位相幾何学から射影幾何学へ_2

100問 • 5ヶ月前

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問題一覧

「もしAならばBである」という形式の、条件を含む判断を何と呼ぶか？

仮言判断

「(大前提)もし雨が降るならば、地面は濡れる。(小前提)雨が降った。(結論)ゆえに、地面は濡れた」という推理の形式は何か？

構成的仮言三段論法（肯定式）

「(大前提)もし努力すれば、成功する。(小前提)成功しなかった。(結論)ゆえに、努力しなかった」という推理の形式は何か？

破壊的仮言三段論法（否定式）

「もしAならばBである」という仮言判断において、「A」の部分を何と呼ぶか？

前件

「もしAならばBである」という仮言判断において、「B」の部分を何と呼ぶか？

後件

「(大前提)もし合理化が進めば、失業者が増える。(小前提)失業者が増えている。(結論)ゆえに、合理化が進んでいるに違いない」という推理が犯している誤謬は何か？

後件肯定の誤謬

「(大前提)もし努力すれば、成功する。(小前提)彼は努力しなかった。(結論)ゆえに、成功しない」という推理が犯している誤謬は何か？

前件否定の誤謬

大前提、小前提、結論のすべてが仮言判断で構成されている三段論法を何と呼ぶか？

純粋仮言三段論法

純粋仮言三段論法「(大前提)もしCならばBである。(小前提)もしAならばCである」から導かれる妥当な結論は何か？

もしAならばBである

ベン図で「もしPならばQである」という仮言判断を表現する場合、それはどのような意味の図になるか？

「Pであり、かつQでない」という領域が存在しない（斜線）図

「AかBである」という形式の、選択肢を含む判断を何と呼ぶか？

選言判断

伝統的論理学において、選言判断の選択肢（選言肢）は、基本的にどのような関係にあると想定されるか？

互いに両立しない（排反的）

「(大前提)犯人は東京か大阪にいる。(小前提)犯人は東京にはいない。(結論)ゆえに、犯人は大阪にいる」という推理の形式は何か？

混合選言三段論法（否定肯定式）

選言三段論法が成立しない（妥当でない）場合として、最も典型的なものはどれか？

提示された選択肢がすべてを尽くしていない、または互いに排反的でない場合

複数の仮言判断と一つの選言判断を組み合わせて結論を導く、複雑な形式の推理を特に何と呼ぶか？

両刀論法（ジレンマ）

両刀論法（ジレンマ）において、小前提はどの種類の判断か？

選言判断

「(大前提)もしAならばCであり、もしBならばCである。(小前提)AかBである。(結論)ゆえに、Cである」という形式の両刀論法は、結論が一つのため、何と呼ばれるか？

単純構成的両刀論法

「(大前提)もしAならばCであり、もしBならばDである。(小前提)AかBである。(結論)ゆえに、CかDである」という形式の両刀論法は、結論が選択肢のため、何と呼ばれるか？

複合構成的両刀論法

両刀論法の別名として、本書で紹介されているものは何か？

仮言選言三段論法

「もし良心的ならば罪を認める。もし賢明ならば罪に気づく。しかし、罪を認めないか気づかないかのどちらかだ。ゆえに、良心的でないか賢明でないかのどちらかだ」という推理は、両刀論法のどの形式か？

複合破壊的両刀論法

「ホモトピー同値」とは、どのような図形の関係を指しますか。

図形を連続的に変形（伸縮や押しつぶしを含む）して互いに移り合える関係

次のうち、1点とホモトピー同値な図形はどれですか。

中身の詰まった円板（ディスク）

アルファベットの「P」は、どの図形とホモトピー同値ですか。

円周

円柱の側面（シリンダー）は、どの図形とホモトピー同値ですか。

円周

「同相」と「ホモトピー同値」の関係について、正しい記述はどれですか。

同相ならば必ずホモトピー同値である

次のうち、ホモトピー同値でないペアはどれですか。

円周と球面

アルファベットの「B」は、どの図形とホモトピー同値ですか。

8の字

ホモトピー同値の考え方では、図形のどのような特徴が無視されますか。

押しつぶせる部分（中身が詰まっている部分や突き出た部分）

中身の詰まったコーヒーカップ（取っ手付き）は、どの図形とホモトピー同値ですか。

円周

2つの連続写像 f と g が「ホモトープ」であるとは、直感的にどのような状態ですか。

f を連続的に変形させて g にできる状態

「ホモトピー不変量」とは、どのような性質を指しますか。

ホモトピー同値な図形の間で保たれる性質

次のうち、ホモトピー不変量であるものはどれですか。

オイラー数

円周 S1 と球面 S2 がホモトピー同値でないことを示すための根拠は何ですか。

オイラー数が異なるから (χ(S1)=0, χ(S2)=2)

