有限要素法へのいざない_1

100問 • 6ヶ月前

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問題一覧

ラプラス方程式 Δu = 0 が記述する物理現象として、最も適切なものは次のうちどれか。

熱伝導における定常温度分布

ディリクレ問題の説明として正しいものはどれか。

領域内部でラプラス方程式を満たし、境界上での関数の「値」が指定されている問題を解くこと。

ディリクレ問題に対応する変分問題において、最小化する対象となる積分 J[v] は何と呼ばれるか。

ディリクレ積分

ある汎関数 J[v] において、関数の微小な変化 εω に対する一次のレート（変化率）が0になるような関数 u のことを何と呼ぶか。

定常関数

変分学の基本定理によると、閉領域 D で連続な関数 f が、境界で0となる「任意」の滑らかな関数 ω に対して常に ∬ωf dxdy = 0 を満たす場合、どのような結論が導かれるか。

f は領域 D 内で恒等的に0である（f ≡ 0）。

領域 D での面積分と、その境界 C での線積分を関係づける公式は何か。

グリーンの公式

ある関数 v が領域 D で調和関数（Δv = 0）である場合、グリーンの公式 ∬Δv dxdy = ∫(∂v/∂n)ds から何が言えるか。

∫(∂v/∂n)ds = 0

第1章の結論である「ディリクレの原理」が主張している内容は何か。

ディリクレ問題の解は、ディリクレ積分の値を最小にする。

ラプラス方程式 Δu = 0 を満たす関数のことを特に何と呼ぶか。

調和関数

ディリクレ問題に対応する変分問題を考える際、候補となる関数 v の集合は、どのような条件を満たす必要があるか。

境界上で、元のディリクレ問題で指定された関数 φ と同じ値をとる。

有限要素法において、解析対象の領域を分割した個々の単純な図形（本書では三角形）を何と呼ぶか。

有限要素

三角形要素の頂点のことを特に何と呼ぶか。

節点

節点 Pi に対応する基底関数 φi(x,y) の値に関する記述として、正しいものはどれか。

節点 Pi で1、他の節点 Pj で0となる。

内部節点 Pi に対応する基底関数 φi(x,y) の形状は、どのようなものとして説明されているか。

角錐状のピラミッド形

リッツ法において、未知の解 u(x,y) はどのように近似されるか。

各節点での値 uj を係数とする、基底関数 φj の線形結合で近似する。

近似式 û = Σujφj において、係数 uj は物理的に何を意味するか。

節点 Pj における近似解 û の値

内部節点における未知係数 ui は、リッツ法においてどのように決定されるか。

J[û] を各 ui で偏微分した値を0とおくことで決定する。

ディリクレ問題にリッツ法を適用すると、最終的に何を解く問題に帰着するか。

連立一次方程式

連立一次方程式 Ku = f における係数行列 K の要素 Kij は、何から計算されるか。

基底関数 φi と φj の偏導関数の積の積分

ディリクレ問題において、境界上の節点 Pi に対応する係数 ui の値はどうなるか。

境界条件として与えられた値 φ(xi, yi) そのものである。

三角形要素内で点の位置を表すために導入された、3つの小三角形の面積比で定義される座標系を何と呼ぶか。

面積座標

面積座標 (ζ1, ζ2, ζ3) に関する性質として、常に成り立つものは次のうちどれか。

ζ1 + ζ2 + ζ3 = 1

三角形要素の頂点Q1における面積座標 (ζ1, ζ2, ζ3) の値は何か。

(1, 0, 0)

