数学のかんどころ19 射影幾何学の考え方

70問 • 1ヶ月前

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問題一覧

平面上の直線 3x + 4y = 5 の法線ベクトルとして正しいものはどれか？

(3, 4)

2つのベクトル u = (2, 1), v = (3, 5) が作る平行四辺形の面積はいくらか？

3つの空間ベクトル a, b, c が一次従属である（同一平面上にある）場合、行列式 det(a, b, c) の値はどうなるか？

空間内の点 (1, 2, 3) を通り、ベクトル n = (4, 5, 6) に垂直な平面の方程式はどれか？

4x + 5y + 6z = 32

空間内の2点 p = (1, 1, 1), q = (3, 4, 5) を通る直線の方向ベクトルとして正しいものはどれか？

(2, 3, 4)

2つのベクトル p, q の外積 p x q に関して正しくない記述はどれか？

p x q = q x p である。

2次の正方行列 A の行列式が det(A) = 0 であるとき、幾何学的にどのような状態を表すか？

2つの列ベクトルが平行である。

空間内の2つの平面 x + y + z = 1 と x - y + z = 1 の交線について、その方向ベクトルはどちらのベクトルと平行か？

(1, 0, -1)

3点 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) を通る平面の方程式はどれか？

x + y + z = 1

直線の方程式 (x-1)/2 = (y-2)/3 = (z-3)/4 が通る点と方向ベクトルとして正しい組み合わせはどれか？

点 (1, 2, 3), 方向 (2, 3, 4)

平面上のデザルグの定理を3次元空間に持ち上げて証明する際に利用される射影はどれか？

平行射影

点射影において、スクリーンに投影されない点の集合はどのような図形をなすか？

点光源を通り、スクリーンと平行な平面

射影幾何学の視点に立ったとき、楕円、放物線、双曲線の関係について最も適切な記述はどれか？

これらはすべて円の点射影であり、本質的に同じ図形である。

通常平面における2本の平行な直線は、無限遠点を加えた世界ではどのように解釈されるか？

ただ一つの無限遠点で交わる。

点射影によって円を投影したとき、その像が「放物線」になるのは、元の円と「射影不可能な平面」がどのような位置関係にあるときか？

1点で接するとき

デザルグの定理で、対応する辺ABとA'B'が平行である場合、その交点Pはどこにあると解釈されるか？

無限遠点

3つの円の共通外接線の交点が一直線上にあることを証明する際、3つの円を3次元空間では何に置き換えて考えたか？

3つの球

パップスの定理の証明で、2つの交点 P1, P2 を無限遠点に飛ばすというテクニックを使った。これは何を意味するか？

A1B2 と A2B1、および B1C2 と B2C1 をそれぞれ平行にする。

次のうち、射影によって変化してしまう可能性が高い量はどれか？

三角形の内角の和が180度であるという性質

無限遠点を導入する最大の利点は何か？

平行線のような例外的な場合分けをなくし、定理を一般化・簡潔化できること。

実射影平面 P²(R) の数学的な定義として最も適切なものはどれか？

3次元空間 R³ における原点を通る直線の集まり

斉次座標 [x:y:z] において、点 [2:4:6] と同じ点を表す座標はどれか？

[4:8:12]

射影平面 P²(R) における無限遠直線の方程式はどれか？

z = 0

射影変換によって、楕円はどのような図形に変換されうるか？

楕円、放物線、双曲線

射影平面において、相異なる2本の直線はどのように交わるか？

必ず1点で交わる。

x² + y² = 0 という斉次方程式が表す射影平面上の図形は何か？

ただ一点 [0:0:1]

射影変換を代数的に表現するものは何か？

3次の正則行列

次のうち、射影変換によって保存されない性質はどれか？

2直線が平行であること

射影幾何学の観点から、双曲線 x² - y² = z² は何と同一視できるか？

楕円

射影平面上の直線 ax + by + cz = 0 に対応する「点」の斉次座標は何か？

[a:b:c]

射影直線 P¹(R) 上の相異なる3点は、一次分数変換によってどの3点に写すことができるか？

0, 1, ∞

射影直線上の4点 u, v, w, z の位置関係を決定する射影不変量は何か？

複比 cr(u,v, w,z)

射影平面 P²(R) において、一般の位置にある（どの3点も共線でない）点の組で、射影変換によって互いに移り合うのは最大何点か？

4点

5つの一般の位置にある点 [a], [b], [c], [u], [v] が与えられたとき、これらを射影変換で [1:0:0], [0:1:0], [0:0:1], [1:1:1] とあと1点に移した。最後の1点の座標を決める不変量は何か？