コンパクト性はホモトピー不変量ですか。

ホモトピー不変量ではない

R2（平面）と R3（空間）が同相でないことを証明する際、鍵となった議論は何ですか。

それぞれから1点を取り除いた図形が、ホモトピー不変量であるオイラー数が異なるため、ホモトピー同値になりえないこと。

ホモトピー不変量の考え方を用いると、図形のオイラー数をどのように計算できますか。

図形をホモトピー同値な、より単純な図形に変形してから計算できる

円板 D2 のオイラー数が1であることを、ホモトピーの考え方を使って説明するとどうなりますか。

円板は1点とホモトピー同値であり、1点のオイラー数は1だから

位相不変量とホモトピー不変量の関係について、正しい記述はどれですか。

ホモトピー不変量ならば、必ず位相不変量である

R2−{0}（原点を取り除いた平面）は、どの図形とホモトピー同値ですか。

円周 S1

R3−{0}（原点を取り除いた空間）は、どの図形とホモトピー同値ですか。

球面 S2

曲面が「方向付け可能」であることの直感的な意味は何ですか。

曲面の「表」と「裏」が一貫して区別できること

次のうち、方向付け不可能な曲面の代表例はどれですか。

メビウスの帯

この章で紹介された、曲面の方向付け可能性を判定する方法はどれですか。

曲面を三角形分割し、すべての三角形に一貫した向き（矢印）を付けられるか調べる

球面 S2 は方向付け可能ですか。

方向付け可能である

円柱の側面とメビウスの帯が同相でないことを示すための、この章での根拠は何ですか。

方向付け可能性が異なるから（円柱は可能、メビウスの帯は不可能）

3次元空間内の曲面において、方向付け可能性は何と関連していますか。

曲面の各点に、連続的に向きのついた法線ベクトルを立てられるかどうか

方向付け可能性は、どのような不変量ですか。

位相不変量

トーラス（ドーナツの表面）は方向付け可能ですか。

方向付け可能である

メビウスの帯を一周すると、向きが反転してしまうのはなぜですか。

帯に180度のねじれが1回入っているから

Kleinの壺（クラインのびん）は、表裏の区別がない図形として知られています。このことから、Kleinの壺の方向付け可能性について何が推測できますか。

方向付け不可能である

集合の要素をグループ分けするための「同値関係」が満たすべき3つの条件に含まれないものはどれですか。

交換律 (a∼b=b∼a)

線分 I=[0,1] の両端の点 0 と 1 を同一視して（0∼1）得られる等化図形は何ですか。

円周

正方形の向かい合う一組の辺を、向きをそろえて貼り合わせると、どのような図形ができますか。

円柱の側面

正方形の向かい合う一組の辺を、向きを逆にして（ひねって）貼り合わせると、どのような図形ができますか。

メビウスの帯

円板（ディスク）の境界である円周上のすべての点を、1点に「潰す」という同一視を行うと、どのような図形と同相なものができますか。

球面

「等化」という操作は、位相幾何学においてどのような役割を果たしますか。

既存の図形から新しい図形を系統的に構成する

実数全体 R において、x∼y を「x−y が整数である」と定義します。この同値関係によって得られる等化図形は何ですか。

円周 S1

平面 R2 において、(x,y)∼(x′,y′) を「x−x′ と y−y′ が共に整数である」と定義します。この同値関係によって得られる等化図形は何ですか。

トーラス S1×S1

3次元空間内では実現できない（自分自身と交わってしまう）が、等化図形としては定義できる図形の例として挙げられているものはどれですか。

クラインの壺

ある図形 X の部分集合 A を1点に潰してできる等化図形を、記号でどのように表しますか。

X/A

実射影空間 RPn の定義として、正しくないものはどれですか。

Rn+1−{0} 内のベクトルを、向きが同じもの同士で同一視した図形

射影直線 RP1 は、どの図形と同相ですか。

円周 S1

射影平面 RP2 の性質として、正しいものはどれですか。

方向付け不可能な曲面である

射影平面 RP2 のオイラー数はいくつか。

射影平面 RP2 は、どのような図形の貼り合わせとして構成できますか。

メビウスの帯の境界（1つの円周）に、円板を貼り合わせる

n+1次元空間 Rn+1 における原点を通る直線の「傾き」を考えることは、RPn のどの定義と最も関連が深いですか。

ベクトルの定数倍による同一視

RP2 を胞体分割すると、RP2=e0∪e1∪e2 となります。これは、RP2 がどのような構造を持つことを示唆していますか。

RP2=(点)∪(直線)∪(平面)

