射影幾何学入門 - 生物の形態と数学 -

90問 • 5ヶ月前

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問題一覧

古代エジプトの幾何学が持っていた精神的な効果として、本文中で述べられているのは次のうちどれですか？

人々に地に足をつける感覚を与える

古代ギリシャで体系化されたユークリッド幾何学が、エジプトの幾何学と異なる最も重要な点は何ですか？

公理に基づき、論理的な証明を重んじた

著者が指摘する、ユークリッド幾何学の「本質」とは何ですか？

計量

本章において、ユークリッド幾何学はどのような世界を記述するのに適していると述べられていますか？

生成が完了した、静的な物質の世界

ユークリッド幾何学の象徴として挙げられている定理は何ですか？

ピタゴラスの定理

ユークリッド幾何学において、2つの図形が同じ形、同じ大きさであることを指す概念は何ですか？

合同

ギリシャの幾何学の背景にある、プラトンに由来する考え方は何ですか？

現実世界を超えたイデアの世界が存在するという考え

著者は、ユークリッド幾何学の「計量」という性質を、何と対比させて論じていますか？

射影幾何学の「関係性」

古代エジプトの測量術が必要とされた、最も直接的な理由は何ですか？

ナイル川の定期的な氾濫

この章全体を通じて、著者はユークリッド幾何学をどのように位置づけていますか？

生命現象の記述には限界がある、物質世界に適した幾何学

射影幾何学がユークリッド幾何学と根本的に異なる点は何ですか？

長さや角度といった「計量」を排除する

射影幾何学が最も重視するものは何ですか？

点が直線上にあるといった「接続関係」

ユークリッド幾何学における「平行な2直線は交わらない」という例外をなくすために、射影幾何学が導入した概念は何ですか？

無限遠点

射影幾何学における「双対性の原理」とは、どのようなものですか？

ある定理の「点」と「直線」の言葉を入れ替えても、定理が成り立つ

射影平面において、「平面上の任意の2直線は必ず1点で交わる」という法則が成り立つのはなぜですか？

平行な2直線も無限遠点で交わると定義するから

「2点を通る直線はただ1つ存在する」という命題の「双対」にあたる命題はどれですか？

2直線が交わる点はただ1つ存在する

射影幾何学の考え方の例として、この章で詳しく紹介されている定理は何ですか？

パッポスの定理

射影幾何学の世界観を表現する言葉として、最も適切なものはどれですか？

矛盾がなく調和がとれている

射影幾何学の考え方によれば、地平線はどのように解釈できますか？

無限遠直線の現れ

この章で述べられている射影幾何学の性質から、この幾何学がどのような世界を記述するのに適していると示唆されていますか？

生命の成長など、関係性が変化していく世界

3次元の射影空間において、「点」と双対的な関係にあるのは何ですか？

平面

この章で紹介された「極変換」とは、何を基準にして点と平面を対応させる操作ですか？

一つの球面

ある点Pの「極平面」は、どのように定義されますか？

点Pから基準球面に引いた接線群の接点が作る円を含む平面

基準球面の「内部」にある点の極平面は、基準球面とどのように交わりますか？

交わらない

著者は、点の集まりとしての図形と、平面の集まりとしての図形を、それぞれ何の世界に対応させていますか？

（点）物質的な世界、（平面）エーテル的な世界

3次元射影空間における「3点P, Q, Rは一直線上にある」という命題の双対命題はどれですか？

3つの平面p, q, rは一つの直線を共有する（一つの直線で交わる）

極変換において、基準球面上にある点Pの極平面はどうなりますか？

点Pにおける接平面となる

著者が極変換を用いて示そうとしている中心的な考え方は何ですか？

目に見える「形」とその背後にある「形成力」との対応関係

円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）を、接線の集まりとして捉える見方は、何に基づいていますか？

