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数値解析の原理_1
100問 • 6ヶ月前
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    問題一覧

  • 1

    Newtonの運動方程式や放射性崩壊の記述に用いられる、現象を数理的にモデル化するための最も基本的な手段として、本章で繰り返し言及されているものは何ですか。

    微分方程式

  • 2

    弾性体の力と伸びが比例するという関係を示す法則は何ですか。

    Hooke（フック）の法則

  • 3

    1.2節で、複雑な非線形方程式を扱いやすくするために用いられた、未知量の高次の項を無視して1次式で近似する操作を何と呼びますか。

    線形化

  • 4

    コンピュータ上で、値が非常に近い2つの数を引き算した際に、計算結果の有効桁数が大幅に減少してしまう現象を何と呼びますか。

    桁落ち

  • 5

    コンピュータが数を表現する方法として、本章で説明されている、仮数部と指数部を用いて実数を表現する方式は何ですか。

    浮動小数点表示

  • 6

    1.2.5節で、バネで繋がれた質点の数を無限に増やしていくと、その系の運動を記述する方程式は最終的に何に近づくと述べられていますか。

    偏微分方程式

  • 7

    1.2.1節で示された、系のポテンシャル・エネルギーが最小になる状態で静的なつり合いが実現するという物理原理は何ですか。

    ポテンシャル・エネルギー最小の原理

  • 8

    1.1節で例として挙げられた放射性同位元素の崩壊現象は、何階の常微分方程式で記述されますか。

    1階

  • 9

    計算機が扱える数の絶対値が大きすぎて表現できなくなることを何と呼びますか。

    オーバーフロー

  • 10

    1.2.5節の多自由度系の動力学問題で、質点の運動が特定の振動数で振動する解（固有振動）を求める問題は、最終的に何の問題に帰着しましたか。

    行列の固有値問題

  • 11

    Gaussの消去法において、連立1次方程式を行列で表現した際に、対角成分より下の成分がすべて0になるように変形する操作を何と呼びますか。

    前進消去

  • 12

    Gaussの消去法の各ステップで、割り算の分母に来る対角成分のことを何と呼びますか。

    ピボット

  • 13

    ピボットが0に近い値の場合に、絶対値のより大きい成分をピボットに選ぶために行や列の交換を行う操作を何と呼びますか。

    ピボット選択

  • 14

    以下のうち、ピボット選択なしでGaussの消去法が安定して実行できる行列の性質として、本文で挙げられているものはどれですか。

    実対称正定値行列

  • 15

    連立1次方程式 Ax=f を解く際に、逆行列 A^(−1) を計算することは、なぜ一般的に推奨されないのですか。

    逆行列の計算コストが、方程式を直接解くよりも高いため

  • 16

    行列Aを、下三角行列Lと上三角行列Uの積 A=LU に分解することを何と呼びますか。

    LU分解

  • 17

    実対称正定値行列Aを、ある下三角行列Pとその転置行列 PT の積 A=PPT に分解することを特に何と呼びますか。

    Cholesky分解

  • 18

    非零成分が対角線の周囲に集中している行列を何と呼びますか。

    帯行列

  • 19

    Gaussの消去法で係数行列が上三角行列に変形された後、未知数を後ろから順に求めていく過程を何と呼びますか。

    後退代入

  • 20

    対角成分の絶対値が、その行の他の成分の絶対値の和よりも大きい、という性質を持つ行列は何と呼ばれますか。

    狭義対角優位行列

  • 21

    方程式 f(x)=0 を、同等な方程式 x=g(x) の形に変形し、漸化式 x(k)=g(x(k−1)) によって解を求める手法を何と呼びますか。

    反復法

  • 22

    関数 g の写像によって動かされない点、すなわち x=g(x) を満たす点 x を何と呼びますか。

    不動点