ユークリッド平面 R2 に「無限遠直線」と呼ばれる特別な直線を付け加えたものは、何と見なせますか。

射影平面 RP2

RPn の次元はいくつか。

n 次元

射影空間が幾何学で重要な理由の一つは何ですか。

位相幾何学と、次章で学ぶ射影幾何学の両方で中心的な役割を果たすから

「Grassmann多様体 Gm,n」とは、どのようなものの集まりですか。

m次元空間内の n 次元の部分ベクトル空間（原点を通るn次元平面）全体の集まり

平面上の曲線 C の各点 P における「接線」の傾きを考えることは、曲線 C からどの空間へのGauss写像を考えることに対応しますか。

射影直線 RP1

3次元空間内の曲面 S の各点における「接平面」を考えることは、曲面 S からどの空間へのGauss写像を考えることに対応しますか。

G3,2（R3 内の平面全体の空間）

Gauss写像を調べることの主な目的は何ですか。

図形の「曲がり具合」という局所的な情報を、別の空間への写像として大域的に捉えるため

射影空間 RPn は、あるGrassmann多様体と見なすことができます。それはどれですか。

Gn+1,1

微分幾何学において、曲線や曲面を研究する際に接線や接平面を考えるのはなぜですか。

曲がった対象を、各点の近傍で扱いやすい線形的な対象（直線や平面）で近似するため

Grassmann多様体 Gm,n の次元はいくつですか。（本文では触れられていませんが、類推してください）

n(m−n)

Grassmann多様体は、どのような分野で重要な役割を果たしますか。

位相幾何学や微分幾何学

3次元空間内の曲線 C のGauss写像の行き先はどの空間ですか。

射影平面 RP2

R3 内の原点を通る「直線」全体の集合は、どのGrassmann多様体ですか。

G3,1

「リー群（Lie群）」とは、どのような構造を持つ対象ですか。

群と可微分多様体の両方の構造を併せ持ち、演算が滑らかである

リー群の「極分解」の定理 (G≅K×Rm) が示す重要な帰結は何ですか。

任意のリー群は、そのコンパクト部分群とホモトピー同値である

「直交群 O(n)」とは、どのような変換の集まりですか。

n次元空間の原点を保ち、距離を保つ線形変換（回転や鏡映）全体の集まり

R∗=R−{0}（0でない実数全体）が積に関してなすリー群のコンパクト部分群 K は何ですか。

{1,−1} (これは S0 と同相)

C∗=C−{0}（0でない複素数全体）が積に関してなすリー群は、どの図形とホモトピー同値ですか。

円周 S1

2次元の回転群 SO(2) は、どの図形と同相ですか。

円周 S1

2次元の直交群 O(2) は、どのような図形と同相ですか。

2つの交わらない円周の和集合 (S1∪S1)

O(n) の中で、行列式が1になるものだけを集めた部分群を何と呼びますか。

特殊直交群（または回転群）SO(n)

リー群の理論は、数学や物理学において何を記述するために用いられますか。

連続的な対称性

リー群の位相的性質を調べる上で、なぜコンパクト部分群が重要になるのですか。

極分解により、リー群全体がコンパクト部分群とホモトピー同値になるため、問題を単純化できるから

平面射影幾何の公理として、ユークリッド幾何学と最も大きく異なる点は何ですか。

異なる2直線は必ず1点で交わること（平行線が存在しない）

平面射影幾何における「相対性（双対性）の原理」とは何ですか。

ある定理の「点」と「直線」という単語を入れ替えても、再び真の定理になるということ

「デザルグの公理」は、何に関する公理ですか。

2つの三角形の頂点と辺の交点の関係

公理2「異なる2直線は、ただ1点で交わる」の双対な命題は何ですか。

異なる2点は、ただ1本の直線を定める

この章で定義された「平面射影幾何」は、何を基礎として構築されていますか。

いくつかの未定義用語（点、直線）と、それらの関係を定める公理

「体（field）」とは、どのような数学的対象ですか。

加減乗除の四則演算が定義された代数的な体系

デザルグの公理が重要な理由は何ですか。

幾何学的な性質と、後で導入される「体」という代数構造を結びつける鍵となるから

クラインのエルランゲン・プログラムの視点に立つと、射影幾何学は何を研究する学問と言えますか。

射影変換で不変な性質

平面射影幾何において、「直線」とは何と見なされますか。

公理系における一つの未定義な要素

100

この章の最終的な目標として提示されていることは何ですか。

射影幾何の体系と、体の体系の間に一対一の対応があることを示すこと

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「もしAならばBである」という形式の、条件を含む判断を何と呼ぶか？

