33
位相空間において、点列の極限が一意的に定まることを保証する性質は何ですか？
ハウスドルフ性
34
ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件は何ですか？
有界な閉集合であること
35
コンパクト空間上で定義された連続な実数値関数について、必ず言えることは何ですか？
最小値と最大値を持つ
36
高々可算個の開集合を基に、その空間のすべての開集合を構成できるという性質を持つ位相空間を何と呼びますか？
第二可算空間
37
2つの位相空間が「位相的に同じ形」であることを意味する、連続で逆写像も連続な全単射写像を何と呼びますか？
同相写像
38
距離空間$(X, d)において、点x \in Xと実数r>0$に対して定義される集合 B(x;r):={y∈X∣d(x,y)<r} を何と呼びますか？
開球
39
位相空間$(X,\mathcal{O})の部分集合F$が閉集合であることの定義は何ですか？
Fの補集合X−Fが開集合である
40
位相空間の理論だけでは最適化アルゴリズムの構築が困難である主な理由は何ですか？
関数の微分の概念が一般には定義できないため
41
多様体を局所的にユークリッド空間と見なすための、多様体の開集合から$\mathbb{R}^n$の開集合への同相写像を何と呼びますか？
チャート
42
多様体上の関数の微分可能性を、チャートの選び方によらずに一貫して定義するために必要な、アトラスが満たすべき条件は何ですか？
任意の2つのチャートの座標変換が滑らかであること
43
多様体上のある点pを通過する全ての滑らかな曲線の速度ベクトルが集まってできるベクトル空間を何と呼びますか？
接空間
44
滑らかな写像 F:M→N の点pにおける微分 DF(p) は、どのような写像ですか？
TpM から TF(p)N への線形写像
45
多様体上の各点に、その点における接ベクトルを一つずつ滑らかに対応させるものを何と呼びますか？
ベクトル場
46
n次元多様体$\mathcal{M}の接束T\mathcal{M}$は何次元の多様体になりますか？
2n次元
47
滑らかな写像 F:M→N と正則値 q∈N があるとき、F−1(q) が$\overline{\mathcal{M}}$の部分多様体になることを保証する定理は何ですか？
正則レベル集合定理
48
シュティーフェル多様体 St(p,n) は、どのような集合として定義されますか？
列ベクトルが正規直交であるようなn×p行列全体の集合
49
グラスマン多様体 Gr(p,n) は、シュティーフェル多様体 St(p,n) をあるリー群の作用で割った商多様体として構成されます。このリー群は何ですか？
O(p)
50
2つの多様体が、微分可能な構造まで含めて「同じ形」であると見なせることを示す写像は何ですか？
微分同相写像
51
滑らかな多様体の各点の接空間に、滑らかに変化する内積を定めたものを何と呼びますか？
リーマン計量
52
リーマン多様体上の関数fの点xにおける微分$Df(x)$とリーマン勾配grad $f(x)$の関係式として正しいものはどれですか？ ($\xi$は任意の接ベクトル)
Df(x)[ξ]=⟨gradf(x),ξ⟩x
53
リーマン部分多様体$\mathcal{M} \subset \overline{\mathcal{M}}上の関数fの勾配は、\overline{\mathcal{M}}上の関数\overline{f}$の勾配を用いてどのように計算できますか？（Pxは接空間への直交射影）
grad f(x)=Px(gradf(x))
54
商多様体$\mathcal{M} = \overline{\mathcal{M}}/\simにおいて、点x \in \overline{\mathcal{M}}の接空間T_x\overline{\mathcal{M}}$を、同値類の接空間（垂直空間）とそれに直交する空間に分解します。後者を何と呼びますか？
水平空間
55
リーマン多様体上で一意的に存在する、計量適合性と対称性を満たす特別なアフィン接続は何ですか？
レヴィ＝チヴィタ接続
56
リーマン多様体上の関数fのヘシアンHess $f(x)$は、どのように定義されますか？（$\nabla$はレヴィ＝チヴィタ接続、ξは接ベクトル）
Hess f(x)[ξ]=∇ξgradf
57
リーマン多様体上における「直線」に相当する、加速度が0の曲線を何と呼びますか？
測地線
58
点xから接ベクトル$\xiの方向に、測地線に沿って距離
指数写像
59
連結なリーマン多様体上の2点間の距離は、どのように定義されますか？
2点を結ぶ区分的に滑らかな曲線の長さの下限