  • 23

    Newton法の幾何学的な意味として、正しい説明はどれですか。

    現在の近似点における関数のグラフの接線を引き、その接線とx軸の交点を次の近似点とする。

  • 24

    ある写像が縮小写像であるための条件として、本文で挙げられているものはどれですか。（Lは0以上の定数）

    ∣∣g(x)−g(x∗)∣∣≤L∣∣x−x∗∣∣ （ただし 0 ≦ L < 1）

  • 25

    縮小写像であれば、不動点がただ一つ存在することを保証する定理は何ですか。

    Banach（バナッハ）の不動点定理

  • 26

    Newton法の収束の速さに関する特徴として、正しいものはどれですか。

    解の近くから始めれば、一般に2次収束する。

  • 27

    多変数の関数に対するNewton法において、各ステップで解く必要が生じる方程式は何ですか。

    連立1次方程式

  • 28

    多変数の関数 f(x) の1階の偏導関数を成分とする行列を何と呼びますか。

    Jacobi（ヤコビ）行列

  • 29

    Newton法の反復計算のコストを削減するため、反復の途中で導関数を再計算せず、最初のステップの導関数を使い回す手法を何と呼びますか。

    簡易Newton法

  • 30

    f(x)=x^2−a=0 という方程式にNewton法を適用して、正の数 a の平方根を求める反復式はどれですか。

    x(k)=21​(x(k−1)+x(k−1)a​)

  • 31

    行列Aを A=M+N と分解し、反復式 Mx(k)=f−Nx(k−1) を用いて連立1次方程式を解く手法を総称して何と呼びますか。

    線形反復法

  • 32

    行列Aの対角成分をD、下三角成分をLとして、M=D+L と分解する反復法は何ですか。

    Gauss-Seidel法

  • 33

    Gauss-Seidel法に「加速係数」 ω を導入して収束を速める手法は何ですか。

    SOR法

  • 34

    行列Aの作用素ノルムと、その逆行列 A−1 の作用素ノルムの積 ∣∣A∣∣⋅∣∣A−1∣∣ で定義される量を何と呼びますか。

    条件数

  • 35

    行列の条件数が非常に大きい場合、その行列を係数とする連立1次方程式について、どのようなことが言えますか。

    入力データの小さな誤差が、解の大きな誤差を引き起こす可能性がある。

  • 36

    CG（共役勾配）法が適用できるための、係数行列Aに関する基本的な条件は何ですか。

    実対称正定値行列

  • 37

    2つのベクトル x,y が、行列Aに関して「A-直交（共役）」であるとは、どのような関係が成り立つことですか。

    (Ax,y)=0

  • 38

    ベクトル f,Af,A2f,…,Ak−1f によって張られる線形部分空間を何と呼びますか。

    Krylov（クリロフ）部分空間

  • 39

    CG法の収束性に関する記述として正しいものはどれですか。

    計算機誤差を無視すれば、最大でもn回（nは行列の次数）の反復で厳密解に到達する。

  • 40

    行列の固有値の絶対値の最大値として定義される量は何ですか。

    スペクトル半径

  • 41

    ある一点での関数の値と、その点での微分係数を次々と利用して、関数をべき級数で表現する手法は何ですか。

    Taylor級数

  • 42

    与えられたn個の異なる点（標本点）をすべて通る(n-1)次多項式を求める補間方法は何ですか。

    Lagrange補間

  • 43

    Lagrange補間において、標本点の数を増やしていくと、区間の端の方で補間多項式が激しく振動し、かえって誤差が大きくなることがある現象を何と呼びますか。

    Runge（ルンゲ）の現象

  • 44

    標本点での関数の値だけでなく、その微分係数の値も一致するように多項式を構成する補間方法は何ですか。

    Hermite補間

  • 45

    区間 [−1,1] において、内積 (f,g)=∫−11​f(x)g(x)dx に関して互いに直交する多項式系で、本書で代表例として挙げられているものは何ですか。

