計算代数統計 - グレブナー基底と実験計画法

60問 • 6ヶ月前

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問題一覧

ガウスの消去法（掃き出し法）で、与えられた連立1次方程式を変形して解を得る2つのステップの組み合わせとして正しいものはどれか。

前進消去と後退代入

Kを体としたとき、Kの元を係数とするn変数x1,…,xnの多項式の全体を表す記号はどれか。

K[x1,…,xn]

多項式環K[x_1, … , x_n]の空でない部分集合Iがイデアルであるための条件として、誤っているものはどれか。

f,g∈I ならば fg∈I

多項式f1,…,frが定めるアフィン多様体V(f_1, … , f_r)の定義として正しいものはどれか。

f1,…,frの全てが0になる点の集合

1変数の多項式環K[x]のイデアルに関する記述として正しいものはどれか。

常にただ一つの多項式で生成される（単項イデアル）

多項式の割り算 f(x)=q(x)g(x)+r(x) における余りr(x)の条件として正しいものはどれか。

r(x)=0 または deg(r(x))<deg(g(x))

単項式からなる生成系を持つイデアルを何と呼ぶか。

単項式イデアル

Dicksonの補題が保証していることは何か。

任意の単項式の集合の極小元は高々有限個である

単項式順序の条件として含まれないものはどれか。

deg(u)<deg(v) ならば u<v である

x>y>z の純辞書式順序において、最も大きい単項式はどれか。

x>y>z の逆辞書式順序において、x2y3z と xy2z3 の大小関係で正しいものはどれか。(両者の次数は6)

x2y3z>xy2z3

多変数の多項式の割り算アルゴリズムに関する記述として正しいものはどれか。

余りは一意的に定まるとは限らない

あるイデアルIの「グレブナー基底」$G=\{g_1, \dots, g_s\}$が持つ最も重要な性質は何か。

$f \in I$ であることと、$f$を$G$で割った余りが0であることが同値である

多項式環の任意のイデアルが有限個の多項式で生成されることを保証する定理は何か。

Hilbertの基底定理

イニシャルイデアル in<(I) の定義として正しいものはどれか。

イデアルIの各元のイニシャル単項式で生成されるイデアル

グレブナー基底の中で、係数が1に正規化され、どの基底要素も他の基底要素のイニシャル単項式で割り切れない項を含まない、一意に定まる基底を何と呼ぶか。

被約グレブナー基底

Buchbergerアルゴリズムで、グレブナー基底を構成するために繰り返し計算される多項式は何か。

S多項式

2つの多項式f,gのイニシャル単項式が互いに素である場合、そのS多項式の割り算に関する記述として正しいものはどれか。

余りは必ず0になる

Buchbergerアルゴリズムの計算量は、入力の変数の数に対してどのようなオーダーを持つとされているか。

二重指数オーダー

本書で紹介されている、グレブナー基底の計算をブラウザ上で実行できる代数計算ソフトウェアは何か。

Macaulay2

Macaulay2で有理数体を係数とする多項式環を宣言する際に用いる記号はどれか。

Macaulay2で純辞書式順序を指定するオプションはどれか。

MonomialOrder => Lex

Macaulay2でイデアルのグレブナー基底を計算する基本的なコマンドはどれか。

Macaulay2で、あるイデアルIのイニシャルイデアルの生成元を求めるコマンドはどれか。

initial(I)

グレブナー基底の消去定理が最も典型的に機能する単項式順序はどれか。

純辞書式順序

イデアル$I \subset K[x,y,z]$の$x > y > z$なる純辞書式順序に関するグレブナー基底を計算した。このとき、基底に含まれる可能性がある多項式はどれか。

zのみを含む多項式

2元分割表の独立モデル pij=αiβj を陰的表現（$p_{ij}$のみの関係式）に変換する操作は、代数的には何に対応するか。

変数 {αi},{βj} を消去する操作

2つのイデアルの共通部分を計算するために、消去定理をどのように利用するか。

補助的な変数tを導入し、tI+(1−t)Jというイデアルからtを消去する

消去定理を適用するために、複数の変数ブロック間での優先順位をつけつつ、各ブロック内では逆辞書式順序などを用いることができる単項式順序を何と呼ぶか。

ブロック順序

本章全体を通じて、グレブナー基底は何を解決するための強力な理論として紹介されているか。

多項式方程式系の系統的な解法とそれに付随する代数的問題

実験計画法において、実験で変化させる「コーヒーの粉の量」や「砂糖の量」などを何と呼ぶか。

因子 (factor)