1次3角形要素において、要素内節点番号 r に対応する基底関数 φrμ は、面積座標 ζr を用いてどのように定義されるか。

φrμ = ζr

領域全体の係数行列 K を計算するための基本的な戦略はどれか。

各要素に対する小さな「要素行列」を計算し、それらを足し合わせる。

1次3角形要素において、要素行列 Kμ の積分計算が簡単になるのはなぜか。

基底関数が一次式であり、その微分が定数になるため。

個々の要素行列 Kμ から領域全体の係数行列 K を作る操作を何と呼ぶか。

アセンブリ（組み立て）

三角形要素の要素（剛性）行列 Kμ は、何行何列の行列か。

3x3

要素行列 Kμ の各成分 Krsμ は、何を積分して求められるか。

基底関数 φrμ と φsμ の偏導関数の積の和

ある節点 Pi が複数の三角形要素に共有されている場合、大域的な係数行列 K の対角成分 Kii はどのように計算されるか。

Pi を頂点に持つ全ての要素行列から対応する成分を足し合わせることで決まる。

第4章の主な目的は何か。

第1〜3章で学んだ理論と手法を使い、具体的な問題を解く手順を示すこと。

§11の例題で、有限要素法を適用した領域の形状は何か。

正方形

例題において、大規模な連立一次方程式が、内部節点の値だけを未知数とする小さな方程式に簡約化された。これはなぜか。

境界上の節点の値は、境界条件によって既に分かっている値を代入したから。

§11の例題を解く上で、最終的に手計算で解かれた連立一次方程式の未知数は何か。

領域の内部にある節点における値 u1 から u4

有限要素法で得られる最終的な近似解 û(x,y) は、どのように表現されるか。

計算で求まった節点の値 uj と基底関数 φj の線形結合 Σujφj

§12で提示されたFORTRANプログラムにおいて、連立一次方程式を解く役割を持つサブルーチンはどれか。

HANPUKU

プログラム内のサブルーチン HANPUKU で用いられている、連立一次方程式の数値解法は何か。

ガウス・ザイデルの反復法

プログラムへの入力データファイル INPUT1.DAT に含まれていない情報はどれか。

計算結果である各節点での解の値

プログラムの出力データファイル OUTPUT1.DAT に書き出される主要な情報は何か。

各節点番号とその節点における解の近似値 ui

この教科書は、第4章を最初の区切りとしている。この章までを学習することで、学生は何ができるようになると考えられるか。

ディリクレ問題に対して、有限要素法を適用して近似解を求める一連のプロセス（定式化、計算、プログラミング）を理解し、実行できるようになる。

ノイマン問題において、領域の境界上で指定される条件は何か。

関数 u の法線方向の微分値 ∂u/∂n

ラプラス方程式のノイマン問題に解が存在するための必要条件（可解条件）は何か。

境界 C に沿って ψ を積分した値 ∫ψds が0になること。

ノイマン問題の解が一意に定まらないのはなぜか。

u が解ならば、任意の定数 c を加えた u+c も解になるから。

ノイマン問題の解を一つに定めるために課す「正規化条件」の例として、適切なものはどれか。

領域内のある一点 (x₀, y₀) での値 u(x₀, y₀) を0に固定する。

ノイマン問題に対応する変分問題で最小化される汎関数 J[v] の特徴は何か。

ディリクレ積分から、境界での関数値 v と境界条件 ψ の積の積分を引いた形で構成される。

ノイマン問題の変分法において、境界条件 ∂u/∂n = ψ はどのような性質を持つ条件として説明されているか。

自然境界条件

なぜ問6の解答のように呼ばれるのか、その理由として最も適切なものはどれか。

汎関数を最小化する過程で、その条件が自動的に満たされる形で導出されるため。

物理的な意味合いとして、境界上での法線方向微分 ∂u/∂n は何を表現していることが多いか。

境界を垂直に通過する流量や流束

第5章で証明された、変分問題とノイマン問題の関係性について最も正しく述べているのはどれか。

変分問題の定常関数は、ラプラス方程式とノイマン境界条件の両方を満たす。

ディリクレ問題の変分法とノイマン問題の変分法を比べたとき、候補となる関数 v に課せられる事前条件の最も大きな違いは何か。

ディリクレ問題では候補関数が境界値を満たす必要があるが、ノイマン問題ではその必要がない（正規化条件などを除く）。

ノイマン問題にリッツ法を適用した結果、最終的に解くべき方程式の形式はどれか。

Ku = g

ノイマン問題のために導出された連立一次方程式 Ku = g の係数行列 K は、ディリクレ問題の係数行列と比べてどうなるか。

全く同じ行列である。

連立一次方程式 Ku = g の右辺の列ベクトル g の成分は、主に何を積分して計算されるか。

境界で指定された関数 ψ と基底関数 φi の積

ノイマン問題の解の一意性を保証する正規化条件 u(x₀, y₀) = 0 は、リッツ法において通常どのように扱われるか。

特定の節点 P₀ に対応する未知係数 u₀ をあらかじめ0と固定する。

右辺の列ベクトル g を効率的に計算するための戦略として、本書で採用されている方法はどれか。

各要素に対する「要素ベクトル gμ」を計算し、それらを足し合わせる。

要素ベクトル gμ の計算において、値が0でなく、計算が必要となるのはどのような要素か。

ノイマン境界に辺を持つ要素。

ある要素がノイマン境界上に長さ h の辺を持ち、その両端の節点が Pi と Pj であるとする。この辺から生じる、節点 Pi におけるベクトル g の成分への寄与分として正しい公式はどれか。（ただし、ψ の値が節点 i, jで ψi, ψj であるとする）