60
球面$S^{n-1}$を$\mathbb{R}^n$のリーマン部分多様体と見なしたとき、点$x \in S^{n-1}における接空間T_xS^{n-1}$への直交射影行列はどれですか？
In−xxT
61
ユークリッド空間での点の更新 xk+1=xk+tkdk を、多様体上で接ベクトル方向に点を移動させる操作に一般化したものを何と呼びますか？
レトラクション
62
多様体上の最適化で、点xkから$x_{k+1}へ移動した際に、古い接空間T_{x_k}\mathcal{M}のベクトルを新しい接空間T_{x_{k+1}}\mathcal{M}$へ「輸送」するための写像を何と呼びますか？
ベクトル移動
63
リーマン多様体上の無制約最適化問題において、点$x^*$が局所的最適解であるための1次の必要条件は何ですか？
リーマン勾配が0になる
64
レトラクションの定義が満たすべき条件の一つは、Rx(0x)=x です。もう一つの条件は、0xにおける微分$DR_x(0_x)$がどのような写像になることですか？
恒等写像
65
シュティーフェル多様体$St(p,n)$上の点$X$と接ベクトル$\eta$に対して、$X+\eta$をQR分解したときのQ成分を返す写像$qf(X+\eta)$は、何の一例ですか？
レトラクション
66
ユークリッド空間における「直線探索」は、多様体上ではレトラクションを用いて何として一般化されますか？
曲線探索
67
多様体上の曲線探索において、ステップ幅が満たすべき条件としてユークリッド空間から拡張されたものは次のうちどれですか？
ウルフ条件
68
リーマン多様体上の点列${x_k}が解x^*$に1次収束することを定義するために用いられる「距離」は何ですか？
リーマン距離
69
指数写像は、レトラクションの特別な場合と見なせます。この指数写像は何に沿って点を移動させる写像ですか？
測地線
70
リーマン多様体上の関数fについて、その勾配grad $f(x)$の滑らかさに関する仮定（仮定7.7.1）は、ユークリッド空間における何の性質を一般化したものですか？
勾配のリプシッツ連続性
71
リーマン多様体上の最急降下法において、点xkでの探索方向$\eta_k$はどのように決定されますか？
ηk=−gradf(xk)
72
リーマン多様体上の共役勾配法で、前のステップの探索方向$\eta_{k}$を現在のステップで利用するために不可欠な操作は何ですか？
ベクトル移動
73
リーマン多様体上のニュートン法において、探索方向$\eta_k$を求めるために解く必要がある方程式を何と呼びますか？
ニュートン方程式
74
リーマン多様体上のニュートン法が持つ、解の近傍での非常に高速な収束性はどれですか？
2次収束
75
リーマン多様体上の共役勾配法において、$\beta_{k+1}$を計算する様々な公式（FR型, DY型など）がありますが、これは元々どの空間のアルゴリズムから拡張されたものですか？
ユークリッド空間
76
ニュートン法で必要となるヘシアンの計算と逆行列計算を、勾配の情報を用いて近似する手法は何ですか？
準ニュートン法
77
目的関数が多数の項の和で表される場合に、計算コストを削減するために勾配をランダムに選んだ一部の項だけで近似する手法は何ですか？
確率的勾配降下法
78
ニュートン法の大域的収束性を改善するため、各点で2次近似モデルが有効な「領域」を設定し、その中で部分問題を解く手法は何ですか？
信頼領域法
79
線形共役勾配法（アルゴリズム8.4）は、何の問題を解くために利用されますか？
内積空間上の正定値対称な線形方程式
80
目的関数が滑らかな部分と滑らかでない凸関数の和で書かれている場合に有効な最適化手法は何ですか？
近接勾配法
81
2つの多様体$\mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2の積多様体\mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}2における接空間T{(x_1, x_2)}(\mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}2)$は、どのように表せますか？
Tx1M1×Tx2M2
82
シュティーフェル多様体$St(p,n)$上の関数 $f(X) = \text{tr}(X^TAXN)$ の最小化問題の最適解$X^*$の各列は、行列Aの何に対応しますか？
固有ベクトル
83
グラスマン多様体$Gr(p,n)$上の関数 $f([X]) = \text{tr}(X^TAX)$ の最小化問題の最適解$[X^*]$が張る部分空間は、行列Aの何で張られますか？