ある因子が取りうる具体的な値（例：「少なめ」「多め」や {−1,1}）を何と呼ぶか。

水準 (level)

計画D（実験点の集合）が与えられたとき、「計画イデアル I(D)」の定義として正しいものはどれか。

Dの全ての点で値が0になる多項式の集合

統計学における「交絡」は、代数的にはどのように表現されるか。

2つの多項式 f,g の差が計画イデアル I(D) に属する

計画D上の多項式関数の全体の集合（応答空間 K[D]）と数学的に同型なものはどれか。

剰余環 K[x1,…,xn]/I(D)

計画イデアル I(D) のグレブナー基底を計算したとき、剰余環の基底をなす単項式を何と呼ぶか。

標準単項式

サイズmの計画Dに対し、その標準単項式の個数はいくつか。

mと等しい

標準単項式を列、計画点を列に対応させて作られる行列を何と呼ぶか。

モデル行列

標準単項式のみを項として持つ多項式モデルに関する記述として正しいものはどれか。

そのモデルの母数は常に識別可能である

任意の多項式モデルの識別可能性を判定するための代数的な操作は何か。

その多項式を計画イデアルのグレブナー基底で割り算する

2水準因子（水準が${-1, 1}）からなる計画D$を考える。x12 という項は計画上の点ではどのような値を取るか。

計画イデアル I(D)=⟨x12−1,x22−1⟩ と多項式モデル f=θ1x1+θ2x12 を考える。このモデルの識別可能性について正しいものはどれか。

fの割り算の余りは (θ1+θ2)x1 となるため識別可能でない

ある計画の標準単項式の集合が、用いる単項式順序によって変化することはあるか。

変化することがある

計画イデアルを一般の計画について計算する際、複数のイデアルの共通部分を求める必要があり、そのために何を利用するか。

消去定理とブロック順序

統計モデルにおける母数空間の元$\thetaと確率分布p_\theta$の対応が1対1であるとき、そのモデルを何と呼ぶか。

識別可能

3因子2水準完全実施計画 D={−1,1}3 の計画イデアルは ⟨x12−1,x22−1,x32−1⟩ である。標準単項式でないものは次のうちどれか。

x12

ある計画イデアルのグレブナー基底で多項式モデルfを割った余りをrとする。rの項を構成する単項式は、必ず何に属するか。

標準単項式の集合

応答空間 K[D] がK-ベクトル空間であるとき、その次元は何か。

計画のサイズ m

2つの多項式 f,g が計画D上で交絡している。このとき f−g はどこに属するか。

計画イデアル I(D)

2水準一部実施計画 D1 は定義関係 x2x3x4=1 で与えられる。この計画上で交絡する単項式のペアはどれか。

x4 と x2x3

計画D上の補間多項式を f=∑a∈Lθaxa（ここで${x^a

θ=X−1y

計画Dの扇（fan）とは何か。

全ての単項式順序に関して得られる、全ての標準単項式の集合の集まり

どのような単項式順序をとっても標準単項式の集合が一つしか存在しない計画を何と呼ぶか。

極小扇計画

計画イデアルが根基イデアルであることは、どのような性質を意味するか。

fm∈I(D) ならば f∈I(D)

計画上の多項式モデルの識別可能性は、グレブナー基底を計算する際の単項式順序の選び方に依存するか。

依存しない

応答曲面法で利用されるBox-Behnken計画は、どのような計画の例か。

レギュラーでない3水準の一部実施計画

Macaulay2で剰余環 R/I の基底（標準単項式）を求めるコマンドはどれか。

basis(R/I)