(h/6)(2ψi + ψj)

個々の要素ベクトル gμ から全体の列ベクトル g を作る操作を何と呼ぶか。

アセンブリ（組み立て）

ディリクレ問題とノイマン問題では、境界条件の扱いが異なる。その違いとして最も適切な記述はどれか。

ディリクレ条件は未知数 u の一部を既知の値として固定し、ノイマン条件は右辺ベクトルgの計算に反映される。

第6章で新たに登場し、その計算方法が詳述された、ディリクレ問題の計算には無かった要素はどれか。

右辺の列ベクトル g

第7章の主な目的は何か。

第5、6章で学んだノイマン問題の理論を使い、具体的な問題を解く手順を示すこと。

§18の例題で解く連立一次方程式の最終的な形式はどれか。

Ku = g

§18の例題において、正規化条件u(1/2, 1/4) = 0は、行列方程式を解く際にどのように扱われたか。

係数行列Kとベクトルgから、この条件に対応する節点（0番）の行と列を取り除いて計算した。

§18の例題を手計算で解く際に、計算を簡略化するために利用されたものは何か。

問題が持つ解の対称性

§19で提示されたノイマン問題のプログラムPROG2.FORにおいて、ディリクレ問題のプログラムには無かった、荷重ベクトルを計算するための主要なサブルーチンはどれか。

YOHSOG (要素ベクトルgの計算)