    Legendre（ルジャンドル）多項式

  • 46

    関数 f(x) の近似多項式 p(x) を求める際に、L2ノルム ∣∣f−p∣∣ を最小化するような p(x) を求める手法を総称して何と呼びますか。

    最良近似

  • 47

    周期関数を、同じ周期を持つ三角関数の無限和で表現する級数を何と呼びますか。

    Fourier級数

  • 48

    n 個の異なる点 x1​,…,xn​ に対するLagrange補間では、一般に何次の多項式が用いられますか。

    n−1 次

  • 49

    n 個の異なる点 x1​,…,xn​ での値と1階の微分係数を用いるHermite補間では、一般に何次の多項式が用いられますか。

    2n−1 次

  • 50

    5.2.3節で導入された、関数 f(x) に対して f(x+h)−f(x) を計算する作用素 Δ を何と呼びますか。

    前進差分作用素

  • 51

    積分区間を等間隔の点（両端を含む）で分割し、それらの点での関数値を用いて積分を近似する公式群の総称は何ですか。

    Newton-Cotes公式

  • 52

    2つの標本点（区間の両端）での値を使い、関数を直線で近似して積分する、最も単純なNewton-Cotes公式は何ですか。

    台形則

  • 53

    積分区間を複数の小区間に分割し、各小区間で基本的な数値積分公式を適用して、その結果を足し合わせる方法を何と呼びますか。

    複合公式

  • 54

    与えられた標本点の数nに対して、2n-1次という最高の次数を達成するために、標本点と重みを特殊な方法（Legendre多項式の零点など）で選ぶ公式は何ですか。

    Gaussの積分公式

  • 55

    Lagrange補間に基づくn個の標本点を用いる数値積分公式は、最低でも何次までの多項式を厳密に積分できますか。

    n-1次

  • 56

    被積分関数が凸関数である場合、その定積分の真の値I、中点則による値 IM​、台形則による値 IT​ の間には、どのような大小関係が成り立ちますか。

    IM​≤I≤IT​

  • 57

    3つの標本点（両端と中点）を用いる閉型のNewton-Cotes公式で、3次までの多項式を厳密に積分できる公式は何ですか。

    Simpson則

  • 58

    6.3節の誤差評価の表によると、台形則と中点則の誤差の主要項は、積分区間の幅 h=b−a の何乗に比例しますか。

    h3

  • 59

    Gaussの1点積分公式は、何と一致しますか。

    中点則

  • 60

    6.7節で説明されている、長方形領域での2重積分を計算する基本的な考え方はどれですか。

    1次元の積分公式を繰り返し適用する（累次積分）。

  • 61

    常微分方程式の解を一つに定めるために、ある時刻での解の値を指定する問題を何と呼びますか。

    初期値問題

  • 62

    関数 f(t,x) が ∣f(t,x)−f(t,x∗)∣≤L∣x−x∗∣ という条件を満たすとき、この性質を何と呼びますか。

    Lipschitz（リプシッツ）連続性

  • 63

    時刻 ti​ の近似値 Xi​ の情報だけを用いて、次の時刻 ti+1​ の近似値 Xi+1​ を決定する数値解法を総称して何と呼びますか。

    1段法

  • 64

    常微分方程式の数値解法として最も基本的で、dtdx​ を単純に前進差分で近似する1次の手法は何ですか。

    Euler法

  • 65

    dx/dt=f(t,x) を解く際に、中間的な値 k1​=f(t,x), k2​=f(t+h,x+hk1​) などを計算し、それらの重み付き平均を用いて次のステップの値を決める高次な1段法として、本章で紹介されているものはどれですか。