射影幾何学の双対性

極変換という操作は、射影幾何学のどの原理を具体的に体現したものと言えますか？

双対性の原理

「射影変換」が保つ性質として正しいものはどれですか？

点が直線上にあるという接続関係

一つの射影変換を繰り返し点に適用していくと、何が生まれますか？

軌道

2つの不動点を持つ直線上の射影変換のタイプを何と呼びますか？

成長尺（双曲型）

不動点が1つしかない射影変換のタイプは何ですか？

歩行尺（放物型）

著者は、これら3つの射影変換のタイプを、何に見立てて説明していますか？

生命の成長を測る「ものさし」

私たちが普段使う、等間隔の目盛りがついた定規（ものさし）は、どのタイプの射影変換の特殊な場合と見なせますか？

歩行尺（放物型）

実数の不動点を持たず、点が周期的に移動する軌道を描く射影変換は何ですか？

循環尺（楕円型）

著者は、射影変換の軌道が、どのような現象のモデルになると考えていますか？

生物の成長パターン

ユークリッド幾何学における「合同変換」と「射影変換」の最も大きな違いは何ですか？

射影変換は長さや角度を保たない

2次元や3次元に拡張された射影変換が生み出す軌道の例として、本文中で示唆されているものは何ですか？

螺旋

本書で提示されている「エーテル空間（負のユークリッド空間）」は、何を基準として定義される空間ですか？

中心にある絶対平面

L.エドワーズが、卵や植物のつぼみの形を記述するために用いた数学的な道具は何ですか？

射影変換から生まれる曲線（パス・カーブ）

卵やつぼみの形を特徴づけるためにエドワーズが用いた、ただ一つのパラメータ記号は何ですか？

λ（ラムダ）

L.エドワーズの研究によると、植物のつぼみの形（λ値）は、何と連動して周期的に変化することが発見されましたか？

月の満ち欠けや惑星の運行

卵の形について、λ=2のときが標準的な卵形とされていますが、λの値が2よりずっと大きくなると、形はどうなりますか？

より細長くなる

エドワーズの研究が示唆する「ミクロコスモスとマクロコスモス」の関係とは、どのようなものですか？

個々の生物（ミクロコスモス）の形態形成が、天体の運行（マクロコスモス）と共鳴しているという関係

ニワトリの卵の形は、ある曲線で非常に正確に近似できると述べられていますが、その曲線はどのタイプの射影変換から導かれますか？

成長尺（双曲型）

エドワーズが研究対象とした植物の部位はどこですか？

冬のつぼみ（冬芽）

この章で紹介されている研究は、射影幾何学がどのような領域で有効であることを示していますか？

生命形態の背後にある原理の解明

エドワーズの研究結果が正しければ、生命現象はどのような影響下にあると言えますか？

地球外の天体のリズムから影響を受けている

第II部で射影幾何学を記述するために、中心的に用いられる道具は何ですか？

代数学（数式）

無限遠点を他の点と区別なく統一的に扱うために、この章で導入された座標系は何ですか？

斉次座標

斉次座標 [X : Y] を用いて射影直線を考えるとき、通常の数直線上の点 x はどのように表されますか？

[x : 1]

斉次座標 [X : Y] を用いた場合、無限遠点はどのように表現されますか？

[1 : 0]

