射影幾何学

60問 • 5ヶ月前

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問題一覧

第1章において、射影幾何学を構築するための基礎として導入された代数構造は何ですか？

束 (Lattice)

束の理論において、幾何学的な「点」に対応する概念は何ですか？

原子元 (Atom)

ベクトル空間における次元定理 dim(U+W) + dim(U∩W) = dim(U) + dim(W) に対応する、束の重要な性質は何ですか？

モジュラ律 (Modular law)

束における2つの要素 a, b の「結び a ∨ b」は、幾何学的にどのような操作に対応しますか？

2つの図形を含む最小の図形を求める操作

束の要素 a に対して、a ∧ x = 0 かつ a ∨ x = 1 を満たす要素 x のことを何と呼びますか？（ここで 0 は最小元、1 は最大元）

補元 (Complement)

この章で最終的に示された、射影幾何学の代数的なモデルとなる束の名称として、最も適切なものはどれですか？

高さ有限の単純可補モジュラ束

公理的な射影幾何学において、「異なる2つの直線は、高々1点で交わる」という性質は、束のどの操作の性質に基づいていますか？

交わり ∧

束の「高さ」という概念は、幾何学における何に対応しますか？

次元

この章のアプローチの最大の特徴は何ですか？

図や直感に頼らず、代数的な公理から幾何学を構築すること

射影幾何学が「単純 (simple)」な束でモデル化されるとき、それは幾何学的に何を意味しますか？

空間が連結で、複数の独立した空間に分離できないこと

ある点からの投影によって、直線上の点を別の直線上の点へ対応させる基本的な写像を何と呼びますか？

配景写像

直線上に3つの基準点 0, 1, ∞ を定め、幾何学的な作図によって加法と乗法を定義して作られる数の体系を何と呼びますか？

Staudt代数

射影幾何において「デザルグの定理」が成り立つことは、その幾何学の係数体がどのような性質を持つことと等価ですか？

（可換とは限らない）体であること

射影幾何において「パップスの定理」が成り立つことは、その幾何学の係数体がどのような性質を持つことと等価ですか？

可換体であること

n次元射影空間において、座標系を定めるために基準として置かれる n+2 個の点の組を何と呼びますか？

標構 (Frame)

射影座標で用いられる (x₀: x₁: ... : xₙ) のような座標表現を何と呼びますか？

斉次座標（同次座標）

斉次座標 (x₀: x₁: x₂) と (λx₀: λx₁: λx₂) （ただし λ≠0）は、射影平面上で何を意味しますか？

全く同じ点を意味する

デザルグの定理が成り立たない射影平面は存在しますか？

存在するが、非常に特殊な場合に限られる（非デザルグ平面と呼ばれる）

この章で確立された最も重要な考え方は次のうちどれですか？

幾何学の公理的な正しさ（デザルグ、パップス）と、代数的な性質（体の構造、可換性）が深く結びついていること

パップスの定理が成り立つ射影平面では、デザルグの定理はどうなりますか？

必ず成り立つ（パップスの定理はデザルグの定理より強い主張であるため）

この章の解析的なアプローチにおいて、n次元射影空間 Pⁿ の「点」は何に対応しますか？

n+1次元ベクトル空間の原点を通る1次元部分空間

解析的なアプローチにおいて、射影変換は何によって引き起こされますか？

ベクトル空間における正則な線型変換（可逆行列）

射影変換で値が変わらない、同一直線上の4点の関係を示す重要な量は何ですか？

複比（非調和比）

射影平面における二次曲線（円錐曲線）は、3次元ベクトル空間において何で定義されますか？

二次形式が0になる点の集合

ある二次曲線に関して、点Pに対して直線lが、点Qに対して直線mが対応する、というように点と直線が1対1に対応する関係を何と呼びますか？

双対性（極・極線関係）

「プリュッカー座標」は何を座標付けするために導入されましたか？

3次元空間内の直線全体の集合

プリュッカー座標を用いると、3次元空間の直線全体の集合は、どのような空間の点として表現されますか？

5次元射影空間内の二次超曲面

2次元射影平面 P² は、何次元のベクトル空間から構成されますか？

3次元

射影空間 P³ における「平面」は、土台となる4次元ベクトル空間 V における何に対応しますか？

3次元部分空間

この章で示された解析的なアプローチの最大の利点は何ですか？

線型代数の強力な計算手法を直接利用できること

ある変換群 G が作用する空間 X で、任意の点 p を任意の点 q へ G の元を使って移すことができるとき、X を何と呼びますか？

等質空間 (Homogeneous space)

n次元ベクトル空間 V に含まれる、すべての k次元部分空間の集合からなる多様体を何と呼びますか？

グラスマン多様体 G(k, n)