小さい方からp個の固有値に対応する固有ベクトル
84
図9.1と図9.2に示されているように、球面上の最適化において、最急降下法がしばしば示す挙動は何ですか？
ジグザグに進み収束が遅い
85
表9.1のグラスマン多様体上の最適化の比較において、1反復あたりの計算時間が最も長いものの、全体の計算時間が短い手法はどれですか？
信頼領域法
86
正準相関分析は、どの多様体上の最適化問題として定式化されますか？
一般化シュティーフェル多様体
87
一般化シュティーフェル多様体$St_G(p,n)$上の効率的なレトラクションを実装するために、行列の平方根計算の代わりに使用される、より計算コストの低い行列分解は何ですか？
コレスキー分解
88
混合正規分布モデルのパラメータ推定において、分散共分散行列が属する空間として扱われる多様体は何ですか？
正定値対称行列全体 Sym++(n)
89
正定値対称行列の多様体$Sym_{++}(n)$のリーマン計量として、$\langle \xi, \eta \rangle_X = \text{tr}(X^{-1}\xi X^{-1}\eta)$ を用いた場合、ユークリッド勾配grad$^E\overline{f}(X)$からリーマン勾配grad $f(X)$を計算する式はどれですか？
grad f(X)=XgradEf(X)X
90
2つのシュティーフェル多様体の積多様体$St(p,m) \times St(p,n)$上の最適化問題として定式化されるのは、何の計算ですか？
行列Aのp個の最大特異値・特異ベクトル
91
第10章で扱われる「多様体上の制約付き最適化問題」とは、どのような問題ですか？
決定変数が多様体に属し、さらに追加の不等式・等式制約がある問題
92
多様体上のKKT条件を、リーマン計量を仮定しない滑らかな多様体上で記述する際に、勾配ベクトルの代わりに用いられるものは何ですか？
関数の微分（余接ベクトル）
93
ユークリッド空間と同様に、多様体上の局所的最適解でKKT条件が成り立つことを保証するために必要となる仮定を何と呼びますか？
制約想定
94
多様体上の制約想定の関係として正しいものはどれですか？
LICQ⇒ACQ
95
リーマン多様体$\mathcal{M}上の制約付き最適化問題の局所的最適解x^は、-Df(x^)$がどの集合に属するという条件を満たしますか？
接錐の極錐 TΩ(x∗)∘
96
球面上のレイリー商最小化問題に、さらに非負制約 x≥0 を加えた問題は、どのような最適化問題に分類されますか？
多様体上の制約付き最適化問題
97
制約付き最適化問題を、ペナルティ項を持つ無制約最適化問題の列に変換して解く手法を、多様体上に拡張したものは何ですか？
拡張ラグランジュ法
98
拡張ラグランジュ法における$L_\rho(x, \mu, \lambda)$の$\rho$は何を指しますか？
ペナルティパラメータ
99
非負主成分分析は、どの多様体上の制約付き最適化問題として定式化されますか？
球面
100
多様体上の拡張ラグランジュ法の各反復では、主に何が行われますか？
拡張ラグランジュ関数の無制約最適化
数値計算
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数値計算の常識
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数値計算の誤差と精度
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数値解析の原理_1
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数値で学ぶ計算と解析
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統計的因果推論_1
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統計的因果推論_2
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数値解析の原理_2
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実践 有限要素法シミュレーション
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変分法と有限要素法
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数値解析 第2版