ある計画Dでモデル f=θ1x1+θ2x2 が識別可能でないとする。これは代数的に何を意味するか。

x1とx2がD上で線形従属な関数である

イデアルの普遍グレブナー基底とは何か。

全ての単項式順序に関する被約グレブナー基底の和集合

本章で解説されたPistoneとWynnの研究の貢献は、何と何をグレブナー基底の理論で結びつけたことにあるか。

実験計画法と多項式イデアル

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問題一覧

ガウスの消去法（掃き出し法）で、与えられた連立1次方程式を変形して解を得る2つのステップの組み合わせとして正しいものはどれか。

前進消去と後退代入

Kを体としたとき、Kの元を係数とするn変数x1,…,xnの多項式の全体を表す記号はどれか。

K[x1,…,xn]

多項式環K[x_1, … , x_n]の空でない部分集合Iがイデアルであるための条件として、誤っているものはどれか。

f,g∈I ならば fg∈I

多項式f1,…,frが定めるアフィン多様体V(f_1, … , f_r)の定義として正しいものはどれか。

f1,…,frの全てが0になる点の集合

1変数の多項式環K[x]のイデアルに関する記述として正しいものはどれか。

常にただ一つの多項式で生成される（単項イデアル）

多項式の割り算 f(x)=q(x)g(x)+r(x) における余りr(x)の条件として正しいものはどれか。

r(x)=0 または deg(r(x))<deg(g(x))

単項式からなる生成系を持つイデアルを何と呼ぶか。

単項式イデアル

Dicksonの補題が保証していることは何か。

任意の単項式の集合の極小元は高々有限個である

単項式順序の条件として含まれないものはどれか。

deg(u)<deg(v) ならば u<v である

x>y>z の純辞書式順序において、最も大きい単項式はどれか。

x>y>z の逆辞書式順序において、x2y3z と xy2z3 の大小関係で正しいものはどれか。(両者の次数は6)

x2y3z>xy2z3

多変数の多項式の割り算アルゴリズムに関する記述として正しいものはどれか。

余りは一意的に定まるとは限らない

あるイデアルIの「グレブナー基底」$G=\{g_1, \dots, g_s\}$が持つ最も重要な性質は何か。

$f \in I$ であることと、$f$を$G$で割った余りが0であることが同値である

多項式環の任意のイデアルが有限個の多項式で生成されることを保証する定理は何か。

Hilbertの基底定理

イニシャルイデアル in<(I) の定義として正しいものはどれか。

イデアルIの各元のイニシャル単項式で生成されるイデアル

被約グレブナー基底

Buchbergerアルゴリズムで、グレブナー基底を構成するために繰り返し計算される多項式は何か。

S多項式

2つの多項式f,gのイニシャル単項式が互いに素である場合、そのS多項式の割り算に関する記述として正しいものはどれか。

余りは必ず0になる

Buchbergerアルゴリズムの計算量は、入力の変数の数に対してどのようなオーダーを持つとされているか。

二重指数オーダー

本書で紹介されている、グレブナー基底の計算をブラウザ上で実行できる代数計算ソフトウェアは何か。

Macaulay2

Macaulay2で有理数体を係数とする多項式環を宣言する際に用いる記号はどれか。

Macaulay2で純辞書式順序を指定するオプションはどれか。

MonomialOrder => Lex

Macaulay2でイデアルのグレブナー基底を計算する基本的なコマンドはどれか。

Macaulay2で、あるイデアルIのイニシャルイデアルの生成元を求めるコマンドはどれか。

initial(I)

グレブナー基底の消去定理が最も典型的に機能する単項式順序はどれか。

純辞書式順序

イデアル$I \subset K[x,y,z]$の$x > y > z$なる純辞書式順序に関するグレブナー基底を計算した。このとき、基底に含まれる可能性がある多項式はどれか。

zのみを含む多項式

2元分割表の独立モデル pij=αiβj を陰的表現（$p_{ij}$のみの関係式）に変換する操作は、代数的には何に対応するか。

変数 {αi},{βj} を消去する操作

2つのイデアルの共通部分を計算するために、消去定理をどのように利用するか。

補助的な変数tを導入し、tI+(1−t)Jというイデアルからtを消去する

ブロック順序

本章全体を通じて、グレブナー基底は何を解決するための強力な理論として紹介されているか。

多項式方程式系の系統的な解法とそれに付随する代数的問題

実験計画法において、実験で変化させる「コーヒーの粉の量」や「砂糖の量」などを何と呼ぶか。

因子 (factor)