    Runge-Kutta法

  • 66

    1段法の性能評価指標で、1ステップ進めたときの厳密解との差（残差）を評価するものを何と呼びますか。

    局所離散化誤差

  • 67

    数値解が、刻み幅hを0に近づけたときに厳密解に収束することを何と呼びますか。

    収束性

  • 68

    2階の常微分方程式 dt2d2x​=F(t,x,dtdx​) を1階の連立常微分方程式に変換する際、どのように変数を導入しますか。

    y=dtdx​ と置く。

  • 69

    シンプレクティックEuler法や陰解法が例として挙げられている問題7.15では、厳密解の軌跡はどのような図形を描きますか。

    円

  • 70

    7.4節のRunge-Kutta法で、もし関数fがxに依存せずtのみの関数であった場合、この方法は6章で学んだどの数値積分公式に対応しますか。

    Simpson則

  • 71

    ベクトルに繰り返し行列を掛けることで、絶対値が最大の固有値と固有ベクトルを求める反復法は何ですか。

    べき乗法

  • 72

    べき乗法の計算過程で、近似固有ベクトル x から近似固有値 λ を計算する際に用いられる、(x,x)(Ax,x)​ で定義される量を何と呼びますか。

    Rayleigh（レイリー）商

  • 73

    行列Aの逆行列 A−1 にべき乗法を適用することで、Aのどの固有値が求められますか。

    絶対値が最小の固有値

  • 74

    ある値 μ に最も近い固有値を求めるために、行列 A−μI の逆行列に対してべき乗法を適用する手法を何と呼びますか。

    シフト付き逆べき乗法

  • 75

    行列Aに回転を表す直交行列を繰り返し掛けることで、Aを対角行列に近づけていく手法は何ですか。

    Jacobi法

  • 76

    Jacobi法において、行列Aを B=PTAP （Pは直交行列）の形に変換する操作を何と呼びますか。

    相似変換

  • 77

    Ax=λBx のように、右辺にも行列Bが現れる固有値問題を何と呼びますか。

    一般固有値問題

  • 78

    実対称行列の固有値に関する性質として正しいものはどれですか。

    すべて実数である。

  • 79

    8.1.1節の問題8.1の行列の固有値は1と3です。この行列にべき乗法を適用した場合、通常はどちらの固有値に対応する固有ベクトルに収束しますか。

    3

  • 80

    8.4節の一般固有値問題 Ax=λBx を標準固有値問題に変換する際、行列Bが対称正定値であれば利用できる分解として、本文で紹介されているものは何ですか。

    Cholesky分解

  • 81

    空間と時間の両方に依存する熱の伝わり方などを記述する、2つ以上の独立変数を持つ関数とその偏導関数を含む方程式を何と呼びますか。

    偏微分方程式

  • 82

    微分係数 u′(x) を、格子点上の値を用いて 2hu(x+h)−u(x−h)​ のように近似する商を何と呼びますか。

    中心差分商

  • 83

    差分法において、非零成分が対角とその両隣にしか存在しないような、スパース（疎）な行列を特に何と呼びますか。

    三重対角行列

  • 84

    微分方程式と等価な問題として、ある種の積分量（汎関数）を最小にするような関数を探す問題形式を何と呼びますか。

    変分問題

  • 85

    有限要素法の最も基本的なアプローチで、連続な解をどのような単純な関数で近似しますか。

    折れ線関数（区分1次多項式）

  • 86

    微分方程式の両辺に「重み関数」を掛けて積分し、部分積分などを用いて導関数の階数を下げた形式を何と呼びますか。

    弱形式

  • 87

    9.2節の問題9.3で、微分方程式 u′(t)=u(t) を前進差分で近似した場合、近似解は ui​=α(1+τ)i となりました。τ=1/m,ti​=i/m として m→∞ の極限を考えると、この近似は何に収束しますか。