2次の複比

デザルグの定理の証明に応用できる考え方はどれか？

一般の位置にある4点は正方形の頂点に射影変換できる。

複比が -1 となる4点を特に何と呼ぶか？

調和点列

一点 P を通る直線の集まり（直線束）は、どのような図形と同一視できるか？

射影直線

メネラウスの定理 (BP/PC) * (CQ/QA) * (AR/RB) = 1 における辺の比の積は、射影幾何学では何を用いて表現されるか？

複比の積

チェバの定理が主張する「3直線が一点で交わる」という条件は、複比の積がいくらになることに対応するか？

-1

射影平面上の一般の位置にある5点について正しい記述はどれか？

これらはただ一つの非退化二次曲線を決定する。

次のうち、アフィン変換 f(x) = Ax + p の定義に含まれないものはどれか？

y = 1/x のような反比例の変換

アフィン変換が必ず保存する性質はどれか？

2直線が平行であるという関係

アフィン変換を射影幾何学の観点から特徴づける記述として正しいものはどれか？

無限遠直線を無限遠直線に移す射影変換

アフィン変換によって、楕円はどのような図形に変換されうるか？

楕円のみ

「三角形の中線は一点で交わり、その交点は中線を2:1に内分する」という定理は、どの幾何学の定理と見なすのが最も適切か？

アフィン幾何学

アフィン変換によって、任意の三角形はどのような図形に変換できるか？

正三角形

アフィン幾何学において、二次曲線は何種類に分類されるか？

3種類（楕円、放物線、双曲線）

アフィン変換が線分の内分比を保つ直接の理由となる性質は何か？

平行関係を保つこと

すべての無限遠点を固定する（動かさない）アフィン変換は何か？

平行移動のみ

任意の平行四辺形をアフィン変換で写すことができる標準的な図形は何か？

正方形

パスカルの定理が成り立つ図形はどれか？

任意の円錐曲線

射影幾何学の双対原理によれば、「3点が一直線上にある（共線）」という命題に対応する双対な命題は何か？

3直線が一点で交わる（共点）

ブリアンションの定理は、どの定理の双対定理か？

パスカルの定理

円の外にある点Pを「極」とするとき、その「極線」はどのように定義されるか？

Pから円に引いた2本の接線の、接点を結んだ直線

点 Q が点 P の極線上にあるとき、点 P と点 Q の極線の関係はどうなるか？

P は Q の極線上にある

円錐曲線に関して共役な2点 P, Q と、直線 PQ が円錐曲線と交わる2点 R, S が作る調和点列の複比 cr(P,Q; R,S) の値はいくらか？

-1

パスカルの定理は、円錐曲線に「内接」する六角形に関する定理である。これに対し、ブリアンションの定理はどのような六角形に関する定理か？

外接する六角形

円錐曲線の方程式が t(x)Ax = 0 のとき、点 p を極とする極線の方程式はどのように表されるか？

t(x)Ap = 0

パスカルの定理において、六角形の頂点のうち2点が一致するように極限を考えると、辺は接線に退化する。この考え方で導かれる定理はどれか？

ジュルゴンヌ線の定理

双対原理が成り立つ数学的な背景には、何と何の一対一対応があるか？

極と極線

空間内のねじれの位置にある2本の直線 l, l' の両方に直交する直線 m の方向ベクトルは、l, l' の方向ベクトル u, v を用いてどのように表されるか？

u x v (外積)

3つのベクトル a, b, c の三重積 det(a, b, c) は、内積と外積を用いてどのように書けるか？

a・(b x c)

空間内の一点 r と直線 L を含む平面の方程式を立てる際、平面の法線ベクトルはどのように計算できるか？（p, q は L 上の異なる2点とする）

(p - r) x (q - r)

直円錐 x² + y² = z² を平面 z = c（cは定数）で切ったときの断面の形は何か？

円

直円錐を平面で切断して「放物線」が得られるのは、切断面と円錐の母線がどのような関係にあるときか？

平行

ベクトルの外積の公式 a x (b x c) を内積を用いて展開した式はどれか？

(a・c)b - (a・b)c

ねじれの位置にある2直線 l, l' が交わるための必要十分条件は、l上の点p、方向uとl'上の点q、方向vを用いて det(q-p, u, v) = 0 となることである。この行列式の値が0であることの幾何学的な意味は何か？