射影平面上の点 [X : Y : Z] は、3次元ベクトル空間 (X, Y, Z) における何と一対一に対応しますか？

原点を通る直線

射影平面上の「直線」は、3次元ベクトル空間 (X, Y, Z) における何と一対一に対応しますか？

原点を通る平面

斉次座標 [X : Y : Z] の性質として正しいものはどれですか？

[X : Y : Z] と [kX : kY : kZ] (k≠0) は、同じ点を表す

射影平面において、無限遠直線の方程式は斉次座標でどのように表されますか？

Z = 0

斉次座標を導入する最大の目的・利点は何ですか？

無限遠点を特別扱いせず、場合分けをなくすため

ベクトル空間との対応を用いると、「射影平面上の点が直線上にある」という関係は、どのように解釈されますか？

対応する直線（ベクトル）が、対応する平面に含まれる

斉次座標を用いると、射影直線の射影変換はどのような数学的操作で表現できますか？

行列の掛け算（線形変換）

射影変換における「不動点」は、変換行列をAとしたとき、何を求めることで見つかりますか？

Aの固有ベクトル

変換行列の特性方程式の判別式Dが D > 0 のとき、その射影変換のタイプは何ですか？

双曲型（成長尺）

判別式Dを用いて射影変換を分類する際、実数の不動点が1個だけ存在するケースはどれですか？

D = 0

異なる4つの点に対して定義され、射影変換を行っても値が変わらない不変量は何と呼ばれますか？

複比

x' = (3x - 2) / (x + 0) という1次分数式で表される変換は、どのタイプの射影変換ですか？（ヒント: a=3, b=-2, c=1, d=0 として判別式を計算する）

