数学ガールポアンカレ予想

99問 • 5ヶ月前

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問題一覧

ケーニヒスベルクの町に架かっていた橋の数は、歴史的に有名な問題として語られているものでは全部で何本でしたか？

7本

ケーニヒスベルクの橋の問題をグラフ理論で考えるとき、最も重要視される要素は何ですか？

土地と橋のつながり方

グラフにおいて、一つの頂点に接続している辺の数のことを何と呼びますか？

次数

一筆書きができる連結グラフが持つ「奇点（次数が奇数の頂点）」の個数として、ありえないものは次のうちどれですか？

1個

ケーニヒスベルクの橋のグラフには、奇点が何個ありますか？

4個

始点と終点が同じになる一筆書きができるグラフについて、正しく述べられているものはどれですか？

すべての頂点の次数が偶数である

「グラフの奇点が0個または2個であるならば、そのグラフは一筆書きできる」という命題は、「一筆書きできるグラフの奇点は0個または2個である」という命題に対してどのような関係ですか？

逆

ケーニヒスベルクの橋の問題を解決し、グラフ理論やトポロジーの基礎を築いたとされる数学者は誰ですか？

オイラー

この章で示された、一筆書きができることを証明する方法（ループを作ってつないでいく方法）を何と呼びますか？

構成的証明

メビウスの帯が持つ、シリンダーとは異なる最も重要なトポロジー的な性質は何ですか？

表と裏の区別がない（向き付け不可能）

境界のない閉曲面ではないものは、次のうちどれですか？

メビウスの帯

向き付け可能な閉曲面を完全に分類するための2つの指標は何ですか？

向き付け可能性と穴の数（種数）

2つの図形からそれぞれ小さな円板を切り抜き、その境界同士を貼り合わせて新しい図形を作る操作を何と呼びますか？

連結和

正方形の展開図で、向かい合う辺を同じ向きに貼り合わせ（abāb̄）、さらに残りの向かい合う辺も同じ向きに貼り合わせると、どの閉曲面ができますか？

トーラス

3次元空間内で表現しようとすると、必ず自己交差してしまう（自分自身を突き抜けてしまう）閉曲面は次のうちどれですか？

クラインの壺

穴が1つ空いたドーナツの表面の形（トーラス）の「種数」はいくつですか？

メビウスの帯の境界（へり）の数はいくつですか？

1本

正方形の展開図で、abāb̄という記号で表される閉曲面は何ですか？

クラインの壺

テープを半ひねりして輪を作る際、ひねりの回数が偶数回の場合にできる図形は、トポロジー的には何と同じですか？

シリンダー（円筒）

トポロジーにおいて、「コーヒーカップとドーナツは同じ形」と見なすときの「同じ」を意味する専門用語は何ですか？

同相

関数の連続性を厳密に定義するために使われる、2つのギリシャ文字を用いた論法は何ですか？

ε-δ論法

「距離の世界」から「位相の世界」へ移行する際に、捨て去られる最も重要な概念は何ですか？

距離

位相空間を定義するために、台集合に対して定められるものは何ですか？

開集合の公理

開集合が満たすべき性質（公理）として、間違っているものはどれですか？

有限個の開集合の和集合は開集合である（正しくは「任意個の」和集合）

位相空間XからYへの写像fが「同相写像」であるための条件に含まれないものはどれですか？

fは距離を保つ写像である

「開近傍」とは、どのように定義されますか？

点aを要素に持つ開集合

図形を連続的に変形させても変化しない性質を持つ量のことを何と呼びますか？

位相不変量

問題3-1で例として挙げられた、lim f(x) (x→0) が存在するが f(0) とは等しくならない関数の例として正しいものはどれですか？

f(x) = (x≠0のとき1, x=0のとき0)