PROG2.FORのメインプログラムのループ処理では、各要素から計算した「要素行列」と「要素ベクトル」を、領域全体のどの変数に足し込んでいるか。

GK（全体係数行列）と G（全体荷重ベクトル）

PROG2.FORのサブルーチンKYOKAIの主な役割は何か。

境界上の節点における、境界条件ψの値を設定すること。

ノイマン問題のプログラムへの入力ファイルINPUT2.DATに、直接含まれている必要がない情報はどれか。

境界条件であるψの値

第7章までを学習することで、学生はどのような問題に対応できるようになるか。

ディリクレ問題とノイマン問題の両方

ディリクレ問題とノイマン問題のプログラムを比較したとき、最も大きな違いが生まれる原因は何か。

境界条件の扱い方が違うこと（未知数の固定 vs 右辺ベクトルへの組込み）。

偏微分方程式の固有値問題 Δu + λu = 0 を解く際の目標は何か。

ゼロでない解 u が存在するような、特別な λ とそのときの u の両方を見つけること。

固有値 λ に属する解 u を何と呼ぶか。

固有関数

固有値問題に対応する変分問題では、ある制約の下でディリクレ積分 J[v] を定常化させる。その制約条件 ∬v²dxdy = 1 は何を意味するか。

関数の大きさ（ノルムの2乗）を1に固定する。

制約付きの変分問題を解くために用いられた数学的手法は何か。

ラグランジュの乗数法

異なる固有値 λ と μ に属する固有関数 u と v の間には、どのような性質があるか。

u と v の内積 (u,v) = ∬uv dxdy が0になる（直交する）。

この章で導入されたレイリー商 R[v] の定義として正しいものはどれか。

J[v] /

固有値問題の変分法による解法において、レイリー商 R[u] の定常値は何に対応するか。

固有値 λ

固有関数 u は、なぜ ∬u²dxdy = 1 という正規化条件を課されることが多いのか。

u が解なら、その定数倍 cu も解になってしまい一意に定まらないため、大きさを1に固定する。

この章で示された「等価性」とは、何と何が同じ問題に帰着できるということか。

偏微分方程式の固有値問題と、レイリー商の定常化問題

固有値問題を変分問題に置き換えることの、有限要素法における最大のメリットは何か。

エネルギーの最小化（定常化）という考え方を用いることで、近似解法であるリッツ法を適用できるようになる。

偏微分方程式の固有値問題にリッツ法を適用した結果、最終的に解くことになる行列方程式の形式はどれか。

Ku = λMu

行列方程式 Ku = λMu に新たに出てくる行列 M のことを何と呼ぶか。

質量行列

質量行列 M の成分 Mij は、何を積分して計算されるか。

基底関数 φi と φj の積

行列方程式 Ku = λMu の解として得られる λ と u は、それぞれ元の偏微分方程式問題の何に対応するか。

λは固有値、uは固有ベクトル（固有関数の節点値）

Ku = λMu という形式の方程式は、数学的に何と呼ばれる問題か。

一般化固有値問題

質量行列 M の計算においても、係数行列 K と同様に、まず要素ごとに小さな行列を計算する。この行列を何と呼ぶか。

要素質量行列

1次3角形要素（面積A）に対する要素質量行列 Mμ の成分は、何に比例するか。

領域全体の質量行列 M は、個々の要素質量行列 Mμ からどのように作られるか。

すべての Mμ を足し合わせる（アセンブリする）。

固有値問題のリッツ法において、ディリクレ境界条件 u=0 はどのように扱われるか。

境界上の節点に対応する未知係数 uj を、あらかじめ0として方程式から除外する。

第9章で解説された、固有値問題を有限要素法で解くための最も重要な計算上のステップは何か。

剛性行列 K と質量行列 M を計算し、一般化固有値問題を解くこと。

第10章の主な目的は何か。

第8、9章で学んだ固有値問題の理論を使い、具体的な問題を解く手順を示すこと。

§25の例題で解かれた行列方程式は、どのような形式のものか。

一般化固有値問題 Ku = λMu

§25の例題を解くにあたり、計算が必要となった2つの主要な行列は何か。

剛性行列 K と質量行列 M

行列の固有値問題を解くことで得られる固有値 λ は、元の偏微分方程式における何に対応するか。

固有値

§25の例題では、得られた近似解を何と比較して、その妥当性を確認しているか。