双曲型（成長尺）

成長尺（双曲型）の変換には、いくつの実数の不動点がありますか？

2個

1次分数式 x' = (ax + b) / (cx + d) が射影変換であるための条件は何ですか？

ad - bc ≠ 0

循環尺（楕円型）の変換に対応する特性方程式の解（固有値）はどのようになりますか？

共役な2つの虚数解

この章で展開された代数的な議論は、第I部のどの章の内容を数学的に厳密にしたものですか？

第4章射影変換

射影平面の射影変換は、斉次座標 [X : Y : Z] を用いると、どのような行列による線形変換で表されますか？

3×3 の正則行列

平面の射影変換における「不動点」は、変換行列Aの何に対応しますか？

固有ベクトル

ある射影変換が、1つの実数固有値と1組の共役な虚数固有値を持つ場合、その変換による点の軌道はどのようになりますか？

不動点を中心とし、そこから遠ざかる（または近づく）螺旋を描く

変換しても動かない「不動直線」を見つけるには、変換行列Aからどのような行列の固有ベクトルを求めればよいですか？

Aの逆行列の転置 (A⁻¹)ᵀ

3×3の変換行列Aが持ちうる固有値の組み合わせとして、あり得ないものはどれですか？

3つの異なる虚数

著者が、生命の形に見られる渦巻き（巻貝など）の数学的モデルとして挙げているのは、どのような変換ですか？

不動点を1つだけ持ち、軌道が螺旋を描く変換

この章で代数的に定式化された「極変換」は、第I部のどの章で図形的に説明されていましたか？

第3章

射影平面の変換行列は「正則行列」でなければならないとされていますが、それはなぜですか？

変換によって全ての点が1点に潰れてしまわないようにするため（逆変換が存在するため）

平面の射影変換は、1次元の場合と比べてどのように異なっていますか？

分類のタイプがより多様になる

双対性の原理によれば、「不動点」の双対概念は何ですか？

不動直線

3次元射影空間の射影変換は、斉次座標を用いると、どのような行列による線形変換で表されますか？

4×4 の正則行列

マツボックリの鱗片の配列に見られるような、立体的な螺旋の軌道を生み出す射影変換は、どのような固有値の組み合わせを持ちますか？

2つの異なる実数固有値と、1組の共役な虚数固有値

上記（問2）の、立体的な螺旋を生み出す変換は、いくつの不動点を持つと考えられますか？

2個

4×4の変換行列が、4つの異なる実数固有値を持つ場合、いくつの不動点が存在しますか？

4個

3次元射影空間の変換において、不動となりうる幾何学的要素の組み合わせとして正しいものはどれですか？

不動点、不動直線、不動平面

空間の極変換において、基準となる二次曲面を行列Kで、点Pをベクトルpで表すとき、点Pの極平面を表す方程式はどれですか？

pᵀKx = 0

4×4の変換行列の固有ベクトルは、何に対応しますか？

不動点

3次元の射影変換の代数的な議論は、どの自然物の構造を説明するモデルとして提示されましたか？

マツボックリ

射影幾何学の代数的理論において、次元が上がるにつれて変換行列のサイズはどうなりますか？

大きくなる

この章で本書が締めくくられることから、著者が射影幾何学の代数的理論を通して最終的に示したかったことは何であると推測されますか？

第I部で図形的に示した生命形態と宇宙のモデルが、厳密な数学的裏付けを持つこと

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公理に基づき、論理的な証明を重んじた

著者が指摘する、ユークリッド幾何学の「本質」とは何ですか？

計量

本章において、ユークリッド幾何学はどのような世界を記述するのに適していると述べられていますか？

生成が完了した、静的な物質の世界

ユークリッド幾何学の象徴として挙げられている定理は何ですか？

ピタゴラスの定理

ユークリッド幾何学において、2つの図形が同じ形、同じ大きさであることを指す概念は何ですか？

合同

ギリシャの幾何学の背景にある、プラトンに由来する考え方は何ですか？

現実世界を超えたイデアの世界が存在するという考え

著者は、ユークリッド幾何学の「計量」という性質を、何と対比させて論じていますか？

射影幾何学の「関係性」

古代エジプトの測量術が必要とされた、最も直接的な理由は何ですか？

ナイル川の定期的な氾濫

この章全体を通じて、著者はユークリッド幾何学をどのように位置づけていますか？

生命現象の記述には限界がある、物質世界に適した幾何学

射影幾何学がユークリッド幾何学と根本的に異なる点は何ですか？

長さや角度といった「計量」を排除する

射影幾何学が最も重視するものは何ですか？

点が直線上にあるといった「接続関係」

ユークリッド幾何学における「平行な2直線は交わらない」という例外をなくすために、射影幾何学が導入した概念は何ですか？

無限遠点

射影幾何学における「双対性の原理」とは、どのようなものですか？

ある定理の「点」と「直線」の言葉を入れ替えても、定理が成り立つ

射影平面において、「平面上の任意の2直線は必ず1点で交わる」という法則が成り立つのはなぜですか？

平行な2直線も無限遠点で交わると定義するから

「2点を通る直線はただ1つ存在する」という命題の「双対」にあたる命題はどれですか？

2直線が交わる点はただ1つ存在する

射影幾何学の考え方の例として、この章で詳しく紹介されている定理は何ですか？

パッポスの定理

射影幾何学の世界観を表現する言葉として、最も適切なものはどれですか？

矛盾がなく調和がとれている

射影幾何学の考え方によれば、地平線はどのように解釈できますか？

無限遠直線の現れ

この章で述べられている射影幾何学の性質から、この幾何学がどのような世界を記述するのに適していると示唆されていますか？

生命の成長など、関係性が変化していく世界

3次元の射影空間において、「点」と双対的な関係にあるのは何ですか？

平面

この章で紹介された「極変換」とは、何を基準にして点と平面を対応させる操作ですか？

一つの球面

ある点Pの「極平面」は、どのように定義されますか？

点Pから基準球面に引いた接線群の接点が作る円を含む平面

基準球面の「内部」にある点の極平面は、基準球面とどのように交わりますか？

交わらない

著者は、点の集まりとしての図形と、平面の集まりとしての図形を、それぞれ何の世界に対応させていますか？

（点）物質的な世界、（平面）エーテル的な世界

3次元射影空間における「3点P, Q, Rは一直線上にある」という命題の双対命題はどれですか？

3つの平面p, q, rは一つの直線を共有する（一つの直線で交わる）

極変換において、基準球面上にある点Pの極平面はどうなりますか？

点Pにおける接平面となる

著者が極変換を用いて示そうとしている中心的な考え方は何ですか？

目に見える「形」とその背後にある「形成力」との対応関係

円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）を、接線の集まりとして捉える見方は、何に基づいていますか？