この章でテトラちゃんが作ろうと決めた数学同人誌の名前は何ですか？

オイレリアンズ

球面上の2点を結ぶ最短コースとなる線は何ですか？

大円

球面幾何学における三角形の内角の和について、正しく述べられているのはどれですか？

常に180°より大きい

ユークリッド幾何学を体系化した『原論』で、長年にわたり他の公理から証明できるのではないかと疑われてきた公理は何ですか？

平行線公理

双曲幾何学における平行線の性質として正しいものはどれですか？

ある直線に対し、その直線外の1点を通る平行線は2本以上存在する

双曲幾何学のモデルとして紹介された、円盤の内部に特殊な距離を定義したモデルは何ですか？

ポアンカレ円板モデル

ポアンカレ円板モデルにおいて、「直線」に相当するものは何ですか？

円盤の直径と、円盤の縁に垂直に交わる円弧

ポアンカレ円板モデルにおいて、円盤の縁（円周）はどのように解釈されますか？

到達不可能な無限の彼方

空間の「距離の測り方」を一般的に定義する関数を何と呼びますか？

計量

ユークリッド幾何学、球面幾何学、双曲幾何学などを統一的に扱う、計量の定め方によって幾何学を一般化する枠組みを何と呼びますか？

リーマン幾何学

歴史上、ボヤイやロバチェフスキーよりも前に非ユークリッド幾何学を発見していたものの、発表しなかったとされる大数学者は誰ですか？

ガウス

この章で「4次元のサイコロ」を理解するために用いられた基本的な思考法は何ですか？

低次元からの類推

3次元の立方体の表面（2次元サイコロ面）は、何枚の正方形（2次元サイコロ体）を貼り合わせて作られますか？

6枚

低次元からの類推に基づくと、4次元の超立方体の表面（3次元サイコロ面）は、何個の3次元の立方体（3次元サイコロ体）を貼り合わせて作られると考えられますか？

8個

4次元の超立方体を3次元空間に投影して描いた図として、本文で示されたものはどれですか？

大きな立方体の内側に小さな立方体が入った入れ子構造の図

「有限で、果てがない」空間の性質として正しいものはどれですか？

空間は有限の広さだが、端（境界）がなく、どこまでも進める

「3次元球面」を構成する方法として、本文で説明されたものはどれですか？

2つのボール（3次元球体）の表面全体を貼り合わせる

ポアンカレ予想が扱う「n次元球面」のnの値はいくつですか？

n = 3

局所的に（その点の非常に近い範囲だけを見ると）n次元ユークリッド空間と同じに見える図形のことを、一般的に何と呼びますか？

n次元多様体

主人公の「僕」が、テトラちゃんとの会話で吐露した悩みは何ですか？

受験勉強に集中できず、自分の目標がちっぽけに感じること

数式 $x^2+y^2+z^2+w^2=1$ は、何次元の球面を表しますか？

3次元球面

図形を動かしても形が変わらないような操作（回転や裏返しなど）の集まりがなす代数的な構造を何と呼びますか？

群

トポロジーにおいて、図形を連続的に変形させても変わらない量のことを何と呼びますか？

位相不変量

基本群を構成する元となるものは何ですか？

空間内のループを同一視したもの（ホモトピー類）

2つのループが「ホモトピックである」とは、どのような状態を指しますか？

一方のループを空間内で連続的に変形させて他方のループに重ね合わせることができる

基本群における演算（掛け算）は、ループに対してどのような操作を行うことに相当しますか？

2つのループを基点でつなぐ

1次元球面（円周）の基本群は、どの群と同型ですか？

整数の加法群 Z

2次元球面（ボールの表面）の基本群は、どの群と同型ですか？

単位群 {e}

基本群が「単位群」であるとは、直感的にどのような空間であることを意味しますか？

空間内のどんなループも連続的に変形して一点に縮めることができる

ポアンカレ予想が主張している内容として、最も適切なものはどれですか？

基本群が単位群である3次元閉多様体は、3次元球面と同相である

この章の冒頭で、主人公が模擬試験で解いた問題のテーマは何でしたか？

回転行列と漸化式

微分方程式を解くことによって求めようとしているものは何ですか？

未知の関数

微分方程式の解のうち、任意定数などのパラメータを含んだ形で表される解を特に何と呼びますか？

一般解

微分方程式 $f'(x) = f(x)$ の一般解として正しいものはどれですか？（Cは任意定数）

f(x)=Cex

微分方程式 $f''(x) = -f(x)$ の一般解として正しいものはどれですか？（A, Bは任意定数）

f(x)=Acos(x)+Bsin(x)

