位相幾何学から射影幾何学へ_3

50問 • 5ヶ月前

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問題一覧

構成法Iにおける射影平面の「点」の定義は何ですか。

体 K の元の3つ組 (x1,x2,x3) を、0でない定数倍の違いを無視して同一視したもの

同次座標 [x1:x2:x3] を用いたとき、点 [1:2:3] と同じ点を表す座標はどれですか。

[2:4:6]

構成法Iにおいて、点 [x1:x2:x3] が直線 [l1,l2,l3] 上にある条件は何ですか。

x1l1+x2l2+x3l3=0

実数体 R から構成した射影平面 RP2 は、第17話で学んだ実射影平面とどのような関係にありますか。

本質的に同じものである

構成法IIは、射影平面をどのように捉える方法ですか。

通常のユークリッド平面に「無限遠」の要素を付け加えたもの

構成法IIにおける点 (m) は、直感的には何を表していますか。

直線の傾き（に対応する無限遠点）

この章で示されたことは、一言で言うと何ですか。

代数的な体系である「体」から、幾何学的な体系である「射影平面」を具体的に構成できる

体 K が「非可換体」（積の交換法則 ab=ba が成り立たない）の場合、この章の構成法で射影平面は作れますか。

作れる（この章の証明は可換性を仮定していない）

構成法IIにおける直線 [∞] は、直感的には何に対応しますか。

無限遠直線

同次座標 [x1:x2:x3] で x1=0 の点は、非同次座標ではどのような点に対応しますか。

通常の平面の点 (x2/x1,x3/x1)

ある直線 l 上の点 x を、中心 s を通して別の直線 l′ 上の点 x′ に対応させる操作を何と呼びますか。

射影

射影幾何学における「射影」の操作は、直感的には何に似ていますか。

遠近法（パースペクティブ）

この章で定義された「6点図形」は、どのようにして作られますか。

ある四角形の6つの辺を1本の直線で切断してできる6つの交点

「6点図形」が持つ最も重要な性質は何ですか。

「6点図形である」という性質が、射影変換によって保たれる（射影不変性）

直線 l 上の点列と直線 l′ 上の点列が「配景的」であるとは、どういう意味ですか。

1回の射影操作で互いに移り合う関係にある

直線 l 上の点列と直線 l′ 上の点列が「射影的」であるとは、どういう意味ですか。

有限回の射影操作を繰り返すことで互いに移り合う関係

なぜ「6点図形」のような射影不変な性質を考えることが重要なのでしょうか。

射影幾何学が「射影で変わらない性質」を研究する学問だから

6点図形の双対（点と直線を入れ替えたもの）として定義されるものは何ですか。

6線図形

命題22.1が主張していることは何ですか。

2つの6点図形が5点まで一致していれば、残りの1点も必ず一致する

射影幾何学は、図形のどのような性質を無視しますか。

長さや角度といった計量的な性質

この章の主な目的は何ですか。

幾何学的な公理系（平面射影幾何）から、代数的な構造（体）を構成すること

直線上の点に和 a+b や積 ab を定義するために、どのような基本的な操作が用いられましたか。

射影と切断を用いた幾何学的な作図

体 K を構成するために、直線上にあらかじめ設定する必要がある特別な点は何ですか。

3点 (0, 1, ∞)