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数値計算 [新訂第2版]
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有限要素法へのいざない_2
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有限要素法入門
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数値解析 数・学・探・検 17
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差分法
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多様体上の最適化理論_2
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続 やさしい有限要素法の計算
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問題一覧
1
ユークリッド空間上の制約付き最適化問題において、制約条件を満たす点の集合自体を一つの空間と見なす考え方で現れる幾何学的な対象を何と呼びますか？
多様体
2
行列の各列ベクトルが互いに直交し、かつ各列ベクトルの長さが1であるという制約を持つ行列全体の集合がなす多様体は何ですか？
シュティーフェル多様体
3
n次元空間内のp次元線形部分空間全体の集合がなす多様体は何ですか？
グラスマン多様体
4
実対称行列Aの最小固有値とそれに対応する固有ベクトルを求める問題は、どの多様体上の最適化問題として定式化できますか？
球面 Sn−1
5
St(p,n) の定義において、p=1 とした場合に一致する多様体はどれですか？
Sn−1
6
データ行列の分散共分散行列の固有値分解と密接な関係があるデータ分析手法は何ですか？
主成分分析
7
2組のデータ間の相関を最大化するような線形結合を見つける正準相関分析は、主にどの多様体上の最適化問題として定式化されますか？
一般化シュティーフェル多様体
8
混合正規分布モデルのパラメータ推定問題において、分散共分散行列が満たすべき条件として現れる多様体は何ですか？
正定値対称行列全体
9
多様体であり、かつ群の構造も持つ数学的対象を何と呼びますか？
リー群
10
主成分分析に「結合係数が非負である」という制約を加えた非負主成分分析は、どのような最適化問題として定式化されますか？
多様体上の制約付き最適化問題
11
凸関数を凸集合上で最小化する問題において、局所的最適解はどのような性質を持ちますか？
常に大域的最適解でもある
12
C_1級関数f(x)の無制約最適化問題において、点x^*が局所的最適解であるための1次の必要条件は何ですか？
grad f(x^*)=0
13
C_2級関数f(x)の無制約最適化問題において、点x^*が狭義局所的最適解であるための2次の十分条件として、grad f(x^*)=0 に加えてもう一つ必要な条件は何ですか？
Hess f(x^*)>0
14
最適化アルゴリズムにおいて、現在の点から次に進むべき方向を何と呼びますか？
探索方向
15
直線探索において、ステップ幅が小さくなりすぎることを防ぎ、かつ関数値を十分に減少させることを保証する条件の組み合わせを何と呼びますか？
強ウルフ条件
16
点列${x_k}が解x^$に収束するとき、不等式 $
2次収束
17
探索方向として、目的関数の勾配の逆方向 −gradf(xk) を用いる最も基本的な最適化アルゴリズムは何ですか？
最急降下法
18
目的関数を2次関数で近似し、その最小点を次の点とする最適化手法で、局所的に非常に高速な収束性を持つものはどれですか？
ニュートン法
19
線形共役勾配法がもともと解法として提案されたのは、どのような問題ですか？
連立1次方程式
20
ニュートン法において、ヘッセ行列の計算を近似的な行列で置き換えることで、計算コストを抑えつつ高速な収束を目指す手法は何ですか？
準ニュートン法
21
制約付き最適化問題において、ある実行可能解$\overline{x}で不等式制約g_i(x) \le 0$の等号が成り立つとき、この制約を何と呼びますか？
有効な制約
22
実行可能集合のある点において、その点から進むことが可能な方向ベクトル全体の集合を幾何学的に表現したものを何と呼びますか？
接錐
23
制約付き最適化問題の局所的最適解が満たすべき1次の必要条件として、ラグランジュ乗数を用いて記述される条件を何と呼びますか？
KKT条件