バネの振動を記述する微分方程式 $mx''(t) = -Kx(t)$ を導出する際に用いられた2つの物理法則は何ですか？

ニュートンの運動方程式とフックの法則

テトラちゃんが、数式が持つ物理的な意味が式変形後も保たれている様子を表現した言葉は何ですか？

「生きた言葉」

ニュートンの冷却法則が述べている内容はどれですか？

温度変化の速度は、周囲との温度差に比例する

「放射性物質の崩壊」と「ニュートンの冷却法則」に共通していることは何ですか？

同じ形の微分方程式で記述できる

微分方程式 $x''(t) = -\omega^2 x(t)$ の解が三角関数で表されることから、この方程式が記述する運動は何であると分かりますか？

単振動

一般解 $x(t) = A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t)$ に含まれる任意定数AとBを決定するために必要な情報は何ですか？

時刻0における位置と、時刻0における速度

半径Rの球面上にある、3つの内角がすべて π/2 (90°) の球面三角形の面積はいくらですか？

πR2/2

半径R、内角がα, β, γの球面三角形の面積Sを表す公式として正しいものはどれですか？

S=R2(α+β+γ−π)

球面三角形の面積公式で、半径Rを無限大に近づける極限を考えると、どのような結果が得られますか？

内角の和が π (180°) になる

球面上の2つの大円で囲まれた三日月形の図形を、この章では何と呼んでいますか？

ルーン

空間の「曲がり具合」を表す指標として導入された量は何ですか？

ガウス曲率

ユークリッド幾何学（平面）におけるガウス曲率Kの値はいくつですか？

K = 0

ガウスが自ら「驚異の定理（Theorema Egregium）」と呼んだ定理の内容として、最も適切なものはどれですか？

ガウス曲率は、曲面を伸び縮みさせない限り不変である

曲面上の生物が、その曲面の外に出ることなく内部の測定（長さや角度）だけで知ることができる量のことを何と呼びますか？

内在的な量

円筒面のガウス曲率の値はいくつですか？

この章で、テトラちゃんがリサと意見の相違で悩んでいたことは何ですか？

同人誌「オイレリアンズ」に載せる内容の範囲

この章のタイトルにもなっている、数学の問題解決に必要とされる2つの力とは何と何ですか？

ひらめきと腕力

三角関数の積を和の形に直す公式を何と呼びますか？

積和公式

定積分 ∫−ππsin(mx)sin(nx)dx (m, nは異なる正の整数) の値はいくつですか？

関数を、三角関数（sinとcos）の無限級数で表す手法を何と呼びますか？

フーリエ展開

フーリエ展開における係数（フーリエ係数）を求めるために使われる主な計算は何ですか？

積分

関数 y=cos(x) のグラフの性質として正しいものはどれですか？

y軸対称（偶関数）である

ミルカさんが模試の問題を解く際に「ひらめき」として利用した、問題の背景にある数学理論は何でしたか？

フーリエ展開

∑k=1∞k21=6π2 という等式で知られる有名な問題は何ですか？

バーゼル問題

バーゼル問題を解決したことで有名な、この本の中で「先生」と呼ばれ尊敬されている数学者は誰ですか？

オイラー

正規分布の確率密度関数 f(x)=2πσ21exp(−2σ2(x−μ)2) のグラフの対称軸はどこですか？

x=μ

ポアンカレ予想が対象としているのは、何次元の閉多様体ですか？

3次元

「単ループの3次元閉多様体は、3次元球面に同相である」というポアンカレ予想の主張で、「単ループ」とは、どのような性質を持つことと同じ意味ですか？

基本群が単位群である

ポアンカレ予想を内包する、より一般的で壮大な予想は何ですか？

サーストン幾何化予想

サーストン幾何化予想を証明するためにリチャード・ハミルトンが導入した、多様体の形を滑らかに変形させていく方程式は何ですか？

リッチフロー方程式

ハミルトンのリッチフロー方程式が、アイデアの元とした物理学の方程式は何ですか？

フーリエの熱方程式

ハミルトンの研究方針「ハミルトンプログラム」で、多様体の変形途中に生じる特異点を取り除くために考案された手法は何ですか？

手術

ハミルトンプログラムを完成させ、サーストン幾何化予想を証明した数学者は誰ですか？

グリゴリー・ペレルマン

ペレルマンが証明論文を公開した場所はどこですか？

プレプリントサーバー「arXiv」

数学におけるノーベル賞とも言われ、40歳以下の数学者に贈られる最高の賞は何ですか？

フィールズ賞

リッチフロー方程式における「時刻t」は、物理学における「熱方程式」のどの要素に相当しますか？

時刻 t (パラメータt)