数学的に厳密に求められる理論解

§26で提示されたプログラムにおいて、一般化固有値問題 Ku=λMu を標準的な固有値問題 Cw=λw に変換する役割を持つサブルーチンはどれか。

KOYUCHI

サブルーチン YOHSO は、以前のプログラムと比較して、どのような点が異なっているか。

要素剛性行列 EK と要素質量行列 EM の両方を計算する。

PROG3.FOR の出力ファイル OUTPUT3.DAT に含まれる主要な情報は何か。

計算された固有値と、それに対応する固有ベクトル

この教科書は第10章を3番目の区切りとしている。この章までを学習することで、学生はどのような問題までを有限要素法で解く手順を学んだことになるか。

ディリクレ問題、ノイマン問題、そして固有値問題

100

境界値問題（Ku=f）のプログラムと固有値問題（Ku=λMu）のプログラムの最も本質的な違いは何か。

質量行列 M の計算と、固有値ソルバーが必要になる点

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問題一覧

ラプラス方程式 Δu = 0 が記述する物理現象として、最も適切なものは次のうちどれか。

熱伝導における定常温度分布

ディリクレ問題の説明として正しいものはどれか。

領域内部でラプラス方程式を満たし、境界上での関数の「値」が指定されている問題を解くこと。

ディリクレ問題に対応する変分問題において、最小化する対象となる積分 J[v] は何と呼ばれるか。

ディリクレ積分

ある汎関数 J[v] において、関数の微小な変化 εω に対する一次のレート（変化率）が0になるような関数 u のことを何と呼ぶか。

定常関数

f は領域 D 内で恒等的に0である（f ≡ 0）。

領域 D での面積分と、その境界 C での線積分を関係づける公式は何か。

グリーンの公式

ある関数 v が領域 D で調和関数（Δv = 0）である場合、グリーンの公式 ∬Δv dxdy = ∫(∂v/∂n)ds から何が言えるか。

∫(∂v/∂n)ds = 0

第1章の結論である「ディリクレの原理」が主張している内容は何か。

ディリクレ問題の解は、ディリクレ積分の値を最小にする。

ラプラス方程式 Δu = 0 を満たす関数のことを特に何と呼ぶか。

調和関数

ディリクレ問題に対応する変分問題を考える際、候補となる関数 v の集合は、どのような条件を満たす必要があるか。

境界上で、元のディリクレ問題で指定された関数 φ と同じ値をとる。

有限要素法において、解析対象の領域を分割した個々の単純な図形（本書では三角形）を何と呼ぶか。

有限要素

三角形要素の頂点のことを特に何と呼ぶか。

節点

節点 Pi に対応する基底関数 φi(x,y) の値に関する記述として、正しいものはどれか。

節点 Pi で1、他の節点 Pj で0となる。

内部節点 Pi に対応する基底関数 φi(x,y) の形状は、どのようなものとして説明されているか。

角錐状のピラミッド形

リッツ法において、未知の解 u(x,y) はどのように近似されるか。

各節点での値 uj を係数とする、基底関数 φj の線形結合で近似する。

近似式 û = Σujφj において、係数 uj は物理的に何を意味するか。

節点 Pj における近似解 û の値

内部節点における未知係数 ui は、リッツ法においてどのように決定されるか。

J[û] を各 ui で偏微分した値を0とおくことで決定する。

ディリクレ問題にリッツ法を適用すると、最終的に何を解く問題に帰着するか。

連立一次方程式

連立一次方程式 Ku = f における係数行列 K の要素 Kij は、何から計算されるか。

基底関数 φi と φj の偏導関数の積の積分

ディリクレ問題において、境界上の節点 Pi に対応する係数 ui の値はどうなるか。

境界条件として与えられた値 φ(xi, yi) そのものである。

三角形要素内で点の位置を表すために導入された、3つの小三角形の面積比で定義される座標系を何と呼ぶか。

面積座標

面積座標 (ζ1, ζ2, ζ3) に関する性質として、常に成り立つものは次のうちどれか。

ζ1 + ζ2 + ζ3 = 1

三角形要素の頂点Q1における面積座標 (ζ1, ζ2, ζ3) の値は何か。

(1, 0, 0)

