射影空間の幾何学

40問 • 5ヶ月前

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問題一覧

体の「標数」として、ありえないものは次のうちどれか？

「任意の定数ではない1変数多項式がその体の中に根を持つ」という性質を持つ体を何と呼ぶか？

代数的閉体

n次元の線形空間Vに対し、その双対空間V*の次元はいくつか？

線形写像 f: V → W に関して、常に成り立つ次元についての等式はどれか？

dim V = dim Ker(f) + dim Im(f)

2次形式が非退化であるための条件として、誤っているものはどれか？

任意のベクトル v に対して Q(v) > 0 である。

基礎体が複素数体であるとき、2次形式を分類する不変量は何か？

階数

シルベスターの慣性法則が適用されるのは、どの体上の2次形式か？

実数体

ヒルベルトの基底定理が主張している内容はどれか？

多項式環の任意のイデアルは、有限個の元で生成される。

線形空間Vの2つのベクトルv, wの外積 v ∧ w に関する正しい性質はどれか？

v ∧ w = -w ∧ v

線形空間Vの元 v_1, ..., v_r が一次独立であることの必要十分条件はどれか？

v_1 ∧ ... ∧ v_r ≠ 0

2次元アフィン平面における2本の異なる直線の関係として、ありえないものはどれか？

2点で交わる

2次元射影平面における2本の異なる直線の関係として、正しいものはどれか？

1点で交わる

複素射影直線 P^1_C は、位相的にはどの図形と同じ形（同相）か？

2次元球面 S^2

射影空間の点を [x_0: x_1: ...: x_n] のように表す座標系を何と呼ぶか？

同次座標系

射影平面 P^2 上の非退化2次曲線と本質的に同じ形（同型）の図形はどれか？

射影直線 P^1

射影平面 P^2 上に、どの3点も同一直線上にないような点が5つ与えられたとき、それらの点を通る非退化2次曲線はいくつ存在するか？

ちょうど1個

射影変換（射影空間の自己同型写像）によって不変に保たれる、射影直線上の4点の関係を表す量は何か？

複比

パスカルの定理が主張している内容はどれか？

2次曲線に内接する6角形の3組の対辺の交点は、同一直線上にある。

n次元射影空間を構成する元となっているものは何か？

n+1次元線形空間の1次元部分空間

3次元射影空間 P^3 内の非退化2次曲面は、2つの射影直線の直積 P^1 × P^1 と同型であることが知られている。この曲面上にある直線について正しい記述はどれか？

曲面上の各点を通る直線がちょうど2本存在する。

代数幾何学で用いられる、多項式の零点集合を閉集合と定義する位相を何と呼ぶか？

ザリスキー位相

射影的代数多様体 X の次元 dim X と、そのアフィン錘体 CX の次元 dim CX の関係として正しいものはどれか？

dim CX = dim X + 1

滑らかな3次曲線が持つ変曲点の最大個数はいくつか？

9個

ベズーの定理によれば、共通成分を持たない m 次曲線と n 次曲線の交点の個数は、重複度を込めて最大でいくつになるか？

m * n

射影直線 P^1 を m 次のベロネーゼ写像で P^m に埋め込んだ像を何と呼ぶか？

正規有理曲線

P^1 × P^1 をセグレ写像で P^3 に埋め込むと、どのような図形になるか？

非退化2次曲面

n次元線形空間内のr次元線形部分空間全体がなす多様体を何と呼ぶか？

グラスマン多様体

グラスマン多様体 G(r, n) の次元はいくつか？

r * (n - r)

方程式 x_0 * x_1^2 = x_2^3 で表される3次曲線の特異点は何と呼ばれるか？

尖点 (cusp)

