位相幾何学から射影幾何学へ_1

100問 • 5ヶ月前

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問題一覧

位相幾何学において、「同相」とはどのような関係を指しますか。

図形を連続的に変形させて重ね合わせられる関係

次のうち、円周と同相な図形はどれですか。

正方形の周

次のアルファベットのグループのうち、すべてが互いに同相であるものはどれですか。

C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, Z

位相幾何学的な観点から見たとき、コーヒーカップとドーナツが同相であると言われる主な理由として最も適切なものはどれですか。

どちらも穴が一つある図形と見なせるから

次のうち、「穴」を持たないため、他の3つとは同相でない図形はどれですか。

数字の「7」

漢字「日」と同相な漢字は次のうちどれですか。

田

「同相」な変形において、許されない操作はどれですか。

図形の一部を切り取る

位相幾何学では、図形のどのような性質に注目しますか。

穴の数や連結性といった、連続的な変形で変わらない性質

次のうち、線分と同相な図形はどれですか。

アルファベットの「L」

アルファベットの「E」と「F」が同相であると考えるとき、どのような変形を想定していますか。

「E」の下の横棒を縮めて点にする

この章で説明されている「位相」の定義として、最も適切なものはどれですか。

図形の中の点列がどの点に収束するかの情報の集まり

点列 {xn} が点 a に「収束する」とは、どのような状態を指しますか。

n が大きくなるにつれて、点 xn が a に限りなく近づいていく状態

ユークリッド空間 Rk における「閉集合」の定義として正しいものはどれですか。

その集合内の任意の収束する点列の極限点が、再びその集合内に含まれる集合

次のうち、数直線 R1 上の閉集合はどれですか。

閉区間 [0,1]

閉集合の「補集合」は、どのような集合になりますか。

開集合

ある集合 X と、その上の「位相（収束のルール）」を組にした (X,T) のことを何と呼びますか。

位相空間

数直線 R1 上の点列 xn=1/n (n=1,2,3,…) の極限点は何ですか。

ユークリッド空間 R2（平面）において、原点を中心とする半径1の円周（境界線のみ）はどのような集合ですか。

閉集合

「位相」を定めることの最も重要な目的は何ですか。

図形上で「連続性」などの概念を厳密に議論できるようにするため

数直線 R1 上の開区間 (0,1) が閉集合でない理由は何か。

集合内の点列で、極限点が集合の外（例えば 0 や 1）にあるものが存在するから

図形 X と図形 Y の「直積」X×Y とは、どのような点の集まりですか。

X の点 x と Y の点 y のペア (x,y) 全体の集合

線分 I=[0,1] と線分 I=[0,1] の直積 I×I は、どのような図形と同相ですか。

正方形（中身も含む）

円周 S1 と線分 I の直積 S1×I は、どのような図形と同相ですか。

円柱の側面

「トーラス」は、どのような図形の直積として得られますか。

円周と円周

数直線 R1 と数直線 R1 の直積 R1×R1 は、何ですか。

ユークリッド平面 R2

直積の操作を2回繰り返した I×I×I は、どのような図形と同相ですか。

立方体（中身も含む）

直積図形 X×Y の位相（収束のルール）は、どのように定義されますか。

X と Y 両方の位相（収束）を考慮して自然に定義される

円周 S1 と円板 D2 の直積 S1×D2 は、どのような図形と同相ですか。

中身の詰まったトーラス（ソリッドトーラス）

図形 A={a,b}（2つの点）と線分 I の直積 A×I は、どのような図形ですか。

交わらない2本の線分

直積という考え方の利点は何ですか。

単純な図形を組み合わせて、より複雑で高次元な図形を体系的に構成できること

ユークリッド空間において、「コンパクト集合」であるための条件は何ですか。

有界かつ閉集合であること

「有界」な集合とは、どのような集合ですか。

完全に収まるような、ある有限の大きさの球の内側に含まれる集合

次のうち、コンパクトな集合はどれですか。

閉区間 [0,100]

開区間 (0,1) がコンパクトでない理由として、最も適切なものはどれですか。

閉集合でないから

次のうち、コンパクトな図形はどれですか。

x² + y² = 1 で表される円周

コンパクト性は、図形のどのような性質を捉える概念ですか。

図形の「有限さ」や「ぎゅっと詰まっている」感じ

球面（球の表面）はコンパクトですか。

コンパクトである

閉区間 [0,1] と [0,2] の直積集合 [0,1]×[0,2] はコンパクトですか。

コンパクトである

数直線上の有理数全体の集合 Q はコンパクトですか。

有界でも閉集合でもないのでコンパクトでない

コンパクト性は位相不変量です。このことから何が言えますか。

コンパクトな図形とコンパクトでない図形は同相になりえない

この章における「連続写像」の定義として、最も重要な性質は何ですか。

極限を保つこと

写像 f:X→Y が「連続」であるとは、どのような条件を満たすことですか。

X 内の点列 xn が a に収束するなら、写した先の点列 f(xn) は f(a) に収束する

次のうち、数直線 R1 から R1 への写像（関数）で、連続写像でないものはどれですか。

f(x)=1/x (ただし x=0 で f(0)=0 とする)