3次元射影空間 P³ は、あるグラスマン多様体 G(k, n) と同一視できます。その k と n の値はそれぞれ何ですか？

k=1, n=4

v₁ ∧ v₂ = -v₂ ∧ v₁ という性質を持つ「外積 ∧」を扱う代数系を何と呼びますか？

グラスマン代数（外積代数）

グラスマン多様体を高次元の射影空間に埋め込む写像を、特に何と呼びますか？

プリュッカー埋入

グラスマン多様体 G(k, n) の座標を与えるために使われる、外積の成分からなる座標を一般に何と呼びますか？

プリュッカー座標

グラスマン多様体 G(2, 4) は、幾何学的に何の集合を表していますか？

4次元空間内の平面全体の集合

等質空間 X は、群 G と、ある点 p を動かさない G の部分群（安定化部分群） H を用いて、どのように表現されますか？

G / H （商空間）

グラスマン多様体 G(k, n) 内部の、基準となる部分空間（旗）との交わり方に着目して定義される、重要な部分多様体は何ですか？

シューベルト多様体

この章で導入されたグラスマン多様体という考え方の最大の意義は何ですか？

「点」だけでなく「直線」や「平面」などの図形そのものの集まりを、一つの新しい幾何学空間として扱えるようにしたこと

射影幾何に長さや角度といった「計量」を導入するために、無限遠超平面上に固定する特別な二次曲面を何と呼びますか？

絶対形

2点 P, Q を結ぶ直線が絶対形と交わる点を I, J とするとき、P, Q 間の距離は何を用いて定義されますか？

複比 (P, Q, I, J)

絶対形が「実在する二次曲面」（例えば円や楕円）である場合に生まれる非ユークリッド幾何は何ですか？

双曲幾何

我々のよく知る「ユークリッド幾何」は、絶対形がどのような性質を持つ場合に相当しますか？

退化した二次曲面

「どの直線も閉じており（円周のようになっている）、平行線は存在しない」という特徴を持つ幾何学は何ですか？

楕円幾何

この付録で解説されている、幾何学を変換群の不変量として捉える統一的な視点を提唱したプログラムは何と呼ばれますか？

クラインのエルランゲン・プログラム

双曲幾何の世界では、「ある直線外の1点を通る、その直線に交わらない直線（平行線）」は何本引けますか？

無数に存在する

このモデルにおいて、「直交する」という概念はどのように定義されますか？

2つの点が絶対形に関して共役であること（点と、その点を通る直線の極がもう一方の点を通る関係）

射影幾何における「無限遠超平面」の役割は何ですか？

平行線の交わる場所を提供し、絶対形を置く舞台となる

この付録が示す最も重要なアイデアは何ですか？

ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何は、射影幾何という共通の枠組みの中で統一的に理解できること

グラスマン多様体を、ユークリッド空間と同相な単純なパーツに分解する手法を何と呼びますか？

胞体分割（セル分割）

グラスマン多様体の胞体分割で用いられる、基本的な構成要素（セル）となる部分多様体は何ですか？

シューベルト胞体

多様体の「穴」の数や次元ごとの連結性を調べるための、トポロジーにおける強力な代数的道具は何ですか？

コホモロジー

コホモロジー環における「基底」は、グラスマン多様体の幾何学的な何によって与えられますか？

シューベルト多様体（またはその双対類）

コホモロジーに定義される掛け算の操作を何と呼びますか？

カップ積

ベクトル束の「ねじれ具合」を表現するコホモロジー類を総称して何と呼びますか？

特性類

複素ベクトル束の特性類として代表的なものは何ですか？

チャーン類

グラスマン多様体 G(k, n) を、より大きな多様体を小さな多様体で「束ねた」ものと見なす構造を何と呼びますか？

ファイバー束

シューベルト胞体 eᵢ と eⱼ のカップ積 eᵢ ∪ eⱼ は、幾何学的に何を反映していますか？

対応するシューベルト多様体の交わり方

この付録で解説されている内容は、主に数学のどの分野に属しますか？

代数トポロジー（位相幾何学）

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原子元 (Atom)