ある因子が取りうる具体的な値（例：「少なめ」「多め」や {−1,1}）を何と呼ぶか。

水準 (level)

計画D（実験点の集合）が与えられたとき、「計画イデアル I(D)」の定義として正しいものはどれか。

Dの全ての点で値が0になる多項式の集合

統計学における「交絡」は、代数的にはどのように表現されるか。

2つの多項式 f,g の差が計画イデアル I(D) に属する

計画D上の多項式関数の全体の集合（応答空間 K[D]）と数学的に同型なものはどれか。

剰余環 K[x1,…,xn]/I(D)

計画イデアル I(D) のグレブナー基底を計算したとき、剰余環の基底をなす単項式を何と呼ぶか。

標準単項式

サイズmの計画Dに対し、その標準単項式の個数はいくつか。

mと等しい

標準単項式を列、計画点を列に対応させて作られる行列を何と呼ぶか。

モデル行列

標準単項式のみを項として持つ多項式モデルに関する記述として正しいものはどれか。

そのモデルの母数は常に識別可能である

任意の多項式モデルの識別可能性を判定するための代数的な操作は何か。

その多項式を計画イデアルのグレブナー基底で割り算する

2水準因子（水準が${-1, 1}）からなる計画D$を考える。x12 という項は計画上の点ではどのような値を取るか。

計画イデアル I(D)=⟨x12−1,x22−1⟩ と多項式モデル f=θ1x1+θ2x12 を考える。このモデルの識別可能性について正しいものはどれか。

fの割り算の余りは (θ1+θ2)x1 となるため識別可能でない

ある計画の標準単項式の集合が、用いる単項式順序によって変化することはあるか。

変化することがある

計画イデアルを一般の計画について計算する際、複数のイデアルの共通部分を求める必要があり、そのために何を利用するか。

消去定理とブロック順序

統計モデルにおける母数空間の元$\thetaと確率分布p_\theta$の対応が1対1であるとき、そのモデルを何と呼ぶか。

識別可能

3因子2水準完全実施計画 D={−1,1}3 の計画イデアルは ⟨x12−1,x22−1,x32−1⟩ である。標準単項式でないものは次のうちどれか。

x12

ある計画イデアルのグレブナー基底で多項式モデルfを割った余りをrとする。rの項を構成する単項式は、必ず何に属するか。

標準単項式の集合

応答空間 K[D] がK-ベクトル空間であるとき、その次元は何か。

計画のサイズ m

2つの多項式 f,g が計画D上で交絡している。このとき f−g はどこに属するか。

計画イデアル I(D)

2水準一部実施計画 D1 は定義関係 x2x3x4=1 で与えられる。この計画上で交絡する単項式のペアはどれか。

x4 と x2x3

計画D上の補間多項式を f=∑a∈Lθaxa（ここで${x^a

θ=X−1y

計画Dの扇（fan）とは何か。

全ての単項式順序に関して得られる、全ての標準単項式の集合の集まり

どのような単項式順序をとっても標準単項式の集合が一つしか存在しない計画を何と呼ぶか。

極小扇計画

計画イデアルが根基イデアルであることは、どのような性質を意味するか。

fm∈I(D) ならば f∈I(D)

計画上の多項式モデルの識別可能性は、グレブナー基底を計算する際の単項式順序の選び方に依存するか。

依存しない

応答曲面法で利用されるBox-Behnken計画は、どのような計画の例か。

レギュラーでない3水準の一部実施計画

Macaulay2で剰余環 R/I の基底（標準単項式）を求めるコマンドはどれか。

basis(R/I)

ある計画Dでモデル f=θ1x1+θ2x2 が識別可能でないとする。これは代数的に何を意味するか。

x1とx2がD上で線形従属な関数である

イデアルの普遍グレブナー基底とは何か。

全ての単項式順序に関する被約グレブナー基底の和集合

本章で解説されたPistoneとWynnの研究の貢献は、何と何をグレブナー基底の理論で結びつけたことにあるか。

実験計画法と多項式イデアル