仮言判断

「(大前提)もし雨が降るならば、地面は濡れる。(小前提)雨が降った。(結論)ゆえに、地面は濡れた」という推理の形式は何か？

構成的仮言三段論法（肯定式）

「(大前提)もし努力すれば、成功する。(小前提)成功しなかった。(結論)ゆえに、努力しなかった」という推理の形式は何か？

破壊的仮言三段論法（否定式）

「もしAならばBである」という仮言判断において、「A」の部分を何と呼ぶか？

前件

「もしAならばBである」という仮言判断において、「B」の部分を何と呼ぶか？

後件

後件肯定の誤謬

「(大前提)もし努力すれば、成功する。(小前提)彼は努力しなかった。(結論)ゆえに、成功しない」という推理が犯している誤謬は何か？

前件否定の誤謬

大前提、小前提、結論のすべてが仮言判断で構成されている三段論法を何と呼ぶか？

純粋仮言三段論法

純粋仮言三段論法「(大前提)もしCならばBである。(小前提)もしAならばCである」から導かれる妥当な結論は何か？

もしAならばBである

ベン図で「もしPならばQである」という仮言判断を表現する場合、それはどのような意味の図になるか？

「Pであり、かつQでない」という領域が存在しない（斜線）図

「AかBである」という形式の、選択肢を含む判断を何と呼ぶか？

選言判断

伝統的論理学において、選言判断の選択肢（選言肢）は、基本的にどのような関係にあると想定されるか？

互いに両立しない（排反的）

「(大前提)犯人は東京か大阪にいる。(小前提)犯人は東京にはいない。(結論)ゆえに、犯人は大阪にいる」という推理の形式は何か？

混合選言三段論法（否定肯定式）

選言三段論法が成立しない（妥当でない）場合として、最も典型的なものはどれか？

提示された選択肢がすべてを尽くしていない、または互いに排反的でない場合

複数の仮言判断と一つの選言判断を組み合わせて結論を導く、複雑な形式の推理を特に何と呼ぶか？

両刀論法（ジレンマ）

両刀論法（ジレンマ）において、小前提はどの種類の判断か？

選言判断

単純構成的両刀論法

複合構成的両刀論法

両刀論法の別名として、本書で紹介されているものは何か？

仮言選言三段論法

複合破壊的両刀論法

「ホモトピー同値」とは、どのような図形の関係を指しますか。

図形を連続的に変形（伸縮や押しつぶしを含む）して互いに移り合える関係

次のうち、1点とホモトピー同値な図形はどれですか。

中身の詰まった円板（ディスク）

アルファベットの「P」は、どの図形とホモトピー同値ですか。

円周

円柱の側面（シリンダー）は、どの図形とホモトピー同値ですか。

円周

「同相」と「ホモトピー同値」の関係について、正しい記述はどれですか。

同相ならば必ずホモトピー同値である

次のうち、ホモトピー同値でないペアはどれですか。

円周と球面

アルファベットの「B」は、どの図形とホモトピー同値ですか。

8の字

ホモトピー同値の考え方では、図形のどのような特徴が無視されますか。

押しつぶせる部分（中身が詰まっている部分や突き出た部分）

中身の詰まったコーヒーカップ（取っ手付き）は、どの図形とホモトピー同値ですか。

円周

2つの連続写像 f と g が「ホモトープ」であるとは、直感的にどのような状態ですか。

f を連続的に変形させて g にできる状態

「ホモトピー不変量」とは、どのような性質を指しますか。

ホモトピー同値な図形の間で保たれる性質

次のうち、ホモトピー不変量であるものはどれですか。

オイラー数

円周 S1 と球面 S2 がホモトピー同値でないことを示すための根拠は何ですか。

オイラー数が異なるから (χ(S1)=0, χ(S2)=2)