ベクトル空間における次元定理 dim(U+W) + dim(U∩W) = dim(U) + dim(W) に対応する、束の重要な性質は何ですか？

モジュラ律 (Modular law)

束における2つの要素 a, b の「結び a ∨ b」は、幾何学的にどのような操作に対応しますか？

2つの図形を含む最小の図形を求める操作

束の要素 a に対して、a ∧ x = 0 かつ a ∨ x = 1 を満たす要素 x のことを何と呼びますか？（ここで 0 は最小元、1 は最大元）

補元 (Complement)

この章で最終的に示された、射影幾何学の代数的なモデルとなる束の名称として、最も適切なものはどれですか？

高さ有限の単純可補モジュラ束

公理的な射影幾何学において、「異なる2つの直線は、高々1点で交わる」という性質は、束のどの操作の性質に基づいていますか？

交わり ∧

束の「高さ」という概念は、幾何学における何に対応しますか？

次元

この章のアプローチの最大の特徴は何ですか？

図や直感に頼らず、代数的な公理から幾何学を構築すること

射影幾何学が「単純 (simple)」な束でモデル化されるとき、それは幾何学的に何を意味しますか？

空間が連結で、複数の独立した空間に分離できないこと

ある点からの投影によって、直線上の点を別の直線上の点へ対応させる基本的な写像を何と呼びますか？

配景写像

直線上に3つの基準点 0, 1, ∞ を定め、幾何学的な作図によって加法と乗法を定義して作られる数の体系を何と呼びますか？

Staudt代数

射影幾何において「デザルグの定理」が成り立つことは、その幾何学の係数体がどのような性質を持つことと等価ですか？

（可換とは限らない）体であること

射影幾何において「パップスの定理」が成り立つことは、その幾何学の係数体がどのような性質を持つことと等価ですか？

可換体であること

n次元射影空間において、座標系を定めるために基準として置かれる n+2 個の点の組を何と呼びますか？

標構 (Frame)

射影座標で用いられる (x₀: x₁: ... : xₙ) のような座標表現を何と呼びますか？

斉次座標（同次座標）

斉次座標 (x₀: x₁: x₂) と (λx₀: λx₁: λx₂) （ただし λ≠0）は、射影平面上で何を意味しますか？

全く同じ点を意味する

デザルグの定理が成り立たない射影平面は存在しますか？

存在するが、非常に特殊な場合に限られる（非デザルグ平面と呼ばれる）

この章で確立された最も重要な考え方は次のうちどれですか？

幾何学の公理的な正しさ（デザルグ、パップス）と、代数的な性質（体の構造、可換性）が深く結びついていること

パップスの定理が成り立つ射影平面では、デザルグの定理はどうなりますか？

必ず成り立つ（パップスの定理はデザルグの定理より強い主張であるため）

この章の解析的なアプローチにおいて、n次元射影空間 Pⁿ の「点」は何に対応しますか？

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解析的なアプローチにおいて、射影変換は何によって引き起こされますか？

ベクトル空間における正則な線型変換（可逆行列）

射影変換で値が変わらない、同一直線上の4点の関係を示す重要な量は何ですか？

複比（非調和比）

射影平面における二次曲線（円錐曲線）は、3次元ベクトル空間において何で定義されますか？

二次形式が0になる点の集合

ある二次曲線に関して、点Pに対して直線lが、点Qに対して直線mが対応する、というように点と直線が1対1に対応する関係を何と呼びますか？

双対性（極・極線関係）

「プリュッカー座標」は何を座標付けするために導入されましたか？

3次元空間内の直線全体の集合

プリュッカー座標を用いると、3次元空間の直線全体の集合は、どのような空間の点として表現されますか？

5次元射影空間内の二次超曲面

2次元射影平面 P² は、何次元のベクトル空間から構成されますか？

3次元

射影空間 P³ における「平面」は、土台となる4次元ベクトル空間 V における何に対応しますか？

3次元部分空間

この章で示された解析的なアプローチの最大の利点は何ですか？

線型代数の強力な計算手法を直接利用できること

ある変換群 G が作用する空間 X で、任意の点 p を任意の点 q へ G の元を使って移すことができるとき、X を何と呼びますか？

等質空間 (Homogeneous space)

n次元ベクトル空間 V に含まれる、すべての k次元部分空間の集合からなる多様体を何と呼びますか？

グラスマン多様体 G(k, n)