1次3角形要素において、要素内節点番号 r に対応する基底関数 φrμ は、面積座標 ζr を用いてどのように定義されるか。

φrμ = ζr

領域全体の係数行列 K を計算するための基本的な戦略はどれか。

各要素に対する小さな「要素行列」を計算し、それらを足し合わせる。

1次3角形要素において、要素行列 Kμ の積分計算が簡単になるのはなぜか。

基底関数が一次式であり、その微分が定数になるため。

個々の要素行列 Kμ から領域全体の係数行列 K を作る操作を何と呼ぶか。

アセンブリ（組み立て）

三角形要素の要素（剛性）行列 Kμ は、何行何列の行列か。

3x3

要素行列 Kμ の各成分 Krsμ は、何を積分して求められるか。

基底関数 φrμ と φsμ の偏導関数の積の和

ある節点 Pi が複数の三角形要素に共有されている場合、大域的な係数行列 K の対角成分 Kii はどのように計算されるか。

Pi を頂点に持つ全ての要素行列から対応する成分を足し合わせることで決まる。

第4章の主な目的は何か。

第1〜3章で学んだ理論と手法を使い、具体的な問題を解く手順を示すこと。

§11の例題で、有限要素法を適用した領域の形状は何か。

正方形

例題において、大規模な連立一次方程式が、内部節点の値だけを未知数とする小さな方程式に簡約化された。これはなぜか。

境界上の節点の値は、境界条件によって既に分かっている値を代入したから。

§11の例題を解く上で、最終的に手計算で解かれた連立一次方程式の未知数は何か。

領域の内部にある節点における値 u1 から u4

有限要素法で得られる最終的な近似解 û(x,y) は、どのように表現されるか。

計算で求まった節点の値 uj と基底関数 φj の線形結合 Σujφj

§12で提示されたFORTRANプログラムにおいて、連立一次方程式を解く役割を持つサブルーチンはどれか。

HANPUKU

プログラム内のサブルーチン HANPUKU で用いられている、連立一次方程式の数値解法は何か。

ガウス・ザイデルの反復法

プログラムへの入力データファイル INPUT1.DAT に含まれていない情報はどれか。

計算結果である各節点での解の値

プログラムの出力データファイル OUTPUT1.DAT に書き出される主要な情報は何か。

各節点番号とその節点における解の近似値 ui

この教科書は、第4章を最初の区切りとしている。この章までを学習することで、学生は何ができるようになると考えられるか。

ノイマン問題において、領域の境界上で指定される条件は何か。

関数 u の法線方向の微分値 ∂u/∂n

ラプラス方程式のノイマン問題に解が存在するための必要条件（可解条件）は何か。

境界 C に沿って ψ を積分した値 ∫ψds が0になること。

ノイマン問題の解が一意に定まらないのはなぜか。

u が解ならば、任意の定数 c を加えた u+c も解になるから。

ノイマン問題の解を一つに定めるために課す「正規化条件」の例として、適切なものはどれか。

領域内のある一点 (x₀, y₀) での値 u(x₀, y₀) を0に固定する。

ノイマン問題に対応する変分問題で最小化される汎関数 J[v] の特徴は何か。

ディリクレ積分から、境界での関数値 v と境界条件 ψ の積の積分を引いた形で構成される。

ノイマン問題の変分法において、境界条件 ∂u/∂n = ψ はどのような性質を持つ条件として説明されているか。

自然境界条件

なぜ問6の解答のように呼ばれるのか、その理由として最も適切なものはどれか。

汎関数を最小化する過程で、その条件が自動的に満たされる形で導出されるため。

物理的な意味合いとして、境界上での法線方向微分 ∂u/∂n は何を表現していることが多いか。

境界を垂直に通過する流量や流束

第5章で証明された、変分問題とノイマン問題の関係性について最も正しく述べているのはどれか。

変分問題の定常関数は、ラプラス方程式とノイマン境界条件の両方を満たす。

ディリクレ問題の変分法とノイマン問題の変分法を比べたとき、候補となる関数 v に課せられる事前条件の最も大きな違いは何か。

ディリクレ問題では候補関数が境界値を満たす必要があるが、ノイマン問題ではその必要がない（正規化条件などを除く）。

ノイマン問題にリッツ法を適用した結果、最終的に解くべき方程式の形式はどれか。

Ku = g

ノイマン問題のために導出された連立一次方程式 Ku = g の係数行列 K は、ディリクレ問題の係数行列と比べてどうなるか。

全く同じ行列である。

連立一次方程式 Ku = g の右辺の列ベクトル g の成分は、主に何を積分して計算されるか。

境界で指定された関数 ψ と基底関数 φi の積

ノイマン問題の解の一意性を保証する正規化条件 u(x₀, y₀) = 0 は、リッツ法において通常どのように扱われるか。

特定の節点 P₀ に対応する未知係数 u₀ をあらかじめ0と固定する。

右辺の列ベクトル g を効率的に計算するための戦略として、本書で採用されている方法はどれか。

各要素に対する「要素ベクトル gμ」を計算し、それらを足し合わせる。

要素ベクトル gμ の計算において、値が0でなく、計算が必要となるのはどのような要素か。

ノイマン境界に辺を持つ要素。

(h/6)(2ψi + ψj)

個々の要素ベクトル gμ から全体の列ベクトル g を作る操作を何と呼ぶか。

アセンブリ（組み立て）

ディリクレ問題とノイマン問題では、境界条件の扱いが異なる。その違いとして最も適切な記述はどれか。

ディリクレ条件は未知数 u の一部を既知の値として固定し、ノイマン条件は右辺ベクトルgの計算に反映される。

第6章で新たに登場し、その計算方法が詳述された、ディリクレ問題の計算には無かった要素はどれか。

右辺の列ベクトル g

第7章の主な目的は何か。

第5、6章で学んだノイマン問題の理論を使い、具体的な問題を解く手順を示すこと。

§18の例題で解く連立一次方程式の最終的な形式はどれか。

Ku = g

§18の例題において、正規化条件u(1/2, 1/4) = 0は、行列方程式を解く際にどのように扱われたか。

係数行列Kとベクトルgから、この条件に対応する節点（0番）の行と列を取り除いて計算した。

§18の例題を手計算で解く際に、計算を簡略化するために利用されたものは何か。

問題が持つ解の対称性

YOHSOG (要素ベクトルgの計算)