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7本

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土地と橋のつながり方

グラフにおいて、一つの頂点に接続している辺の数のことを何と呼びますか？

次数

一筆書きができる連結グラフが持つ「奇点（次数が奇数の頂点）」の個数として、ありえないものは次のうちどれですか？

1個

ケーニヒスベルクの橋のグラフには、奇点が何個ありますか？

4個

始点と終点が同じになる一筆書きができるグラフについて、正しく述べられているものはどれですか？

すべての頂点の次数が偶数である

逆

ケーニヒスベルクの橋の問題を解決し、グラフ理論やトポロジーの基礎を築いたとされる数学者は誰ですか？

オイラー

この章で示された、一筆書きができることを証明する方法（ループを作ってつないでいく方法）を何と呼びますか？

構成的証明

メビウスの帯が持つ、シリンダーとは異なる最も重要なトポロジー的な性質は何ですか？

表と裏の区別がない（向き付け不可能）

境界のない閉曲面ではないものは、次のうちどれですか？

メビウスの帯

向き付け可能な閉曲面を完全に分類するための2つの指標は何ですか？

向き付け可能性と穴の数（種数）

2つの図形からそれぞれ小さな円板を切り抜き、その境界同士を貼り合わせて新しい図形を作る操作を何と呼びますか？

連結和

トーラス

3次元空間内で表現しようとすると、必ず自己交差してしまう（自分自身を突き抜けてしまう）閉曲面は次のうちどれですか？

クラインの壺

穴が1つ空いたドーナツの表面の形（トーラス）の「種数」はいくつですか？

メビウスの帯の境界（へり）の数はいくつですか？

1本

正方形の展開図で、abāb̄という記号で表される閉曲面は何ですか？

クラインの壺

テープを半ひねりして輪を作る際、ひねりの回数が偶数回の場合にできる図形は、トポロジー的には何と同じですか？

シリンダー（円筒）

トポロジーにおいて、「コーヒーカップとドーナツは同じ形」と見なすときの「同じ」を意味する専門用語は何ですか？

同相

関数の連続性を厳密に定義するために使われる、2つのギリシャ文字を用いた論法は何ですか？

ε-δ論法

「距離の世界」から「位相の世界」へ移行する際に、捨て去られる最も重要な概念は何ですか？

距離

位相空間を定義するために、台集合に対して定められるものは何ですか？

開集合の公理

開集合が満たすべき性質（公理）として、間違っているものはどれですか？

有限個の開集合の和集合は開集合である（正しくは「任意個の」和集合）

位相空間XからYへの写像fが「同相写像」であるための条件に含まれないものはどれですか？

fは距離を保つ写像である

「開近傍」とは、どのように定義されますか？

点aを要素に持つ開集合

図形を連続的に変形させても変化しない性質を持つ量のことを何と呼びますか？

位相不変量

問題3-1で例として挙げられた、lim f(x) (x→0) が存在するが f(0) とは等しくならない関数の例として正しいものはどれですか？

f(x) = (x≠0のとき1, x=0のとき0)