3次元射影空間 P³ は、あるグラスマン多様体 G(k, n) と同一視できます。その k と n の値はそれぞれ何ですか？

k=1, n=4

v₁ ∧ v₂ = -v₂ ∧ v₁ という性質を持つ「外積 ∧」を扱う代数系を何と呼びますか？

グラスマン代数（外積代数）

グラスマン多様体を高次元の射影空間に埋め込む写像を、特に何と呼びますか？

プリュッカー埋入

グラスマン多様体 G(k, n) の座標を与えるために使われる、外積の成分からなる座標を一般に何と呼びますか？

プリュッカー座標

グラスマン多様体 G(2, 4) は、幾何学的に何の集合を表していますか？

4次元空間内の平面全体の集合

等質空間 X は、群 G と、ある点 p を動かさない G の部分群（安定化部分群） H を用いて、どのように表現されますか？

G / H （商空間）

グラスマン多様体 G(k, n) 内部の、基準となる部分空間（旗）との交わり方に着目して定義される、重要な部分多様体は何ですか？

シューベルト多様体

この章で導入されたグラスマン多様体という考え方の最大の意義は何ですか？

「点」だけでなく「直線」や「平面」などの図形そのものの集まりを、一つの新しい幾何学空間として扱えるようにしたこと

射影幾何に長さや角度といった「計量」を導入するために、無限遠超平面上に固定する特別な二次曲面を何と呼びますか？

絶対形

2点 P, Q を結ぶ直線が絶対形と交わる点を I, J とするとき、P, Q 間の距離は何を用いて定義されますか？

複比 (P, Q, I, J)

絶対形が「実在する二次曲面」（例えば円や楕円）である場合に生まれる非ユークリッド幾何は何ですか？

双曲幾何

我々のよく知る「ユークリッド幾何」は、絶対形がどのような性質を持つ場合に相当しますか？

退化した二次曲面

「どの直線も閉じており（円周のようになっている）、平行線は存在しない」という特徴を持つ幾何学は何ですか？

楕円幾何

この付録で解説されている、幾何学を変換群の不変量として捉える統一的な視点を提唱したプログラムは何と呼ばれますか？

クラインのエルランゲン・プログラム

双曲幾何の世界では、「ある直線外の1点を通る、その直線に交わらない直線（平行線）」は何本引けますか？

無数に存在する

このモデルにおいて、「直交する」という概念はどのように定義されますか？

2つの点が絶対形に関して共役であること（点と、その点を通る直線の極がもう一方の点を通る関係）

射影幾何における「無限遠超平面」の役割は何ですか？

平行線の交わる場所を提供し、絶対形を置く舞台となる

この付録が示す最も重要なアイデアは何ですか？

ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何は、射影幾何という共通の枠組みの中で統一的に理解できること

グラスマン多様体を、ユークリッド空間と同相な単純なパーツに分解する手法を何と呼びますか？

胞体分割（セル分割）

グラスマン多様体の胞体分割で用いられる、基本的な構成要素（セル）となる部分多様体は何ですか？

シューベルト胞体

多様体の「穴」の数や次元ごとの連結性を調べるための、トポロジーにおける強力な代数的道具は何ですか？

コホモロジー

コホモロジー環における「基底」は、グラスマン多様体の幾何学的な何によって与えられますか？

シューベルト多様体（またはその双対類）

コホモロジーに定義される掛け算の操作を何と呼びますか？

カップ積

ベクトル束の「ねじれ具合」を表現するコホモロジー類を総称して何と呼びますか？

特性類

複素ベクトル束の特性類として代表的なものは何ですか？

チャーン類

グラスマン多様体 G(k, n) を、より大きな多様体を小さな多様体で「束ねた」ものと見なす構造を何と呼びますか？

ファイバー束

シューベルト胞体 eᵢ と eⱼ のカップ積 eᵢ ∪ eⱼ は、幾何学的に何を反映していますか？

対応するシューベルト多様体の交わり方

この付録で解説されている内容は、主に数学のどの分野に属しますか？

代数トポロジー（位相幾何学）