コンパクト性はホモトピー不変量ですか。

ホモトピー不変量ではない

R2（平面）と R3（空間）が同相でないことを証明する際、鍵となった議論は何ですか。

それぞれから1点を取り除いた図形が、ホモトピー不変量であるオイラー数が異なるため、ホモトピー同値になりえないこと。

ホモトピー不変量の考え方を用いると、図形のオイラー数をどのように計算できますか。

図形をホモトピー同値な、より単純な図形に変形してから計算できる

円板 D2 のオイラー数が1であることを、ホモトピーの考え方を使って説明するとどうなりますか。

円板は1点とホモトピー同値であり、1点のオイラー数は1だから

位相不変量とホモトピー不変量の関係について、正しい記述はどれですか。

ホモトピー不変量ならば、必ず位相不変量である

R2−{0}（原点を取り除いた平面）は、どの図形とホモトピー同値ですか。

円周 S1

R3−{0}（原点を取り除いた空間）は、どの図形とホモトピー同値ですか。

球面 S2

曲面が「方向付け可能」であることの直感的な意味は何ですか。

曲面の「表」と「裏」が一貫して区別できること

次のうち、方向付け不可能な曲面の代表例はどれですか。

メビウスの帯

この章で紹介された、曲面の方向付け可能性を判定する方法はどれですか。

曲面を三角形分割し、すべての三角形に一貫した向き（矢印）を付けられるか調べる

球面 S2 は方向付け可能ですか。

方向付け可能である

円柱の側面とメビウスの帯が同相でないことを示すための、この章での根拠は何ですか。

方向付け可能性が異なるから（円柱は可能、メビウスの帯は不可能）

3次元空間内の曲面において、方向付け可能性は何と関連していますか。

曲面の各点に、連続的に向きのついた法線ベクトルを立てられるかどうか

方向付け可能性は、どのような不変量ですか。

位相不変量

トーラス（ドーナツの表面）は方向付け可能ですか。

方向付け可能である

メビウスの帯を一周すると、向きが反転してしまうのはなぜですか。

帯に180度のねじれが1回入っているから

方向付け不可能である

集合の要素をグループ分けするための「同値関係」が満たすべき3つの条件に含まれないものはどれですか。

交換律 (a∼b=b∼a)

線分 I=[0,1] の両端の点 0 と 1 を同一視して（0∼1）得られる等化図形は何ですか。

円周

正方形の向かい合う一組の辺を、向きをそろえて貼り合わせると、どのような図形ができますか。

円柱の側面

正方形の向かい合う一組の辺を、向きを逆にして（ひねって）貼り合わせると、どのような図形ができますか。

メビウスの帯

円板（ディスク）の境界である円周上のすべての点を、1点に「潰す」という同一視を行うと、どのような図形と同相なものができますか。

球面

「等化」という操作は、位相幾何学においてどのような役割を果たしますか。

既存の図形から新しい図形を系統的に構成する

実数全体 R において、x∼y を「x−y が整数である」と定義します。この同値関係によって得られる等化図形は何ですか。

円周 S1

平面 R2 において、(x,y)∼(x′,y′) を「x−x′ と y−y′ が共に整数である」と定義します。この同値関係によって得られる等化図形は何ですか。

トーラス S1×S1

3次元空間内では実現できない（自分自身と交わってしまう）が、等化図形としては定義できる図形の例として挙げられているものはどれですか。

クラインの壺

ある図形 X の部分集合 A を1点に潰してできる等化図形を、記号でどのように表しますか。

X/A

実射影空間 RPn の定義として、正しくないものはどれですか。

Rn+1−{0} 内のベクトルを、向きが同じもの同士で同一視した図形

射影直線 RP1 は、どの図形と同相ですか。

円周 S1

射影平面 RP2 の性質として、正しいものはどれですか。

方向付け不可能な曲面である

射影平面 RP2 のオイラー数はいくつか。

射影平面 RP2 は、どのような図形の貼り合わせとして構成できますか。

メビウスの帯の境界（1つの円周）に、円板を貼り合わせる

n+1次元空間 Rn+1 における原点を通る直線の「傾き」を考えることは、RPn のどの定義と最も関連が深いですか。

ベクトルの定数倍による同一視

RP2 を胞体分割すると、RP2=e0∪e1∪e2 となります。これは、RP2 がどのような構造を持つことを示唆していますか。

RP2=(点)∪(直線)∪(平面)