3つのベクトルが作る平行六面体の体積が0である

定理2.5の証明で、円錐曲線を何かの「切り口」として考えたか？

直円錐

空間内の一点 r を通り、2直線 L1, L2 に交わる直線 m は、ある2つの平面の交線として求められる。その2つの平面とは何か？

rとL1を含む平面、およびrとL2を含む平面

直円錐 x² + y² = z² を平面で切ったとき、断面が「双曲線」になるのは、切断面の傾きがどうなるときか？

円錐の母線より傾きが急なとき

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3つの空間ベクトル a, b, c が一次従属である（同一平面上にある）場合、行列式 det(a, b, c) の値はどうなるか？

空間内の点 (1, 2, 3) を通り、ベクトル n = (4, 5, 6) に垂直な平面の方程式はどれか？

4x + 5y + 6z = 32

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(2, 3, 4)

2つのベクトル p, q の外積 p x q に関して正しくない記述はどれか？

p x q = q x p である。

2次の正方行列 A の行列式が det(A) = 0 であるとき、幾何学的にどのような状態を表すか？

2つの列ベクトルが平行である。

空間内の2つの平面 x + y + z = 1 と x - y + z = 1 の交線について、その方向ベクトルはどちらのベクトルと平行か？

(1, 0, -1)

3点 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) を通る平面の方程式はどれか？

x + y + z = 1

直線の方程式 (x-1)/2 = (y-2)/3 = (z-3)/4 が通る点と方向ベクトルとして正しい組み合わせはどれか？

点 (1, 2, 3), 方向 (2, 3, 4)

平面上のデザルグの定理を3次元空間に持ち上げて証明する際に利用される射影はどれか？

平行射影

点射影において、スクリーンに投影されない点の集合はどのような図形をなすか？

点光源を通り、スクリーンと平行な平面

射影幾何学の視点に立ったとき、楕円、放物線、双曲線の関係について最も適切な記述はどれか？

これらはすべて円の点射影であり、本質的に同じ図形である。

通常平面における2本の平行な直線は、無限遠点を加えた世界ではどのように解釈されるか？

ただ一つの無限遠点で交わる。

点射影によって円を投影したとき、その像が「放物線」になるのは、元の円と「射影不可能な平面」がどのような位置関係にあるときか？

1点で接するとき

デザルグの定理で、対応する辺ABとA'B'が平行である場合、その交点Pはどこにあると解釈されるか？

無限遠点

3つの円の共通外接線の交点が一直線上にあることを証明する際、3つの円を3次元空間では何に置き換えて考えたか？

3つの球

パップスの定理の証明で、2つの交点 P1, P2 を無限遠点に飛ばすというテクニックを使った。これは何を意味するか？

A1B2 と A2B1、および B1C2 と B2C1 をそれぞれ平行にする。

次のうち、射影によって変化してしまう可能性が高い量はどれか？

三角形の内角の和が180度であるという性質

無限遠点を導入する最大の利点は何か？

平行線のような例外的な場合分けをなくし、定理を一般化・簡潔化できること。

実射影平面 P²(R) の数学的な定義として最も適切なものはどれか？

3次元空間 R³ における原点を通る直線の集まり

斉次座標 [x:y:z] において、点 [2:4:6] と同じ点を表す座標はどれか？

[4:8:12]

射影平面 P²(R) における無限遠直線の方程式はどれか？

z = 0

射影変換によって、楕円はどのような図形に変換されうるか？

楕円、放物線、双曲線

射影平面において、相異なる2本の直線はどのように交わるか？

必ず1点で交わる。

x² + y² = 0 という斉次方程式が表す射影平面上の図形は何か？

ただ一点 [0:0:1]

射影変換を代数的に表現するものは何か？

3次の正則行列

次のうち、射影変換によって保存されない性質はどれか？

2直線が平行であること

射影幾何学の観点から、双曲線 x² - y² = z² は何と同一視できるか？

楕円

射影平面上の直線 ax + by + cz = 0 に対応する「点」の斉次座標は何か？

[a:b:c]

射影直線 P¹(R) 上の相異なる3点は、一次分数変換によってどの3点に写すことができるか？

0, 1, ∞

射影直線上の4点 u, v, w, z の位置関係を決定する射影不変量は何か？

複比 cr(u,v, w,z)