    αeti​

  • 88

    2階微分 u′′(xi​) を近似する2階中心差分商として正しい式はどれですか。

    h2ui+1​−2ui​+ui−1​​

  • 89

    有限要素法の文脈で、解析領域全体を分割する小さな部分領域（例: 線分、三角形）を何と呼びますか。

    要素

  • 90

    9.4節で紹介されている、微分方程式を領域の「境界」上での積分方程式に変換して解く手法は何ですか。

    境界要素法

  • 91

    差分法の文脈で、10.4節で解説された、信頼できる解を得るための3つの重要な概念に含まれないものはどれですか。

    正則性

  • 92

    時間発展問題を解く差分法で、次の時刻の値を、現在の時刻の値のみから直接計算できる単純な手法を何と呼びますか。

    陽解法

  • 93

    時間発展問題を解く差分法で、次の時刻の値を求めるために、各時刻で連立1次方程式を解く必要がある、計算が複雑だが安定性に優れる手法を何と呼びますか。

    陰解法

  • 94

    熱方程式の前進差分近似（陽解法）が安定的であるための条件として、本文で示された λ=τ/h2 に関する不等式はどれですか。

    λ≤1/2

  • 95

    「整合性のある安定な差分スキームは収束する」という、差分法における fundamental な定理は何と呼ばれますか。

    Lax（ラックス）の同等定理

  • 96

    波動方程式の差分近似において、数値解の依存域が、元の微分方程式の依存域を包含しなければならないという安定性に関する条件を何と呼びますか。

    CFL（クーラント-フリードリックス-レヴィ）条件

  • 97

    陽解法と陰解法を重みパラメータ θ で組み合わせた一般化された手法で、特に θ=1/2 とした場合に著名な名前がついている手法は何ですか。

    Crank-Nicolson（クランク-ニコルソン）法

  • 98

    情報の伝わる方向を考慮し、伝わってくる側（風上）の情報を使って差分を構成する手法を何と呼びますか。

    上流（風上）差分

  • 99

    Laplace方程式（Δu=0）の解が、領域の内部で最大値や最小値をとらず、必ず境界上でとるという性質を何と呼びますか。

    最大値原理

  • 100

    10.2.1節で熱方程式を解くために用いられた、解を u(x,t)=F(x)G(t) のように変数ごとの関数の積の形に仮定して解く手法を何と呼びますか。

    変数分離法

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  • 1

    Newtonの運動方程式や放射性崩壊の記述に用いられる、現象を数理的にモデル化するための最も基本的な手段として、本章で繰り返し言及されているものは何ですか。

    微分方程式

  • 2

    弾性体の力と伸びが比例するという関係を示す法則は何ですか。

    Hooke（フック）の法則

  • 3

    1.2節で、複雑な非線形方程式を扱いやすくするために用いられた、未知量の高次の項を無視して1次式で近似する操作を何と呼びますか。

    線形化

  • 4

    コンピュータ上で、値が非常に近い2つの数を引き算した際に、計算結果の有効桁数が大幅に減少してしまう現象を何と呼びますか。

    桁落ち

  • 5

    コンピュータが数を表現する方法として、本章で説明されている、仮数部と指数部を用いて実数を表現する方式は何ですか。

    浮動小数点表示

  • 6

    1.2.5節で、バネで繋がれた質点の数を無限に増やしていくと、その系の運動を記述する方程式は最終的に何に近づくと述べられていますか。

    偏微分方程式

  • 7

    1.2.1節で示された、系のポテンシャル・エネルギーが最小になる状態で静的なつり合いが実現するという物理原理は何ですか。

    ポテンシャル・エネルギー最小の原理

  • 8

    1.1節で例として挙げられた放射性同位元素の崩壊現象は、何階の常微分方程式で記述されますか。

    1階

  • 9

    計算機が扱える数の絶対値が大きすぎて表現できなくなることを何と呼びますか。

    オーバーフロー

  • 10

    1.2.5節の多自由度系の動力学問題で、質点の運動が特定の振動数で振動する解（固有振動）を求める問題は、最終的に何の問題に帰着しましたか。

    行列の固有値問題

  • 11

    Gaussの消去法において、連立1次方程式を行列で表現した際に、対角成分より下の成分がすべて0になるように変形する操作を何と呼びますか。

    前進消去

  • 12

    Gaussの消去法の各ステップで、割り算の分母に来る対角成分のことを何と呼びますか。

    ピボット

  • 13

    ピボットが0に近い値の場合に、絶対値のより大きい成分をピボットに選ぶために行や列の交換を行う操作を何と呼びますか。

    ピボット選択

  • 14

    以下のうち、ピボット選択なしでGaussの消去法が安定して実行できる行列の性質として、本文で挙げられているものはどれですか。

    実対称正定値行列

  • 15

    連立1次方程式 Ax=f を解く際に、逆行列 A^(−1) を計算することは、なぜ一般的に推奨されないのですか。

    逆行列の計算コストが、方程式を直接解くよりも高いため