幾何学的に定義された演算が、体の公理（特に結合法則や分配法則）を満たすことを証明する際に、鍵となった幾何学的な公理・定理は何ですか。

デザルグの公理と6点図形の射影不変性

この方法で構成された体 K は、最初に選んだ直線や基準点（0, 1, ∞）の選び方にどう影響されますか。

選び方によらず、本質的に同じ構造の体（同型な体）ができる

点 a の加法の逆元（−a）を定義する作図には、どの点が不可欠ですか。

点 0 と点 ∞

点 a の乗法の逆元（a−1）を定義する作図には、どの3点が必要ですか。

0, 1, ∞

この章の結果が示唆する、幾何学と代数学の関係性とは何ですか。

幾何学の公理的な構造の中に、代数的な構造が内在している

射影平面上の直線から点 ∞ を除いた集合に、体の構造が入る、というのがこの章の主張ですが、点 ∞ はどのような役割を果たしていますか。

平行な直線の交点という概念を導入し、作図を可能にする

命題23.3「異なる3点 a,b,c を a',b',c' に移す射影が存在する」ことは、何を保証するために使われましたか。

構成された体が、直線や基準点の選び方によらないこと

この章の主題である定理20.6が主張していることは何ですか。

体の同型類と、平面射影幾何の同型類の間には、一対一の対応（全単射）が存在する

「体 K から作った射影幾何 KP から、再び体 K′ を作ると、K と K′ は同型になる」とは、どういう意味ですか。

幾何学的な操作をしても、元の代数構造は失われない

「射影幾何 P から作った体 K から、再び射影幾何 KP を作ると、P と KP は同型になる」とは、どういう意味ですか。

代数的な操作をしても、元の幾何構造は失われない

この一対一対応の証明において、鍵となった操作は何ですか。

射影幾何に「座標」を導入し、幾何学的な点や直線を代数的な数式で表現すること

射影幾何 P に座標を導入するために、最初に設定する必要があるものは何ですか。

独立な4点（座標の基準となる四角形）

この章の結果から、幾何学の問題をどのように解くことができるようになりますか。

幾何学的な問題を、対応する体の上の代数的な問題（座標計算）に翻訳して解くことができる

この対応関係が成り立つために、平面射影幾何が満たしているべき重要な公理は何でしたか。

デザルグの公理

この理論における「同型」という言葉は、何を意味しますか。

対象の基本的な構造（代数的なら演算、幾何的なら接続関係）が完全に保たれていること

この章で達成されたことは、数学のどのような思想を体現していますか。

一見無関係に見える異なる数学分野の間に、深いつながりを見出すという思想

ある平面射影幾何が、非可換な体（積の交換法則が成り立たない体）に対応しているとします。その幾何では、どのような定理が成り立ちませんか。（次章の内容ですが類推してください）

パップスの定理

「パップスの公理」は、対応する体のどのような性質と結びついていますか。

体が可換であること（積の交換法則が成り立つ）

ユークリッド幾何学における楕円、放物線、双曲線の違いは、射影幾何学ではどのように解釈されますか。

無限遠直線との交わり方の違いであり、射影幾何学的には本質的に同じ種類の曲線である

「パスカルの定理」は何に関する定理ですか。

2次曲線に内接する六角形

「ブリアンションの定理」は、パスカルの定理とどのような関係にありますか。

パスカルの定理の双対（点と直線を入れ替えたもの）である

2次曲線に内接する六角形の、向かい合う辺の3つの交点はどうなりますか。（パスカルの定理）

一直線上にある

2次曲線に外接する六角形の、向かい合う頂点を結ぶ3本の対角線はどうなりますか。（ブリアンションの定理）

1点で交わる

2次曲線 Σ と、その上にない点 P（極）が与えられたとき、それに対応する直線 p（極線）はどのように作図されますか。

P を通る直線が Σ と交わる2点での接線の交点の軌跡

射影幾何学をさらに限定し、ある2次曲線を不変に保つような射影変換だけを考えると、どのような幾何学が生まれますか。

非ユークリッド幾何学（楕円幾何や双曲線幾何）

デザルグの公理が成り立たない射影幾何は、どのような「数」の体系に対応しますか。

結合法則を満たさない代数系（例：ケーリー数体）

射影幾何学は、他の幾何学（ユークリッド幾何、非ユークリッド幾何など）とどのような関係にありますか。

他の多くの幾何学を、部分として内包する、より大きな統一的な枠組みである

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問題一覧

構成法Iにおける射影平面の「点」の定義は何ですか。

体 K の元の3つ組 (x1,x2,x3) を、0でない定数倍の違いを無視して同一視したもの

同次座標 [x1:x2:x3] を用いたとき、点 [1:2:3] と同じ点を表す座標はどれですか。

[2:4:6]

構成法Iにおいて、点 [x1:x2:x3] が直線 [l1,l2,l3] 上にある条件は何ですか。

x1l1+x2l2+x3l3=0

実数体 R から構成した射影平面 RP2 は、第17話で学んだ実射影平面とどのような関係にありますか。

本質的に同じものである

構成法IIは、射影平面をどのように捉える方法ですか。

通常のユークリッド平面に「無限遠」の要素を付け加えたもの

構成法IIにおける点 (m) は、直感的には何を表していますか。

直線の傾き（に対応する無限遠点）

この章で示されたことは、一言で言うと何ですか。

代数的な体系である「体」から、幾何学的な体系である「射影平面」を具体的に構成できる

体 K が「非可換体」（積の交換法則 ab=ba が成り立たない）の場合、この章の構成法で射影平面は作れますか。

作れる（この章の証明は可換性を仮定していない）

構成法IIにおける直線 [∞] は、直感的には何に対応しますか。

無限遠直線

同次座標 [x1:x2:x3] で x1=0 の点は、非同次座標ではどのような点に対応しますか。

通常の平面の点 (x2/x1,x3/x1)