射影幾何学の双対性

極変換という操作は、射影幾何学のどの原理を具体的に体現したものと言えますか？

双対性の原理

「射影変換」が保つ性質として正しいものはどれですか？

点が直線上にあるという接続関係

一つの射影変換を繰り返し点に適用していくと、何が生まれますか？

軌道

2つの不動点を持つ直線上の射影変換のタイプを何と呼びますか？

成長尺（双曲型）

不動点が1つしかない射影変換のタイプは何ですか？

歩行尺（放物型）

著者は、これら3つの射影変換のタイプを、何に見立てて説明していますか？

生命の成長を測る「ものさし」

私たちが普段使う、等間隔の目盛りがついた定規（ものさし）は、どのタイプの射影変換の特殊な場合と見なせますか？

歩行尺（放物型）

実数の不動点を持たず、点が周期的に移動する軌道を描く射影変換は何ですか？

循環尺（楕円型）

著者は、射影変換の軌道が、どのような現象のモデルになると考えていますか？

生物の成長パターン

ユークリッド幾何学における「合同変換」と「射影変換」の最も大きな違いは何ですか？

射影変換は長さや角度を保たない

2次元や3次元に拡張された射影変換が生み出す軌道の例として、本文中で示唆されているものは何ですか？

螺旋

本書で提示されている「エーテル空間（負のユークリッド空間）」は、何を基準として定義される空間ですか？

中心にある絶対平面

L.エドワーズが、卵や植物のつぼみの形を記述するために用いた数学的な道具は何ですか？

射影変換から生まれる曲線（パス・カーブ）

卵やつぼみの形を特徴づけるためにエドワーズが用いた、ただ一つのパラメータ記号は何ですか？

λ（ラムダ）

L.エドワーズの研究によると、植物のつぼみの形（λ値）は、何と連動して周期的に変化することが発見されましたか？

月の満ち欠けや惑星の運行

卵の形について、λ=2のときが標準的な卵形とされていますが、λの値が2よりずっと大きくなると、形はどうなりますか？

より細長くなる

エドワーズの研究が示唆する「ミクロコスモスとマクロコスモス」の関係とは、どのようなものですか？

個々の生物（ミクロコスモス）の形態形成が、天体の運行（マクロコスモス）と共鳴しているという関係

ニワトリの卵の形は、ある曲線で非常に正確に近似できると述べられていますが、その曲線はどのタイプの射影変換から導かれますか？

成長尺（双曲型）

エドワーズが研究対象とした植物の部位はどこですか？

冬のつぼみ（冬芽）

この章で紹介されている研究は、射影幾何学がどのような領域で有効であることを示していますか？

生命形態の背後にある原理の解明

エドワーズの研究結果が正しければ、生命現象はどのような影響下にあると言えますか？

地球外の天体のリズムから影響を受けている

第II部で射影幾何学を記述するために、中心的に用いられる道具は何ですか？

代数学（数式）

無限遠点を他の点と区別なく統一的に扱うために、この章で導入された座標系は何ですか？

斉次座標

斉次座標 [X : Y] を用いて射影直線を考えるとき、通常の数直線上の点 x はどのように表されますか？

[x : 1]

斉次座標 [X : Y] を用いた場合、無限遠点はどのように表現されますか？

[1 : 0]

射影平面上の点 [X : Y : Z] は、3次元ベクトル空間 (X, Y, Z) における何と一対一に対応しますか？

原点を通る直線

射影平面上の「直線」は、3次元ベクトル空間 (X, Y, Z) における何と一対一に対応しますか？

原点を通る平面

斉次座標 [X : Y : Z] の性質として正しいものはどれですか？

[X : Y : Z] と [kX : kY : kZ] (k≠0) は、同じ点を表す

射影平面において、無限遠直線の方程式は斉次座標でどのように表されますか？

Z = 0

斉次座標を導入する最大の目的・利点は何ですか？

無限遠点を特別扱いせず、場合分けをなくすため

ベクトル空間との対応を用いると、「射影平面上の点が直線上にある」という関係は、どのように解釈されますか？

対応する直線（ベクトル）が、対応する平面に含まれる

斉次座標を用いると、射影直線の射影変換はどのような数学的操作で表現できますか？

行列の掛け算（線形変換）

射影変換における「不動点」は、変換行列をAとしたとき、何を求めることで見つかりますか？

Aの固有ベクトル

変換行列の特性方程式の判別式Dが D > 0 のとき、その射影変換のタイプは何ですか？

双曲型（成長尺）

判別式Dを用いて射影変換を分類する際、実数の不動点が1個だけ存在するケースはどれですか？

D = 0

異なる4つの点に対して定義され、射影変換を行っても値が変わらない不変量は何と呼ばれますか？

複比

x' = (3x - 2) / (x + 0) という1次分数式で表される変換は、どのタイプの射影変換ですか？（ヒント: a=3, b=-2, c=1, d=0 として判別式を計算する）