  • 16

    行列Aを、下三角行列Lと上三角行列Uの積 A=LU に分解することを何と呼びますか。

    LU分解

  • 17

    実対称正定値行列Aを、ある下三角行列Pとその転置行列 PT の積 A=PPT に分解することを特に何と呼びますか。

    Cholesky分解

  • 18

    非零成分が対角線の周囲に集中している行列を何と呼びますか。

    帯行列

  • 19

    Gaussの消去法で係数行列が上三角行列に変形された後、未知数を後ろから順に求めていく過程を何と呼びますか。

    後退代入

  • 20

    対角成分の絶対値が、その行の他の成分の絶対値の和よりも大きい、という性質を持つ行列は何と呼ばれますか。

    狭義対角優位行列

  • 21

    方程式 f(x)=0 を、同等な方程式 x=g(x) の形に変形し、漸化式 x(k)=g(x(k−1)) によって解を求める手法を何と呼びますか。

    反復法

  • 22

    関数 g の写像によって動かされない点、すなわち x=g(x) を満たす点 x を何と呼びますか。

    不動点

  • 23

    Newton法の幾何学的な意味として、正しい説明はどれですか。

    現在の近似点における関数のグラフの接線を引き、その接線とx軸の交点を次の近似点とする。

  • 24

    ある写像が縮小写像であるための条件として、本文で挙げられているものはどれですか。（Lは0以上の定数）

    ∣∣g(x)−g(x∗)∣∣≤L∣∣x−x∗∣∣ （ただし 0 ≦ L < 1）

  • 25

    縮小写像であれば、不動点がただ一つ存在することを保証する定理は何ですか。

    Banach（バナッハ）の不動点定理

  • 26

    Newton法の収束の速さに関する特徴として、正しいものはどれですか。

    解の近くから始めれば、一般に2次収束する。

  • 27

    多変数の関数に対するNewton法において、各ステップで解く必要が生じる方程式は何ですか。

    連立1次方程式

  • 28

    多変数の関数 f(x) の1階の偏導関数を成分とする行列を何と呼びますか。

    Jacobi（ヤコビ）行列

  • 29

    Newton法の反復計算のコストを削減するため、反復の途中で導関数を再計算せず、最初のステップの導関数を使い回す手法を何と呼びますか。

    簡易Newton法

  • 30

    f(x)=x^2−a=0 という方程式にNewton法を適用して、正の数 a の平方根を求める反復式はどれですか。

    x(k)=21​(x(k−1)+x(k−1)a​)

  • 31

    行列Aを A=M+N と分解し、反復式 Mx(k)=f−Nx(k−1) を用いて連立1次方程式を解く手法を総称して何と呼びますか。

    線形反復法

  • 32

    行列Aの対角成分をD、下三角成分をLとして、M=D+L と分解する反復法は何ですか。

    Gauss-Seidel法

  • 33

    Gauss-Seidel法に「加速係数」 ω を導入して収束を速める手法は何ですか。

    SOR法

  • 34

    行列Aの作用素ノルムと、その逆行列 A−1 の作用素ノルムの積 ∣∣A∣∣⋅∣∣A−1∣∣ で定義される量を何と呼びますか。

    条件数

  • 35

    行列の条件数が非常に大きい場合、その行列を係数とする連立1次方程式について、どのようなことが言えますか。

    入力データの小さな誤差が、解の大きな誤差を引き起こす可能性がある。

  • 36

    CG（共役勾配）法が適用できるための、係数行列Aに関する基本的な条件は何ですか。

    実対称正定値行列

  • 37

    2つのベクトル x,y が、行列Aに関して「A-直交（共役）」であるとは、どのような関係が成り立つことですか。

    (Ax,y)=0

  • 38

    ベクトル f,Af,A2f,…,Ak−1f によって張られる線形部分空間を何と呼びますか。

    Krylov（クリロフ）部分空間

  • 39

    CG法の収束性に関する記述として正しいものはどれですか。

    計算機誤差を無視すれば、最大でもn回（nは行列の次数）の反復で厳密解に到達する。

  • 40

    行列の固有値の絶対値の最大値として定義される量は何ですか。

    スペクトル半径

  • 41

    ある一点での関数の値と、その点での微分係数を次々と利用して、関数をべき級数で表現する手法は何ですか。

    Taylor級数

  • 42

    与えられたn個の異なる点（標本点）をすべて通る(n-1)次多項式を求める補間方法は何ですか。

    Lagrange補間

  • 43

    Lagrange補間において、標本点の数を増やしていくと、区間の端の方で補間多項式が激しく振動し、かえって誤差が大きくなることがある現象を何と呼びますか。

    Runge（ルンゲ）の現象

  • 44

    標本点での関数の値だけでなく、その微分係数の値も一致するように多項式を構成する補間方法は何ですか。

    Hermite補間

  • 45

    区間 [−1,1] において、内積 (f,g)=∫−11​f(x)g(x)dx に関して互いに直交する多項式系で、本書で代表例として挙げられているものは何ですか。