ある直線 l 上の点 x を、中心 s を通して別の直線 l′ 上の点 x′ に対応させる操作を何と呼びますか。

射影

射影幾何学における「射影」の操作は、直感的には何に似ていますか。

遠近法（パースペクティブ）

この章で定義された「6点図形」は、どのようにして作られますか。

ある四角形の6つの辺を1本の直線で切断してできる6つの交点

「6点図形」が持つ最も重要な性質は何ですか。

「6点図形である」という性質が、射影変換によって保たれる（射影不変性）

直線 l 上の点列と直線 l′ 上の点列が「配景的」であるとは、どういう意味ですか。

1回の射影操作で互いに移り合う関係にある

直線 l 上の点列と直線 l′ 上の点列が「射影的」であるとは、どういう意味ですか。

有限回の射影操作を繰り返すことで互いに移り合う関係

なぜ「6点図形」のような射影不変な性質を考えることが重要なのでしょうか。

射影幾何学が「射影で変わらない性質」を研究する学問だから

6点図形の双対（点と直線を入れ替えたもの）として定義されるものは何ですか。

6線図形

命題22.1が主張していることは何ですか。

2つの6点図形が5点まで一致していれば、残りの1点も必ず一致する

射影幾何学は、図形のどのような性質を無視しますか。

長さや角度といった計量的な性質

この章の主な目的は何ですか。

幾何学的な公理系（平面射影幾何）から、代数的な構造（体）を構成すること

直線上の点に和 a+b や積 ab を定義するために、どのような基本的な操作が用いられましたか。

射影と切断を用いた幾何学的な作図

体 K を構成するために、直線上にあらかじめ設定する必要がある特別な点は何ですか。

3点 (0, 1, ∞)

幾何学的に定義された演算が、体の公理（特に結合法則や分配法則）を満たすことを証明する際に、鍵となった幾何学的な公理・定理は何ですか。

デザルグの公理と6点図形の射影不変性

この方法で構成された体 K は、最初に選んだ直線や基準点（0, 1, ∞）の選び方にどう影響されますか。

選び方によらず、本質的に同じ構造の体（同型な体）ができる

点 a の加法の逆元（−a）を定義する作図には、どの点が不可欠ですか。

点 0 と点 ∞

点 a の乗法の逆元（a−1）を定義する作図には、どの3点が必要ですか。

0, 1, ∞

この章の結果が示唆する、幾何学と代数学の関係性とは何ですか。

幾何学の公理的な構造の中に、代数的な構造が内在している

射影平面上の直線から点 ∞ を除いた集合に、体の構造が入る、というのがこの章の主張ですが、点 ∞ はどのような役割を果たしていますか。

平行な直線の交点という概念を導入し、作図を可能にする

命題23.3「異なる3点 a,b,c を a',b',c' に移す射影が存在する」ことは、何を保証するために使われましたか。

構成された体が、直線や基準点の選び方によらないこと

この章の主題である定理20.6が主張していることは何ですか。

体の同型類と、平面射影幾何の同型類の間には、一対一の対応（全単射）が存在する

「体 K から作った射影幾何 KP から、再び体 K′ を作ると、K と K′ は同型になる」とは、どういう意味ですか。

幾何学的な操作をしても、元の代数構造は失われない

「射影幾何 P から作った体 K から、再び射影幾何 KP を作ると、P と KP は同型になる」とは、どういう意味ですか。

代数的な操作をしても、元の幾何構造は失われない

この一対一対応の証明において、鍵となった操作は何ですか。

射影幾何に「座標」を導入し、幾何学的な点や直線を代数的な数式で表現すること

射影幾何 P に座標を導入するために、最初に設定する必要があるものは何ですか。

独立な4点（座標の基準となる四角形）

この章の結果から、幾何学の問題をどのように解くことができるようになりますか。

幾何学的な問題を、対応する体の上の代数的な問題（座標計算）に翻訳して解くことができる

この対応関係が成り立つために、平面射影幾何が満たしているべき重要な公理は何でしたか。

デザルグの公理

この理論における「同型」という言葉は、何を意味しますか。

対象の基本的な構造（代数的なら演算、幾何的なら接続関係）が完全に保たれていること

この章で達成されたことは、数学のどのような思想を体現していますか。

一見無関係に見える異なる数学分野の間に、深いつながりを見出すという思想

パップスの定理

「パップスの公理」は、対応する体のどのような性質と結びついていますか。

体が可換であること（積の交換法則が成り立つ）

ユークリッド幾何学における楕円、放物線、双曲線の違いは、射影幾何学ではどのように解釈されますか。

無限遠直線との交わり方の違いであり、射影幾何学的には本質的に同じ種類の曲線である

「パスカルの定理」は何に関する定理ですか。

2次曲線に内接する六角形

「ブリアンションの定理」は、パスカルの定理とどのような関係にありますか。

パスカルの定理の双対（点と直線を入れ替えたもの）である

2次曲線に内接する六角形の、向かい合う辺の3つの交点はどうなりますか。（パスカルの定理）

一直線上にある

2次曲線に外接する六角形の、向かい合う頂点を結ぶ3本の対角線はどうなりますか。（ブリアンションの定理）

1点で交わる

2次曲線 Σ と、その上にない点 P（極）が与えられたとき、それに対応する直線 p（極線）はどのように作図されますか。

P を通る直線が Σ と交わる2点での接線の交点の軌跡

射影幾何学をさらに限定し、ある2次曲線を不変に保つような射影変換だけを考えると、どのような幾何学が生まれますか。

非ユークリッド幾何学（楕円幾何や双曲線幾何）

デザルグの公理が成り立たない射影幾何は、どのような「数」の体系に対応しますか。

結合法則を満たさない代数系（例：ケーリー数体）

射影幾何学は、他の幾何学（ユークリッド幾何、非ユークリッド幾何など）とどのような関係にありますか。

他の多くの幾何学を、部分として内包する、より大きな統一的な枠組みである