まず、命題が真であるとは、条件 p,q を満たすものの集合 P,Q について、命題 p→q が真であるとき、 ___________ が成り立っているということである。また、この部分集合 P,Q を考える以上、もちろんこれらを包む全体集合があり、P,Q を含む全体集合 U を考えることが重要である。

つまり、これらの命題とそれぞれの条件の意味は次のようにまとめられる。 この十分条件、必要条件の意味は、P,Q を含む全体集合 U を考え、全体集合 U の要素 x が集合 P に属するには Q に属することが ___________ で、Q に属するには集合 P に属していれば ___________ である。だから、p が十分条件で、q が必要条件といわれる所以である。

次に、身近な例で説明する。 【問題】 ひたちなか市民であることは、茨城県民であるための ___________ 条件である。 ここで、ひたちなか市民の集合 P、茨城県民の集合を Q、そして PとQ を含む全体集合 ,たとえば日本人の集合 U を考える。そして日本人の集合 U から1人の日本人を考え、この日本人がひたちなか市民といわれるには茨城県民の集合に属することが ___________ で、茨城県民であるにはひたちなか市民の集合に属していれば ___________ という意味である。また、「茨城県民 Q 」あああ「ひたちなか市民 P 」であるので、逆は成り立たない。よって、答えは十分条件となる。

必要十分条件（同値）の本質的な意味 次に必要十分条件（同値）について、本質的な意味を説明する。定義は次の通りである。 2つの命題「p→q」「q→p」がともに真であるとき、___________ といえる。また、pは qであるための ___________ である。また、qはpであるための必要十分条件でもある。p↔q であるとき、pとqは＿＿＿＿であるともいう。このとき、すなわち Pのすべての元が Q に属し（P⊆Q）、かつ、Q のすべての元が P に属している（Q⊆P）ので、条件 p,q を満たすものの集合 P,Q について、P=Q が成り立つ。

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グラフ Gにおいて、隣接するどの 2 頂点も異なる色になるように着色することをグラフの __________ (vertex coloring) という。G の彩色において必要な色の最小数を __________ (chromatic number) といい、__________ で表す。また、k 色で彩色できるとき、G は __________ (k-colorable) であるという。

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グラフ G において、隣接するどの 2 辺も異なる色になるように着色することをグラフの __________ (edge coloring) という。G の辺彩色において必要な色の最小数を __________ (edge chromatic number) といい、__________ で表す。また、k 色で辺彩色できるとき、G は __________ (k-edge colorable) であるという。