ある代数的集合 X が、X とは異なる2つの真の閉部分集合 Y, Z の和 X = Y ∪ Z として書けないとき、X は何であるというか？

既約

多項式の比で定義され、定義域が多様体全体とは限らない写像を何と呼ぶか？

有理写像

2つの代数多様体 X と Y の間に、逆写像も有理写像であるような有理写像 f: X → Y が存在するとき、X と Y はどのような関係にあるというか？

双有理同値

滑らかな平面3次曲線と本質的に同じ（同型な）代数曲線を特に何と呼ぶか？

楕円曲線

楕円曲線上の2点 P, Q の和 P+Q を定義する際、幾何学的にどのような操作を行うか？

P と Q を結ぶ直線と曲線との3番目の交点を利用する。

楕円曲線の加法において、単位元（零元）O はどのように選ばれるか？

曲線上の任意の1点

ポンスレの定理が成り立つための条件として、n角形が満たすべき性質は何か？

1つの2次曲線に内接し、もう1つの2次曲線に外接する。

2次変換 σ([x_0: x_1: x_2]) = [x_1*x_2: x_0*x_2: x_0*x_1] は P^2 から P^2 への写像であるが、[1:0:0] などの点では [0:0:0] となり値が定まらない。このような点を何と呼ぶか？

不確定点

P^n からアフィン空間 A^m への正則写像は、どのような写像に限られるか？

定数写像

射影空間 P^n は、n 変数の有理式体と双有理同値な多様体と双有理同値である。その多様体は何か？

A^n

1次元射影空間 P^1 間の双有理写像について、正しい記述はどれか？

必ず同型写像になる。

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線形写像 f: V → W に関して、常に成り立つ次元についての等式はどれか？

dim V = dim Ker(f) + dim Im(f)

2次形式が非退化であるための条件として、誤っているものはどれか？

任意のベクトル v に対して Q(v) > 0 である。

基礎体が複素数体であるとき、2次形式を分類する不変量は何か？

階数

シルベスターの慣性法則が適用されるのは、どの体上の2次形式か？

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ヒルベルトの基底定理が主張している内容はどれか？

多項式環の任意のイデアルは、有限個の元で生成される。

線形空間Vの2つのベクトルv, wの外積 v ∧ w に関する正しい性質はどれか？

v ∧ w = -w ∧ v

線形空間Vの元 v_1, ..., v_r が一次独立であることの必要十分条件はどれか？

v_1 ∧ ... ∧ v_r ≠ 0

2次元アフィン平面における2本の異なる直線の関係として、ありえないものはどれか？

2点で交わる

2次元射影平面における2本の異なる直線の関係として、正しいものはどれか？

1点で交わる

複素射影直線 P^1_C は、位相的にはどの図形と同じ形（同相）か？

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射影空間の点を [x_0: x_1: ...: x_n] のように表す座標系を何と呼ぶか？

同次座標系

射影平面 P^2 上の非退化2次曲線と本質的に同じ形（同型）の図形はどれか？

射影直線 P^1

射影平面 P^2 上に、どの3点も同一直線上にないような点が5つ与えられたとき、それらの点を通る非退化2次曲線はいくつ存在するか？

ちょうど1個

射影変換（射影空間の自己同型写像）によって不変に保たれる、射影直線上の4点の関係を表す量は何か？

複比

パスカルの定理が主張している内容はどれか？

2次曲線に内接する6角形の3組の対辺の交点は、同一直線上にある。

n次元射影空間を構成する元となっているものは何か？

n+1次元線形空間の1次元部分空間

曲面上の各点を通る直線がちょうど2本存在する。

代数幾何学で用いられる、多項式の零点集合を閉集合と定義する位相を何と呼ぶか？

ザリスキー位相

射影的代数多様体 X の次元 dim X と、そのアフィン錘体 CX の次元 dim CX の関係として正しいものはどれか？

dim CX = dim X + 1

滑らかな3次曲線が持つ変曲点の最大個数はいくつか？

9個

ベズーの定理によれば、共通成分を持たない m 次曲線と n 次曲線の交点の個数は、重複度を込めて最大でいくつになるか？

m * n

射影直線 P^1 を m 次のベロネーゼ写像で P^m に埋め込んだ像を何と呼ぶか？

正規有理曲線

P^1 × P^1 をセグレ写像で P^3 に埋め込むと、どのような図形になるか？

非退化2次曲面

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2つの代数多様体 X と Y の間に、逆写像も有理写像であるような有理写像 f: X → Y が存在するとき、X と Y はどのような関係にあるというか？

双有理同値

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1つの2次曲線に内接し、もう1つの2次曲線に外接する。

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射影空間 P^n は、n 変数の有理式体と双有理同値な多様体と双有理同値である。その多様体は何か？

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1次元射影空間 P^1 間の双有理写像について、正しい記述はどれか？

必ず同型写像になる。