PROG2.FORのメインプログラムのループ処理では、各要素から計算した「要素行列」と「要素ベクトル」を、領域全体のどの変数に足し込んでいるか。

GK（全体係数行列）と G（全体荷重ベクトル）

PROG2.FORのサブルーチンKYOKAIの主な役割は何か。

境界上の節点における、境界条件ψの値を設定すること。

ノイマン問題のプログラムへの入力ファイルINPUT2.DATに、直接含まれている必要がない情報はどれか。

境界条件であるψの値

第7章までを学習することで、学生はどのような問題に対応できるようになるか。

ディリクレ問題とノイマン問題の両方

ディリクレ問題とノイマン問題のプログラムを比較したとき、最も大きな違いが生まれる原因は何か。

境界条件の扱い方が違うこと（未知数の固定 vs 右辺ベクトルへの組込み）。

偏微分方程式の固有値問題 Δu + λu = 0 を解く際の目標は何か。

ゼロでない解 u が存在するような、特別な λ とそのときの u の両方を見つけること。

固有値 λ に属する解 u を何と呼ぶか。

固有関数

固有値問題に対応する変分問題では、ある制約の下でディリクレ積分 J[v] を定常化させる。その制約条件 ∬v²dxdy = 1 は何を意味するか。

関数の大きさ（ノルムの2乗）を1に固定する。

制約付きの変分問題を解くために用いられた数学的手法は何か。

ラグランジュの乗数法

異なる固有値 λ と μ に属する固有関数 u と v の間には、どのような性質があるか。

u と v の内積 (u,v) = ∬uv dxdy が0になる（直交する）。

この章で導入されたレイリー商 R[v] の定義として正しいものはどれか。

J[v] /

固有値問題の変分法による解法において、レイリー商 R[u] の定常値は何に対応するか。

固有値 λ

固有関数 u は、なぜ ∬u²dxdy = 1 という正規化条件を課されることが多いのか。

u が解なら、その定数倍 cu も解になってしまい一意に定まらないため、大きさを1に固定する。

この章で示された「等価性」とは、何と何が同じ問題に帰着できるということか。

偏微分方程式の固有値問題と、レイリー商の定常化問題

固有値問題を変分問題に置き換えることの、有限要素法における最大のメリットは何か。

エネルギーの最小化（定常化）という考え方を用いることで、近似解法であるリッツ法を適用できるようになる。

偏微分方程式の固有値問題にリッツ法を適用した結果、最終的に解くことになる行列方程式の形式はどれか。

Ku = λMu

行列方程式 Ku = λMu に新たに出てくる行列 M のことを何と呼ぶか。

質量行列

質量行列 M の成分 Mij は、何を積分して計算されるか。

基底関数 φi と φj の積

行列方程式 Ku = λMu の解として得られる λ と u は、それぞれ元の偏微分方程式問題の何に対応するか。

λは固有値、uは固有ベクトル（固有関数の節点値）

Ku = λMu という形式の方程式は、数学的に何と呼ばれる問題か。

一般化固有値問題

質量行列 M の計算においても、係数行列 K と同様に、まず要素ごとに小さな行列を計算する。この行列を何と呼ぶか。

要素質量行列

1次3角形要素（面積A）に対する要素質量行列 Mμ の成分は、何に比例するか。

領域全体の質量行列 M は、個々の要素質量行列 Mμ からどのように作られるか。

すべての Mμ を足し合わせる（アセンブリする）。

固有値問題のリッツ法において、ディリクレ境界条件 u=0 はどのように扱われるか。

境界上の節点に対応する未知係数 uj を、あらかじめ0として方程式から除外する。

第9章で解説された、固有値問題を有限要素法で解くための最も重要な計算上のステップは何か。

剛性行列 K と質量行列 M を計算し、一般化固有値問題を解くこと。

第10章の主な目的は何か。

第8、9章で学んだ固有値問題の理論を使い、具体的な問題を解く手順を示すこと。

§25の例題で解かれた行列方程式は、どのような形式のものか。

一般化固有値問題 Ku = λMu

§25の例題を解くにあたり、計算が必要となった2つの主要な行列は何か。

剛性行列 K と質量行列 M

行列の固有値問題を解くことで得られる固有値 λ は、元の偏微分方程式における何に対応するか。

固有値

§25の例題では、得られた近似解を何と比較して、その妥当性を確認しているか。

数学的に厳密に求められる理論解

§26で提示されたプログラムにおいて、一般化固有値問題 Ku=λMu を標準的な固有値問題 Cw=λw に変換する役割を持つサブルーチンはどれか。

KOYUCHI

サブルーチン YOHSO は、以前のプログラムと比較して、どのような点が異なっているか。

要素剛性行列 EK と要素質量行列 EM の両方を計算する。

PROG3.FOR の出力ファイル OUTPUT3.DAT に含まれる主要な情報は何か。

計算された固有値と、それに対応する固有ベクトル

ディリクレ問題、ノイマン問題、そして固有値問題

100

境界値問題（Ku=f）のプログラムと固有値問題（Ku=λMu）のプログラムの最も本質的な違いは何か。

質量行列 M の計算と、固有値ソルバーが必要になる点