図形を「回転」させる操作は、連続写像ですか。

連続写像である

ある図形を別の場所へそのままスライドさせる「平行移動」は、連続写像ですか。

連続写像である

「写像」の定義域と値域が共に位相空間であるとき、特に何と呼ぶことがありますか。

位相写像（この文脈では連続写像を指すことが多い）

連続写像の直感的なイメージとして最も近いものはどれですか。

図形をちぎったり穴を開けたりせず、滑らかに変形・移動させる操作

写像 f:X→Y と g:Y→Z がどちらも連続写像であるとき、その合成写像 g∘f:X→Z はどうなりますか。

必ず連続写像になる

すべての点を Y のある一点 c に移す写像（定値写像）f(x)=c は、連続写像ですか。

常に連続写像である

X の恒等写像（すべての点をそれ自身に移す写像）id:X→X は、連続写像ですか。

常に連続写像である

「弧状連結」であることの定義として、最も適切なものはどれですか。

図形内の任意の2点が、図形内を通る曲線で結べること。

弧状連結性を数学的に定義するために使われる、基本的な図形は何ですか。

線分 I=[0,1]

次のうち、弧状連結な集合はどれですか。

ユークリッド平面 R2

次のうち、弧状連結でない集合はどれですか。

2本の平行な直線からなる図形

弧状連結性は位相不変量です。このことから何が言えますか。

弧状連結な図形と弧状連結でない図形は同相になりえない

「道（path）」とは、この文脈において何を指しますか。

線分 I=[0,1] から図形への連続写像

位相空間 X が弧状連結であるためには、いくつの点の間で道が結べればよいですか。

任意の2点

円周 S1 は弧状連結ですか。

弧状連結である

図形 X が弧状連結で、写像 f:X→Y が連続であるとき、f による X の像 f(X) はどうなりますか。

必ず弧状連結になる

数直線上の集合 (0,1)∪(2,3) が弧状連結でない理由は何ですか。

例えば点 0.5 と点 2.5 を、この集合の中だけを通る道で結べないから

「同相写像」であるための条件として、当てはまらないものはどれですか。

図形の面積を保つこと

写像 f が同相写像であるとき、その逆写像 f−1 について何が言えますか。

必ず存在し、かつ連続である

開区間 (−1,1) と数直線全体 R1 の関係はどうなっていますか。

同相である

2つの図形 X と Y が同相であることの直感的な意味は何ですか。

X と Y は、ゴムのように連続的に変形させることで互いに移り合うことができる

次のうち、同相でないペアはどれですか。

円周 S1 と結び目（トレフォイル結び目）

X と Y が同相であるとき、X がコンパクトであれば、Y はどうなりますか。

必ずコンパクトである

X と Y が同相であるとき、X が弧状連結であれば、Y はどうなりますか。

必ず弧状連結である

位相幾何学において、図形を分類する基本的な考え方は何ですか。

同相かどうかで分類する

穴のあいた平面 R2−{0} は、どのような図形と同相ですか。

無限に長い円柱の側面

「位相不変量」の役割として最も重要なものは何ですか。

2つの図形が同相でないことを証明するための道具

この章で紹介された「点列コンパクト」の定義はどれですか。

集合内の任意の点列が、収束する部分列を持つこと

ユークリッド空間において、第4話の「有界かつ閉集合」という定義と「点列コンパクト」という定義の関係はどうなっていますか。

一方が成り立てば他方も成り立つ（同値である）

コンパクトな集合 X と連続写像 f:X→Y があります。このとき、f による像 f(X) はどうなりますか。

必ずコンパクトになる

この章で述べられた「最大値・最小値の定理」の内容として正しいものはどれですか。

コンパクト集合上で定義された連続な実数値関数は最大値と最小値を持つ

なぜ円周 S1 は数直線 R1 と同相ではありえないのでしょうか。この章の議論に基づいた理由はどれですか。

S1 はコンパクトだが R1 はコンパクトでない。もし同相なら、連続写像でコンパクト集合が非コンパクト集合に写ることになり矛盾する。

開区間 (0,1) 上で定義された関数 f(x)=1/x が最小値を持たないのはなぜですか。

定義域である開区間 (0,1) がコンパクトでないから

数直線 R1 上の点列 xn=n (n=1,2,3,…) が収束する部分列を持たないことは、何を示していますか。

R1 がコンパクトでないこと

コンパクトな集合 X から数直線 R1 への連続写像 f を考えます。f の値域 f(X) はどのような集合になりますか。

R1 上の有界な閉集合（閉区間の有限個の和集合など）

「点列コンパクト」という概念の強みは何ですか。