この章でテトラちゃんが作ろうと決めた数学同人誌の名前は何ですか？

オイレリアンズ

球面上の2点を結ぶ最短コースとなる線は何ですか？

大円

球面幾何学における三角形の内角の和について、正しく述べられているのはどれですか？

常に180°より大きい

ユークリッド幾何学を体系化した『原論』で、長年にわたり他の公理から証明できるのではないかと疑われてきた公理は何ですか？

平行線公理

双曲幾何学における平行線の性質として正しいものはどれですか？

ある直線に対し、その直線外の1点を通る平行線は2本以上存在する

双曲幾何学のモデルとして紹介された、円盤の内部に特殊な距離を定義したモデルは何ですか？

ポアンカレ円板モデル

ポアンカレ円板モデルにおいて、「直線」に相当するものは何ですか？

円盤の直径と、円盤の縁に垂直に交わる円弧

ポアンカレ円板モデルにおいて、円盤の縁（円周）はどのように解釈されますか？

到達不可能な無限の彼方

空間の「距離の測り方」を一般的に定義する関数を何と呼びますか？

計量

ユークリッド幾何学、球面幾何学、双曲幾何学などを統一的に扱う、計量の定め方によって幾何学を一般化する枠組みを何と呼びますか？

リーマン幾何学

歴史上、ボヤイやロバチェフスキーよりも前に非ユークリッド幾何学を発見していたものの、発表しなかったとされる大数学者は誰ですか？

ガウス

この章で「4次元のサイコロ」を理解するために用いられた基本的な思考法は何ですか？

低次元からの類推

3次元の立方体の表面（2次元サイコロ面）は、何枚の正方形（2次元サイコロ体）を貼り合わせて作られますか？

6枚

8個

4次元の超立方体を3次元空間に投影して描いた図として、本文で示されたものはどれですか？

大きな立方体の内側に小さな立方体が入った入れ子構造の図

「有限で、果てがない」空間の性質として正しいものはどれですか？

空間は有限の広さだが、端（境界）がなく、どこまでも進める

「3次元球面」を構成する方法として、本文で説明されたものはどれですか？

2つのボール（3次元球体）の表面全体を貼り合わせる

ポアンカレ予想が扱う「n次元球面」のnの値はいくつですか？

n = 3

局所的に（その点の非常に近い範囲だけを見ると）n次元ユークリッド空間と同じに見える図形のことを、一般的に何と呼びますか？

n次元多様体

主人公の「僕」が、テトラちゃんとの会話で吐露した悩みは何ですか？

受験勉強に集中できず、自分の目標がちっぽけに感じること

数式 $x^2+y^2+z^2+w^2=1$ は、何次元の球面を表しますか？

3次元球面

図形を動かしても形が変わらないような操作（回転や裏返しなど）の集まりがなす代数的な構造を何と呼びますか？

群

トポロジーにおいて、図形を連続的に変形させても変わらない量のことを何と呼びますか？

位相不変量

基本群を構成する元となるものは何ですか？

空間内のループを同一視したもの（ホモトピー類）

2つのループが「ホモトピックである」とは、どのような状態を指しますか？

一方のループを空間内で連続的に変形させて他方のループに重ね合わせることができる

基本群における演算（掛け算）は、ループに対してどのような操作を行うことに相当しますか？

2つのループを基点でつなぐ

1次元球面（円周）の基本群は、どの群と同型ですか？

整数の加法群 Z

2次元球面（ボールの表面）の基本群は、どの群と同型ですか？

単位群 {e}

基本群が「単位群」であるとは、直感的にどのような空間であることを意味しますか？

空間内のどんなループも連続的に変形して一点に縮めることができる

ポアンカレ予想が主張している内容として、最も適切なものはどれですか？

基本群が単位群である3次元閉多様体は、3次元球面と同相である

この章の冒頭で、主人公が模擬試験で解いた問題のテーマは何でしたか？

回転行列と漸化式

微分方程式を解くことによって求めようとしているものは何ですか？

未知の関数

微分方程式の解のうち、任意定数などのパラメータを含んだ形で表される解を特に何と呼びますか？

一般解

微分方程式 $f'(x) = f(x)$ の一般解として正しいものはどれですか？（Cは任意定数）

f(x)=Cex

微分方程式 $f''(x) = -f(x)$ の一般解として正しいものはどれですか？（A, Bは任意定数）

f(x)=Acos(x)+Bsin(x)