    Legendre（ルジャンドル）多項式

  • 46

    関数 f(x) の近似多項式 p(x) を求める際に、L2ノルム ∣∣f−p∣∣ を最小化するような p(x) を求める手法を総称して何と呼びますか。

    最良近似

  • 47

    周期関数を、同じ周期を持つ三角関数の無限和で表現する級数を何と呼びますか。

    Fourier級数

  • 48

    n 個の異なる点 x1​,…,xn​ に対するLagrange補間では、一般に何次の多項式が用いられますか。

    n−1 次

  • 49

    n 個の異なる点 x1​,…,xn​ での値と1階の微分係数を用いるHermite補間では、一般に何次の多項式が用いられますか。

    2n−1 次

  • 50

    5.2.3節で導入された、関数 f(x) に対して f(x+h)−f(x) を計算する作用素 Δ を何と呼びますか。

    前進差分作用素

  • 51

    積分区間を等間隔の点（両端を含む）で分割し、それらの点での関数値を用いて積分を近似する公式群の総称は何ですか。

    Newton-Cotes公式

  • 52

    2つの標本点（区間の両端）での値を使い、関数を直線で近似して積分する、最も単純なNewton-Cotes公式は何ですか。

    台形則

  • 53

    積分区間を複数の小区間に分割し、各小区間で基本的な数値積分公式を適用して、その結果を足し合わせる方法を何と呼びますか。

    複合公式

  • 54

    与えられた標本点の数nに対して、2n-1次という最高の次数を達成するために、標本点と重みを特殊な方法（Legendre多項式の零点など）で選ぶ公式は何ですか。

    Gaussの積分公式

  • 55

    Lagrange補間に基づくn個の標本点を用いる数値積分公式は、最低でも何次までの多項式を厳密に積分できますか。

    n-1次

  • 56

    被積分関数が凸関数である場合、その定積分の真の値I、中点則による値 IM​、台形則による値 IT​ の間には、どのような大小関係が成り立ちますか。

    IM​≤I≤IT​

  • 57

    3つの標本点（両端と中点）を用いる閉型のNewton-Cotes公式で、3次までの多項式を厳密に積分できる公式は何ですか。

    Simpson則

  • 58

    6.3節の誤差評価の表によると、台形則と中点則の誤差の主要項は、積分区間の幅 h=b−a の何乗に比例しますか。

    h3

  • 59

    Gaussの1点積分公式は、何と一致しますか。

    中点則

  • 60

    6.7節で説明されている、長方形領域での2重積分を計算する基本的な考え方はどれですか。

    1次元の積分公式を繰り返し適用する（累次積分）。

  • 61

    常微分方程式の解を一つに定めるために、ある時刻での解の値を指定する問題を何と呼びますか。

    初期値問題

  • 62

    関数 f(t,x) が ∣f(t,x)−f(t,x∗)∣≤L∣x−x∗∣ という条件を満たすとき、この性質を何と呼びますか。

    Lipschitz（リプシッツ）連続性

  • 63

    時刻 ti​ の近似値 Xi​ の情報だけを用いて、次の時刻 ti+1​ の近似値 Xi+1​ を決定する数値解法を総称して何と呼びますか。

    1段法

  • 64

    常微分方程式の数値解法として最も基本的で、dtdx​ を単純に前進差分で近似する1次の手法は何ですか。

    Euler法

  • 65

    dx/dt=f(t,x) を解く際に、中間的な値 k1​=f(t,x), k2​=f(t+h,x+hk1​) などを計算し、それらの重み付き平均を用いて次のステップの値を決める高次な1段法として、本章で紹介されているものはどれですか。