ユークリッド平面 R2 に「無限遠直線」と呼ばれる特別な直線を付け加えたものは、何と見なせますか。

射影平面 RP2

RPn の次元はいくつか。

n 次元

射影空間が幾何学で重要な理由の一つは何ですか。

位相幾何学と、次章で学ぶ射影幾何学の両方で中心的な役割を果たすから

「Grassmann多様体 Gm,n」とは、どのようなものの集まりですか。

m次元空間内の n 次元の部分ベクトル空間（原点を通るn次元平面）全体の集まり

平面上の曲線 C の各点 P における「接線」の傾きを考えることは、曲線 C からどの空間へのGauss写像を考えることに対応しますか。

射影直線 RP1

3次元空間内の曲面 S の各点における「接平面」を考えることは、曲面 S からどの空間へのGauss写像を考えることに対応しますか。

G3,2（R3 内の平面全体の空間）

Gauss写像を調べることの主な目的は何ですか。

図形の「曲がり具合」という局所的な情報を、別の空間への写像として大域的に捉えるため

射影空間 RPn は、あるGrassmann多様体と見なすことができます。それはどれですか。

Gn+1,1

微分幾何学において、曲線や曲面を研究する際に接線や接平面を考えるのはなぜですか。

曲がった対象を、各点の近傍で扱いやすい線形的な対象（直線や平面）で近似するため

Grassmann多様体 Gm,n の次元はいくつですか。（本文では触れられていませんが、類推してください）

n(m−n)

Grassmann多様体は、どのような分野で重要な役割を果たしますか。

位相幾何学や微分幾何学

3次元空間内の曲線 C のGauss写像の行き先はどの空間ですか。

射影平面 RP2

R3 内の原点を通る「直線」全体の集合は、どのGrassmann多様体ですか。

G3,1

「リー群（Lie群）」とは、どのような構造を持つ対象ですか。

群と可微分多様体の両方の構造を併せ持ち、演算が滑らかである

リー群の「極分解」の定理 (G≅K×Rm) が示す重要な帰結は何ですか。

任意のリー群は、そのコンパクト部分群とホモトピー同値である

「直交群 O(n)」とは、どのような変換の集まりですか。

n次元空間の原点を保ち、距離を保つ線形変換（回転や鏡映）全体の集まり

R∗=R−{0}（0でない実数全体）が積に関してなすリー群のコンパクト部分群 K は何ですか。

{1,−1} (これは S0 と同相)

C∗=C−{0}（0でない複素数全体）が積に関してなすリー群は、どの図形とホモトピー同値ですか。

円周 S1

2次元の回転群 SO(2) は、どの図形と同相ですか。

円周 S1

2次元の直交群 O(2) は、どのような図形と同相ですか。

2つの交わらない円周の和集合 (S1∪S1)

O(n) の中で、行列式が1になるものだけを集めた部分群を何と呼びますか。

特殊直交群（または回転群）SO(n)

リー群の理論は、数学や物理学において何を記述するために用いられますか。

連続的な対称性

リー群の位相的性質を調べる上で、なぜコンパクト部分群が重要になるのですか。

極分解により、リー群全体がコンパクト部分群とホモトピー同値になるため、問題を単純化できるから

平面射影幾何の公理として、ユークリッド幾何学と最も大きく異なる点は何ですか。

異なる2直線は必ず1点で交わること（平行線が存在しない）

平面射影幾何における「相対性（双対性）の原理」とは何ですか。

ある定理の「点」と「直線」という単語を入れ替えても、再び真の定理になるということ

「デザルグの公理」は、何に関する公理ですか。

2つの三角形の頂点と辺の交点の関係

公理2「異なる2直線は、ただ1点で交わる」の双対な命題は何ですか。

異なる2点は、ただ1本の直線を定める

この章で定義された「平面射影幾何」は、何を基礎として構築されていますか。

いくつかの未定義用語（点、直線）と、それらの関係を定める公理

「体（field）」とは、どのような数学的対象ですか。

加減乗除の四則演算が定義された代数的な体系

デザルグの公理が重要な理由は何ですか。

幾何学的な性質と、後で導入される「体」という代数構造を結びつける鍵となるから

クラインのエルランゲン・プログラムの視点に立つと、射影幾何学は何を研究する学問と言えますか。

射影変換で不変な性質

平面射影幾何において、「直線」とは何と見なされますか。

公理系における一つの未定義な要素

100

この章の最終的な目標として提示されていることは何ですか。

射影幾何の体系と、体の体系の間に一対一の対応があることを示すこと