バネの振動を記述する微分方程式 $mx''(t) = -Kx(t)$ を導出する際に用いられた2つの物理法則は何ですか？

ニュートンの運動方程式とフックの法則

テトラちゃんが、数式が持つ物理的な意味が式変形後も保たれている様子を表現した言葉は何ですか？

「生きた言葉」

ニュートンの冷却法則が述べている内容はどれですか？

温度変化の速度は、周囲との温度差に比例する

「放射性物質の崩壊」と「ニュートンの冷却法則」に共通していることは何ですか？

同じ形の微分方程式で記述できる

微分方程式 $x''(t) = -\omega^2 x(t)$ の解が三角関数で表されることから、この方程式が記述する運動は何であると分かりますか？

単振動

一般解 $x(t) = A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t)$ に含まれる任意定数AとBを決定するために必要な情報は何ですか？

時刻0における位置と、時刻0における速度

半径Rの球面上にある、3つの内角がすべて π/2 (90°) の球面三角形の面積はいくらですか？

πR2/2

半径R、内角がα, β, γの球面三角形の面積Sを表す公式として正しいものはどれですか？

S=R2(α+β+γ−π)

球面三角形の面積公式で、半径Rを無限大に近づける極限を考えると、どのような結果が得られますか？

内角の和が π (180°) になる

球面上の2つの大円で囲まれた三日月形の図形を、この章では何と呼んでいますか？

ルーン

空間の「曲がり具合」を表す指標として導入された量は何ですか？

ガウス曲率

ユークリッド幾何学（平面）におけるガウス曲率Kの値はいくつですか？

K = 0

ガウスが自ら「驚異の定理（Theorema Egregium）」と呼んだ定理の内容として、最も適切なものはどれですか？

ガウス曲率は、曲面を伸び縮みさせない限り不変である

曲面上の生物が、その曲面の外に出ることなく内部の測定（長さや角度）だけで知ることができる量のことを何と呼びますか？

内在的な量

円筒面のガウス曲率の値はいくつですか？

この章で、テトラちゃんがリサと意見の相違で悩んでいたことは何ですか？

同人誌「オイレリアンズ」に載せる内容の範囲

この章のタイトルにもなっている、数学の問題解決に必要とされる2つの力とは何と何ですか？

ひらめきと腕力

三角関数の積を和の形に直す公式を何と呼びますか？

積和公式

定積分 ∫−ππsin(mx)sin(nx)dx (m, nは異なる正の整数) の値はいくつですか？

関数を、三角関数（sinとcos）の無限級数で表す手法を何と呼びますか？

フーリエ展開

フーリエ展開における係数（フーリエ係数）を求めるために使われる主な計算は何ですか？

積分

関数 y=cos(x) のグラフの性質として正しいものはどれですか？

y軸対称（偶関数）である

ミルカさんが模試の問題を解く際に「ひらめき」として利用した、問題の背景にある数学理論は何でしたか？

フーリエ展開

∑k=1∞k21=6π2 という等式で知られる有名な問題は何ですか？

バーゼル問題

バーゼル問題を解決したことで有名な、この本の中で「先生」と呼ばれ尊敬されている数学者は誰ですか？

オイラー

正規分布の確率密度関数 f(x)=2πσ21exp(−2σ2(x−μ)2) のグラフの対称軸はどこですか？

x=μ

ポアンカレ予想が対象としているのは、何次元の閉多様体ですか？

3次元

基本群が単位群である

ポアンカレ予想を内包する、より一般的で壮大な予想は何ですか？

サーストン幾何化予想

サーストン幾何化予想を証明するためにリチャード・ハミルトンが導入した、多様体の形を滑らかに変形させていく方程式は何ですか？

リッチフロー方程式

ハミルトンのリッチフロー方程式が、アイデアの元とした物理学の方程式は何ですか？

フーリエの熱方程式

ハミルトンの研究方針「ハミルトンプログラム」で、多様体の変形途中に生じる特異点を取り除くために考案された手法は何ですか？

手術

ハミルトンプログラムを完成させ、サーストン幾何化予想を証明した数学者は誰ですか？

グリゴリー・ペレルマン

ペレルマンが証明論文を公開した場所はどこですか？

プレプリントサーバー「arXiv」

数学におけるノーベル賞とも言われ、40歳以下の数学者に贈られる最高の賞は何ですか？

フィールズ賞

リッチフロー方程式における「時刻t」は、物理学における「熱方程式」のどの要素に相当しますか？

時刻 t (パラメータt)

数学ガール ポアンカレ予想

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