24
KKT条件の一部で、不等式制約gi(x)≤0とそのラグランジュ乗数$\mu_i \ge 0$について μigi(x)=0 が成り立つという条件を何と呼びますか？
相補性条件
25
局所的最適解でKKT条件が成立することを保証するために、制約関数が満たすべき仮定を総称して何と呼びますか？
制約想定
26
以下の制約想定のうち、最も強い（成立すれば他の3つも成立する）ものはどれですか？
LICQ (線形独立制約想定)
27
ある錐Cのすべてのベクトルと標準内積をとった際に非正になるようなベクトル全体の集合を何と呼びますか？
極錐
28
ラグランジュ関数に制約違反に対するペナルティ項を加えた関数を用いて最適化を行う手法は何ですか？
拡張ラグランジュ法
29
球面$S^{n-1}$上の最適化問題を考える際、ある点$x \in S^{n-1}$における探索方向は、どの空間に属するベクトルとして計算するのが自然ですか？
接空間TxSn−1
30
球面上の最適化アルゴリズムで、ある点xkから探索方向dkへ進むとき、次の点$x_{k+1}$を計算する操作は何に対応しますか？
球面に沿った曲線（レトラクション）で移動する
31
位相空間を定義するために、距離の概念から抽象化された最も基本的な概念は何ですか？
開集合
32
位相空間$(X, \mathcal{O})において、開集合が満たすべき性質として∗∗間違っている∗∗ものはどれですか？
有限個の開集合の和集合は開集合である
33
位相空間において、点列の極限が一意的に定まることを保証する性質は何ですか？
ハウスドルフ性
34
ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件は何ですか？
有界な閉集合であること
35
コンパクト空間上で定義された連続な実数値関数について、必ず言えることは何ですか？
最小値と最大値を持つ
36
高々可算個の開集合を基に、その空間のすべての開集合を構成できるという性質を持つ位相空間を何と呼びますか？
第二可算空間
37
2つの位相空間が「位相的に同じ形」であることを意味する、連続で逆写像も連続な全単射写像を何と呼びますか？
同相写像
38
距離空間$(X, d)において、点x \in Xと実数r>0$に対して定義される集合 B(x;r):={y∈X∣d(x,y)<r} を何と呼びますか？
開球
39
位相空間$(X,\mathcal{O})の部分集合F$が閉集合であることの定義は何ですか？
Fの補集合X−Fが開集合である
40
位相空間の理論だけでは最適化アルゴリズムの構築が困難である主な理由は何ですか？
関数の微分の概念が一般には定義できないため
41
多様体を局所的にユークリッド空間と見なすための、多様体の開集合から$\mathbb{R}^n$の開集合への同相写像を何と呼びますか？
チャート
42
多様体上の関数の微分可能性を、チャートの選び方によらずに一貫して定義するために必要な、アトラスが満たすべき条件は何ですか？
任意の2つのチャートの座標変換が滑らかであること
43
多様体上のある点pを通過する全ての滑らかな曲線の速度ベクトルが集まってできるベクトル空間を何と呼びますか？
接空間
44
滑らかな写像 F:M→N の点pにおける微分 DF(p) は、どのような写像ですか？
TpM から TF(p)N への線形写像
45
多様体上の各点に、その点における接ベクトルを一つずつ滑らかに対応させるものを何と呼びますか？
ベクトル場
46
n次元多様体$\mathcal{M}の接束T\mathcal{M}$は何次元の多様体になりますか？
2n次元
47
滑らかな写像 F:M→N と正則値 q∈N があるとき、F−1(q) が$\overline{\mathcal{M}}$の部分多様体になることを保証する定理は何ですか？
正則レベル集合定理
48
シュティーフェル多様体 St(p,n) は、どのような集合として定義されますか？
列ベクトルが正規直交であるようなn×p行列全体の集合
49
グラスマン多様体 Gr(p,n) は、シュティーフェル多様体 St(p,n) をあるリー群の作用で割った商多様体として構成されます。このリー群は何ですか？
O(p)
50
2つの多様体が、微分可能な構造まで含めて「同じ形」であると見なせることを示す写像は何ですか？
微分同相写像
51
滑らかな多様体の各点の接空間に、滑らかに変化する内積を定めたものを何と呼びますか？
リーマン計量
52
リーマン多様体上の関数fの点xにおける微分$Df(x)$とリーマン勾配grad $f(x)$の関係式として正しいものはどれですか？ ($\xi$は任意の接ベクトル)