射影平面 P²(R) において、一般の位置にある（どの3点も共線でない）点の組で、射影変換によって互いに移り合うのは最大何点か？

4点

2次の複比

デザルグの定理の証明に応用できる考え方はどれか？

一般の位置にある4点は正方形の頂点に射影変換できる。

複比が -1 となる4点を特に何と呼ぶか？

調和点列

一点 P を通る直線の集まり（直線束）は、どのような図形と同一視できるか？

射影直線

メネラウスの定理 (BP/PC) * (CQ/QA) * (AR/RB) = 1 における辺の比の積は、射影幾何学では何を用いて表現されるか？

複比の積

チェバの定理が主張する「3直線が一点で交わる」という条件は、複比の積がいくらになることに対応するか？

-1

射影平面上の一般の位置にある5点について正しい記述はどれか？

これらはただ一つの非退化二次曲線を決定する。

次のうち、アフィン変換 f(x) = Ax + p の定義に含まれないものはどれか？

y = 1/x のような反比例の変換

アフィン変換が必ず保存する性質はどれか？

2直線が平行であるという関係

アフィン変換を射影幾何学の観点から特徴づける記述として正しいものはどれか？

無限遠直線を無限遠直線に移す射影変換

アフィン変換によって、楕円はどのような図形に変換されうるか？

楕円のみ

「三角形の中線は一点で交わり、その交点は中線を2:1に内分する」という定理は、どの幾何学の定理と見なすのが最も適切か？

アフィン幾何学

アフィン変換によって、任意の三角形はどのような図形に変換できるか？

正三角形

アフィン幾何学において、二次曲線は何種類に分類されるか？

3種類（楕円、放物線、双曲線）

アフィン変換が線分の内分比を保つ直接の理由となる性質は何か？

平行関係を保つこと

すべての無限遠点を固定する（動かさない）アフィン変換は何か？

平行移動のみ

任意の平行四辺形をアフィン変換で写すことができる標準的な図形は何か？

正方形

パスカルの定理が成り立つ図形はどれか？

任意の円錐曲線

射影幾何学の双対原理によれば、「3点が一直線上にある（共線）」という命題に対応する双対な命題は何か？

3直線が一点で交わる（共点）

ブリアンションの定理は、どの定理の双対定理か？

パスカルの定理

円の外にある点Pを「極」とするとき、その「極線」はどのように定義されるか？

Pから円に引いた2本の接線の、接点を結んだ直線

点 Q が点 P の極線上にあるとき、点 P と点 Q の極線の関係はどうなるか？

P は Q の極線上にある

円錐曲線に関して共役な2点 P, Q と、直線 PQ が円錐曲線と交わる2点 R, S が作る調和点列の複比 cr(P,Q; R,S) の値はいくらか？

-1

パスカルの定理は、円錐曲線に「内接」する六角形に関する定理である。これに対し、ブリアンションの定理はどのような六角形に関する定理か？

外接する六角形

円錐曲線の方程式が t(x)Ax = 0 のとき、点 p を極とする極線の方程式はどのように表されるか？

t(x)Ap = 0

パスカルの定理において、六角形の頂点のうち2点が一致するように極限を考えると、辺は接線に退化する。この考え方で導かれる定理はどれか？

ジュルゴンヌ線の定理

双対原理が成り立つ数学的な背景には、何と何の一対一対応があるか？

極と極線

空間内のねじれの位置にある2本の直線 l, l' の両方に直交する直線 m の方向ベクトルは、l, l' の方向ベクトル u, v を用いてどのように表されるか？

u x v (外積)

3つのベクトル a, b, c の三重積 det(a, b, c) は、内積と外積を用いてどのように書けるか？

a・(b x c)

空間内の一点 r と直線 L を含む平面の方程式を立てる際、平面の法線ベクトルはどのように計算できるか？（p, q は L 上の異なる2点とする）

(p - r) x (q - r)

直円錐 x² + y² = z² を平面 z = c（cは定数）で切ったときの断面の形は何か？

円

直円錐を平面で切断して「放物線」が得られるのは、切断面と円錐の母線がどのような関係にあるときか？

平行

ベクトルの外積の公式 a x (b x c) を内積を用いて展開した式はどれか？

(a・c)b - (a・b)c

3つのベクトルが作る平行六面体の体積が0である

定理2.5の証明で、円錐曲線を何かの「切り口」として考えたか？

直円錐

空間内の一点 r を通り、2直線 L1, L2 に交わる直線 m は、ある2つの平面の交線として求められる。その2つの平面とは何か？

rとL1を含む平面、およびrとL2を含む平面

直円錐 x² + y² = z² を平面で切ったとき、断面が「双曲線」になるのは、切断面の傾きがどうなるときか？

円錐の母線より傾きが急なとき