双曲型（成長尺）

成長尺（双曲型）の変換には、いくつの実数の不動点がありますか？

2個

1次分数式 x' = (ax + b) / (cx + d) が射影変換であるための条件は何ですか？

ad - bc ≠ 0

循環尺（楕円型）の変換に対応する特性方程式の解（固有値）はどのようになりますか？

共役な2つの虚数解

この章で展開された代数的な議論は、第I部のどの章の内容を数学的に厳密にしたものですか？

第4章射影変換

射影平面の射影変換は、斉次座標 [X : Y : Z] を用いると、どのような行列による線形変換で表されますか？

3×3 の正則行列

平面の射影変換における「不動点」は、変換行列Aの何に対応しますか？

固有ベクトル

ある射影変換が、1つの実数固有値と1組の共役な虚数固有値を持つ場合、その変換による点の軌道はどのようになりますか？

不動点を中心とし、そこから遠ざかる（または近づく）螺旋を描く

変換しても動かない「不動直線」を見つけるには、変換行列Aからどのような行列の固有ベクトルを求めればよいですか？

Aの逆行列の転置 (A⁻¹)ᵀ

3×3の変換行列Aが持ちうる固有値の組み合わせとして、あり得ないものはどれですか？

3つの異なる虚数

著者が、生命の形に見られる渦巻き（巻貝など）の数学的モデルとして挙げているのは、どのような変換ですか？

不動点を1つだけ持ち、軌道が螺旋を描く変換

この章で代数的に定式化された「極変換」は、第I部のどの章で図形的に説明されていましたか？

第3章

射影平面の変換行列は「正則行列」でなければならないとされていますが、それはなぜですか？

変換によって全ての点が1点に潰れてしまわないようにするため（逆変換が存在するため）

平面の射影変換は、1次元の場合と比べてどのように異なっていますか？

分類のタイプがより多様になる

双対性の原理によれば、「不動点」の双対概念は何ですか？

不動直線

3次元射影空間の射影変換は、斉次座標を用いると、どのような行列による線形変換で表されますか？

4×4 の正則行列

マツボックリの鱗片の配列に見られるような、立体的な螺旋の軌道を生み出す射影変換は、どのような固有値の組み合わせを持ちますか？

2つの異なる実数固有値と、1組の共役な虚数固有値

上記（問2）の、立体的な螺旋を生み出す変換は、いくつの不動点を持つと考えられますか？

2個

4×4の変換行列が、4つの異なる実数固有値を持つ場合、いくつの不動点が存在しますか？

4個

3次元射影空間の変換において、不動となりうる幾何学的要素の組み合わせとして正しいものはどれですか？

不動点、不動直線、不動平面

空間の極変換において、基準となる二次曲面を行列Kで、点Pをベクトルpで表すとき、点Pの極平面を表す方程式はどれですか？

pᵀKx = 0

4×4の変換行列の固有ベクトルは、何に対応しますか？

不動点

3次元の射影変換の代数的な議論は、どの自然物の構造を説明するモデルとして提示されましたか？

マツボックリ

射影幾何学の代数的理論において、次元が上がるにつれて変換行列のサイズはどうなりますか？

大きくなる

この章で本書が締めくくられることから、著者が射影幾何学の代数的理論を通して最終的に示したかったことは何であると推測されますか？

第I部で図形的に示した生命形態と宇宙のモデルが、厳密な数学的裏付けを持つこと