    Runge-Kutta法

  • 66

    1段法の性能評価指標で、1ステップ進めたときの厳密解との差（残差）を評価するものを何と呼びますか。

    局所離散化誤差

  • 67

    数値解が、刻み幅hを0に近づけたときに厳密解に収束することを何と呼びますか。

    収束性

  • 68

    2階の常微分方程式 dt2d2x​=F(t,x,dtdx​) を1階の連立常微分方程式に変換する際、どのように変数を導入しますか。

    y=dtdx​ と置く。

  • 69

    シンプレクティックEuler法や陰解法が例として挙げられている問題7.15では、厳密解の軌跡はどのような図形を描きますか。

    円

  • 70

    7.4節のRunge-Kutta法で、もし関数fがxに依存せずtのみの関数であった場合、この方法は6章で学んだどの数値積分公式に対応しますか。

    Simpson則

  • 71

    ベクトルに繰り返し行列を掛けることで、絶対値が最大の固有値と固有ベクトルを求める反復法は何ですか。

    べき乗法

  • 72

    べき乗法の計算過程で、近似固有ベクトル x から近似固有値 λ を計算する際に用いられる、(x,x)(Ax,x)​ で定義される量を何と呼びますか。

    Rayleigh（レイリー）商

  • 73

    行列Aの逆行列 A−1 にべき乗法を適用することで、Aのどの固有値が求められますか。

    絶対値が最小の固有値

  • 74

    ある値 μ に最も近い固有値を求めるために、行列 A−μI の逆行列に対してべき乗法を適用する手法を何と呼びますか。

    シフト付き逆べき乗法

  • 75

    行列Aに回転を表す直交行列を繰り返し掛けることで、Aを対角行列に近づけていく手法は何ですか。

    Jacobi法

  • 76

    Jacobi法において、行列Aを B=PTAP （Pは直交行列）の形に変換する操作を何と呼びますか。

    相似変換

  • 77

    Ax=λBx のように、右辺にも行列Bが現れる固有値問題を何と呼びますか。

    一般固有値問題

  • 78

    実対称行列の固有値に関する性質として正しいものはどれですか。

    すべて実数である。

  • 79

    8.1.1節の問題8.1の行列の固有値は1と3です。この行列にべき乗法を適用した場合、通常はどちらの固有値に対応する固有ベクトルに収束しますか。

    3

  • 80

    8.4節の一般固有値問題 Ax=λBx を標準固有値問題に変換する際、行列Bが対称正定値であれば利用できる分解として、本文で紹介されているものは何ですか。

    Cholesky分解

  • 81

    空間と時間の両方に依存する熱の伝わり方などを記述する、2つ以上の独立変数を持つ関数とその偏導関数を含む方程式を何と呼びますか。

    偏微分方程式

  • 82

    微分係数 u′(x) を、格子点上の値を用いて 2hu(x+h)−u(x−h)​ のように近似する商を何と呼びますか。

    中心差分商

  • 83

    差分法において、非零成分が対角とその両隣にしか存在しないような、スパース（疎）な行列を特に何と呼びますか。

    三重対角行列

  • 84

    微分方程式と等価な問題として、ある種の積分量（汎関数）を最小にするような関数を探す問題形式を何と呼びますか。

    変分問題

  • 85

    有限要素法の最も基本的なアプローチで、連続な解をどのような単純な関数で近似しますか。

    折れ線関数（区分1次多項式）

  • 86

    微分方程式の両辺に「重み関数」を掛けて積分し、部分積分などを用いて導関数の階数を下げた形式を何と呼びますか。

    弱形式

  • 87

    9.2節の問題9.3で、微分方程式 u′(t)=u(t) を前進差分で近似した場合、近似解は ui​=α(1+τ)i となりました。τ=1/m,ti​=i/m として m→∞ の極限を考えると、この近似は何に収束しますか。

    αeti​

  • 88

    2階微分 u′′(xi​) を近似する2階中心差分商として正しい式はどれですか。

    h2ui+1​−2ui​+ui−1​​

  • 89

    有限要素法の文脈で、解析領域全体を分割する小さな部分領域（例: 線分、三角形）を何と呼びますか。

    要素

  • 90

    9.4節で紹介されている、微分方程式を領域の「境界」上での積分方程式に変換して解く手法は何ですか。

    境界要素法

  • 91

    差分法の文脈で、10.4節で解説された、信頼できる解を得るための3つの重要な概念に含まれないものはどれですか。

    正則性

  • 92

    時間発展問題を解く差分法で、次の時刻の値を、現在の時刻の値のみから直接計算できる単純な手法を何と呼びますか。

    陽解法

  • 93

    時間発展問題を解く差分法で、次の時刻の値を求めるために、各時刻で連立1次方程式を解く必要がある、計算が複雑だが安定性に優れる手法を何と呼びますか。

    陰解法

  • 94

    熱方程式の前進差分近似（陽解法）が安定的であるための条件として、本文で示された λ=τ/h2 に関する不等式はどれですか。

    λ≤1/2

  • 95

    「整合性のある安定な差分スキームは収束する」という、差分法における fundamental な定理は何と呼ばれますか。

    Lax（ラックス）の同等定理

  • 96

    波動方程式の差分近似において、数値解の依存域が、元の微分方程式の依存域を包含しなければならないという安定性に関する条件を何と呼びますか。

    CFL（クーラント-フリードリックス-レヴィ）条件

  • 97

    陽解法と陰解法を重みパラメータ θ で組み合わせた一般化された手法で、特に θ=1/2 とした場合に著名な名前がついている手法は何ですか。

    Crank-Nicolson（クランク-ニコルソン）法

  • 98

    情報の伝わる方向を考慮し、伝わってくる側（風上）の情報を使って差分を構成する手法を何と呼びますか。

    上流（風上）差分

  • 99

    Laplace方程式（Δu=0）の解が、領域の内部で最大値や最小値をとらず、必ず境界上でとるという性質を何と呼びますか。

    最大値原理

  • 100

    10.2.1節で熱方程式を解くために用いられた、解を u(x,t)=F(x)G(t) のように変数ごとの関数の積の形に仮定して解く手法を何と呼びますか。

    変数分離法