「有界」や「閉集合」が定義しにくい、より一般的な位相空間でもコンパクト性を議論できる

閉区間 [0,1] 上の連続関数 f(x) が必ず最大値を持つことの証明の要点は何ですか。

[0,1] がコンパクトであり、その連続像もコンパクト（有界な閉集合）になるため、その上限が像に含まれるから

「位相不変量」とは、どのような性質を指しますか。

同相写像によって保たれる性質

2つの図形 X,Y について、X はコンパクトで、Y はコンパクトでないことがわかっています。このとき、どのような結論が導けますか。

X と Y は同相ではない

線分 I=[0,1] と円周 S1 が同相でないことを示すために、この章で用いられた議論は何ですか。

1点を取り除いたときの連結性の違いを使うから

次の性質のうち、位相不変量でないものはどれですか。

図形の直径の長さ

アルファベットの「I」の字形と「T」の字形が同相でないことを示すには、どのような点を調べればよいですか。

図形から取り除くと、図形が3つ以上に分割される点（切断点）の存在

位相不変量を用いることの最大の目的は何ですか。

図形を分類し、異なる図形がなぜ異なるのかを数学的に説明するため

R1（直線）と R2（平面）が同相でないことを示すために、どのような議論が使われましたか。

1点を取り除いた後の連結性の違い

位相不変量を使って2つの図形が同相でないことは証明できますが、「同相である」ことを証明するには何が必要ですか。

具体的に同相写像を一つ見つける

円周 S1 から1点を取り除くと、どのような図形と同相になりますか。

開区間（または数直線 R1）

位相幾何学において、図形の「硬さ」（例えば、まっすぐな辺や角があること）は位相不変量ですか。

位相不変量ではない

この章で導入された「単体」について、1-単体とは何ですか。

線分

「多面体」の三角形分割とは、どのような操作ですか。

多面体の表面を、辺と頂点を共有する三角形の集まりで覆うこと

オイラー数 χ(X) の定義式として正しいものはどれですか。（ci は i-単体の個数）

χ(X)=c0−c1+c2

オイラー数の最も重要な性質は何ですか。

図形の分割の仕方に依らない値であり、位相不変量である

球面のオイラー数 χ(S2) はいくつか。

トーラス（ドーナツの表面）のオイラー数 χ(T2) はいくつか。

ある多面体 X のオイラー数が 2 で、別の多面体 Y のオイラー数が 0 であることがわかった。このことから何が言えますか。

X と Y は同相ではない

頂点4つ、辺6つ、面4つからなる四面体（多面体とみなす）のオイラー数はいくつか。

線分（1-単体）を三角形分割（ここでは、より小さな線分に分割）すると考えます。頂点数 n、辺の数 n−1 のとき、オイラー数はいくつか。

100

円板（中身のつまった円）のオイラー数はいくつか。（ヒント：円板は1点に押しつぶせます）

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位相幾何学において、「同相」とはどのような関係を指しますか。

図形を連続的に変形させて重ね合わせられる関係

次のうち、円周と同相な図形はどれですか。

正方形の周

次のアルファベットのグループのうち、すべてが互いに同相であるものはどれですか。

C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, Z

位相幾何学的な観点から見たとき、コーヒーカップとドーナツが同相であると言われる主な理由として最も適切なものはどれですか。

どちらも穴が一つある図形と見なせるから

次のうち、「穴」を持たないため、他の3つとは同相でない図形はどれですか。

数字の「7」

漢字「日」と同相な漢字は次のうちどれですか。

田

「同相」な変形において、許されない操作はどれですか。

図形の一部を切り取る

位相幾何学では、図形のどのような性質に注目しますか。

穴の数や連結性といった、連続的な変形で変わらない性質

次のうち、線分と同相な図形はどれですか。

アルファベットの「L」

アルファベットの「E」と「F」が同相であると考えるとき、どのような変形を想定していますか。

「E」の下の横棒を縮めて点にする

この章で説明されている「位相」の定義として、最も適切なものはどれですか。

図形の中の点列がどの点に収束するかの情報の集まり

点列 {xn} が点 a に「収束する」とは、どのような状態を指しますか。

n が大きくなるにつれて、点 xn が a に限りなく近づいていく状態

ユークリッド空間 Rk における「閉集合」の定義として正しいものはどれですか。

その集合内の任意の収束する点列の極限点が、再びその集合内に含まれる集合

次のうち、数直線 R1 上の閉集合はどれですか。

閉区間 [0,1]