Df(x)[ξ]=⟨gradf(x),ξ⟩x
53
リーマン部分多様体$\mathcal{M} \subset \overline{\mathcal{M}}上の関数fの勾配は、\overline{\mathcal{M}}上の関数\overline{f}$の勾配を用いてどのように計算できますか？（Pxは接空間への直交射影）
grad f(x)=Px(gradf(x))
54
商多様体$\mathcal{M} = \overline{\mathcal{M}}/\simにおいて、点x \in \overline{\mathcal{M}}の接空間T_x\overline{\mathcal{M}}$を、同値類の接空間（垂直空間）とそれに直交する空間に分解します。後者を何と呼びますか？
水平空間
55
リーマン多様体上で一意的に存在する、計量適合性と対称性を満たす特別なアフィン接続は何ですか？
レヴィ＝チヴィタ接続
56
リーマン多様体上の関数fのヘシアンHess $f(x)$は、どのように定義されますか？（$\nabla$はレヴィ＝チヴィタ接続、ξは接ベクトル）
Hess f(x)[ξ]=∇ξgradf
57
リーマン多様体上における「直線」に相当する、加速度が0の曲線を何と呼びますか？
測地線
58
点xから接ベクトル$\xiの方向に、測地線に沿って距離
指数写像
59
連結なリーマン多様体上の2点間の距離は、どのように定義されますか？
2点を結ぶ区分的に滑らかな曲線の長さの下限
60
球面$S^{n-1}$を$\mathbb{R}^n$のリーマン部分多様体と見なしたとき、点$x \in S^{n-1}における接空間T_xS^{n-1}$への直交射影行列はどれですか？
In−xxT
61
ユークリッド空間での点の更新 xk+1=xk+tkdk を、多様体上で接ベクトル方向に点を移動させる操作に一般化したものを何と呼びますか？
レトラクション
62
多様体上の最適化で、点xkから$x_{k+1}へ移動した際に、古い接空間T_{x_k}\mathcal{M}のベクトルを新しい接空間T_{x_{k+1}}\mathcal{M}$へ「輸送」するための写像を何と呼びますか？
ベクトル移動
63
リーマン多様体上の無制約最適化問題において、点$x^*$が局所的最適解であるための1次の必要条件は何ですか？
リーマン勾配が0になる
64
レトラクションの定義が満たすべき条件の一つは、Rx(0x)=x です。もう一つの条件は、0xにおける微分$DR_x(0_x)$がどのような写像になることですか？
恒等写像
65
シュティーフェル多様体$St(p,n)$上の点$X$と接ベクトル$\eta$に対して、$X+\eta$をQR分解したときのQ成分を返す写像$qf(X+\eta)$は、何の一例ですか？
レトラクション
66
ユークリッド空間における「直線探索」は、多様体上ではレトラクションを用いて何として一般化されますか？
曲線探索
67
多様体上の曲線探索において、ステップ幅が満たすべき条件としてユークリッド空間から拡張されたものは次のうちどれですか？
ウルフ条件
68
リーマン多様体上の点列${x_k}が解x^*$に1次収束することを定義するために用いられる「距離」は何ですか？
リーマン距離
69
指数写像は、レトラクションの特別な場合と見なせます。この指数写像は何に沿って点を移動させる写像ですか？
測地線
70
リーマン多様体上の関数fについて、その勾配grad $f(x)$の滑らかさに関する仮定（仮定7.7.1）は、ユークリッド空間における何の性質を一般化したものですか？
勾配のリプシッツ連続性
71
リーマン多様体上の最急降下法において、点xkでの探索方向$\eta_k$はどのように決定されますか？
ηk=−gradf(xk)
72
リーマン多様体上の共役勾配法で、前のステップの探索方向$\eta_{k}$を現在のステップで利用するために不可欠な操作は何ですか？
ベクトル移動
73
リーマン多様体上のニュートン法において、探索方向$\eta_k$を求めるために解く必要がある方程式を何と呼びますか？
ニュートン方程式
74
リーマン多様体上のニュートン法が持つ、解の近傍での非常に高速な収束性はどれですか？
2次収束
75
リーマン多様体上の共役勾配法において、$\beta_{k+1}$を計算する様々な公式（FR型, DY型など）がありますが、これは元々どの空間のアルゴリズムから拡張されたものですか？
ユークリッド空間
76
ニュートン法で必要となるヘシアンの計算と逆行列計算を、勾配の情報を用いて近似する手法は何ですか？
準ニュートン法
77
目的関数が多数の項の和で表される場合に、計算コストを削減するために勾配をランダムに選んだ一部の項だけで近似する手法は何ですか？
確率的勾配降下法
78
ニュートン法の大域的収束性を改善するため、各点で2次近似モデルが有効な「領域」を設定し、その中で部分問題を解く手法は何ですか？
信頼領域法
79
線形共役勾配法（アルゴリズム8.4）は、何の問題を解くために利用されますか？
内積空間上の正定値対称な線形方程式
80
目的関数が滑らかな部分と滑らかでない凸関数の和で書かれている場合に有効な最適化手法は何ですか？
近接勾配法
81
2つの多様体$\mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2の積多様体\mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}2における接空間T{(x_1, x_2)}(\mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}2)$は、どのように表せますか？
Tx1M1×Tx2M2
82
シュティーフェル多様体$St(p,n)$上の関数 $f(X) = \text{tr}(X^TAXN)$ の最小化問題の最適解$X^*$の各列は、行列Aの何に対応しますか？
固有ベクトル
83
グラスマン多様体$Gr(p,n)$上の関数 $f([X]) = \text{tr}(X^TAX)$ の最小化問題の最適解$[X^*]$が張る部分空間は、行列Aの何で張られますか？
小さい方からp個の固有値に対応する固有ベクトル
84
図9.1と図9.2に示されているように、球面上の最適化において、最急降下法がしばしば示す挙動は何ですか？
ジグザグに進み収束が遅い
85
表9.1のグラスマン多様体上の最適化の比較において、1反復あたりの計算時間が最も長いものの、全体の計算時間が短い手法はどれですか？
信頼領域法
86
正準相関分析は、どの多様体上の最適化問題として定式化されますか？
一般化シュティーフェル多様体
87
一般化シュティーフェル多様体$St_G(p,n)$上の効率的なレトラクションを実装するために、行列の平方根計算の代わりに使用される、より計算コストの低い行列分解は何ですか？
コレスキー分解
88
混合正規分布モデルのパラメータ推定において、分散共分散行列が属する空間として扱われる多様体は何ですか？
正定値対称行列全体 Sym++(n)
89
正定値対称行列の多様体$Sym_{++}(n)$のリーマン計量として、$\langle \xi, \eta \rangle_X = \text{tr}(X^{-1}\xi X^{-1}\eta)$ を用いた場合、ユークリッド勾配grad$^E\overline{f}(X)$からリーマン勾配grad $f(X)$を計算する式はどれですか？
grad f(X)=XgradEf(X)X
90
2つのシュティーフェル多様体の積多様体$St(p,m) \times St(p,n)$上の最適化問題として定式化されるのは、何の計算ですか？
行列Aのp個の最大特異値・特異ベクトル
91
第10章で扱われる「多様体上の制約付き最適化問題」とは、どのような問題ですか？
決定変数が多様体に属し、さらに追加の不等式・等式制約がある問題
92
多様体上のKKT条件を、リーマン計量を仮定しない滑らかな多様体上で記述する際に、勾配ベクトルの代わりに用いられるものは何ですか？
関数の微分（余接ベクトル）
93
ユークリッド空間と同様に、多様体上の局所的最適解でKKT条件が成り立つことを保証するために必要となる仮定を何と呼びますか？
制約想定
94
多様体上の制約想定の関係として正しいものはどれですか？
LICQ⇒ACQ
95
リーマン多様体$\mathcal{M}上の制約付き最適化問題の局所的最適解x^は、-Df(x^)$がどの集合に属するという条件を満たしますか？
接錐の極錐 TΩ(x∗)∘
96
球面上のレイリー商最小化問題に、さらに非負制約 x≥0 を加えた問題は、どのような最適化問題に分類されますか？
多様体上の制約付き最適化問題
97
制約付き最適化問題を、ペナルティ項を持つ無制約最適化問題の列に変換して解く手法を、多様体上に拡張したものは何ですか？
拡張ラグランジュ法
98
拡張ラグランジュ法における$L_\rho(x, \mu, \lambda)$の$\rho$は何を指しますか？
ペナルティパラメータ
99
非負主成分分析は、どの多様体上の制約付き最適化問題として定式化されますか？
球面
100
多様体上の拡張ラグランジュ法の各反復では、主に何が行われますか？
拡張ラグランジュ関数の無制約最適化