閉集合の「補集合」は、どのような集合になりますか。

開集合

ある集合 X と、その上の「位相（収束のルール）」を組にした (X,T) のことを何と呼びますか。

位相空間

数直線 R1 上の点列 xn=1/n (n=1,2,3,…) の極限点は何ですか。

ユークリッド空間 R2（平面）において、原点を中心とする半径1の円周（境界線のみ）はどのような集合ですか。

閉集合

「位相」を定めることの最も重要な目的は何ですか。

図形上で「連続性」などの概念を厳密に議論できるようにするため

数直線 R1 上の開区間 (0,1) が閉集合でない理由は何か。

集合内の点列で、極限点が集合の外（例えば 0 や 1）にあるものが存在するから

図形 X と図形 Y の「直積」X×Y とは、どのような点の集まりですか。

X の点 x と Y の点 y のペア (x,y) 全体の集合

線分 I=[0,1] と線分 I=[0,1] の直積 I×I は、どのような図形と同相ですか。

正方形（中身も含む）

円周 S1 と線分 I の直積 S1×I は、どのような図形と同相ですか。

円柱の側面

「トーラス」は、どのような図形の直積として得られますか。

円周と円周

数直線 R1 と数直線 R1 の直積 R1×R1 は、何ですか。

ユークリッド平面 R2

直積の操作を2回繰り返した I×I×I は、どのような図形と同相ですか。

立方体（中身も含む）

直積図形 X×Y の位相（収束のルール）は、どのように定義されますか。

X と Y 両方の位相（収束）を考慮して自然に定義される

円周 S1 と円板 D2 の直積 S1×D2 は、どのような図形と同相ですか。

中身の詰まったトーラス（ソリッドトーラス）

図形 A={a,b}（2つの点）と線分 I の直積 A×I は、どのような図形ですか。

交わらない2本の線分

直積という考え方の利点は何ですか。

単純な図形を組み合わせて、より複雑で高次元な図形を体系的に構成できること

ユークリッド空間において、「コンパクト集合」であるための条件は何ですか。

有界かつ閉集合であること

「有界」な集合とは、どのような集合ですか。

完全に収まるような、ある有限の大きさの球の内側に含まれる集合

次のうち、コンパクトな集合はどれですか。

閉区間 [0,100]

開区間 (0,1) がコンパクトでない理由として、最も適切なものはどれですか。

閉集合でないから

次のうち、コンパクトな図形はどれですか。

x² + y² = 1 で表される円周

コンパクト性は、図形のどのような性質を捉える概念ですか。

図形の「有限さ」や「ぎゅっと詰まっている」感じ

球面（球の表面）はコンパクトですか。

コンパクトである

閉区間 [0,1] と [0,2] の直積集合 [0,1]×[0,2] はコンパクトですか。

コンパクトである

数直線上の有理数全体の集合 Q はコンパクトですか。

有界でも閉集合でもないのでコンパクトでない

コンパクト性は位相不変量です。このことから何が言えますか。

コンパクトな図形とコンパクトでない図形は同相になりえない

この章における「連続写像」の定義として、最も重要な性質は何ですか。

極限を保つこと

写像 f:X→Y が「連続」であるとは、どのような条件を満たすことですか。

X 内の点列 xn が a に収束するなら、写した先の点列 f(xn) は f(a) に収束する

次のうち、数直線 R1 から R1 への写像（関数）で、連続写像でないものはどれですか。

f(x)=1/x (ただし x=0 で f(0)=0 とする)

図形を「回転」させる操作は、連続写像ですか。

連続写像である

ある図形を別の場所へそのままスライドさせる「平行移動」は、連続写像ですか。

連続写像である

「写像」の定義域と値域が共に位相空間であるとき、特に何と呼ぶことがありますか。

位相写像（この文脈では連続写像を指すことが多い）

連続写像の直感的なイメージとして最も近いものはどれですか。

図形をちぎったり穴を開けたりせず、滑らかに変形・移動させる操作

写像 f:X→Y と g:Y→Z がどちらも連続写像であるとき、その合成写像 g∘f:X→Z はどうなりますか。

必ず連続写像になる

すべての点を Y のある一点 c に移す写像（定値写像）f(x)=c は、連続写像ですか。

常に連続写像である

X の恒等写像（すべての点をそれ自身に移す写像）id:X→X は、連続写像ですか。

常に連続写像である

「弧状連結」であることの定義として、最も適切なものはどれですか。

図形内の任意の2点が、図形内を通る曲線で結べること。

弧状連結性を数学的に定義するために使われる、基本的な図形は何ですか。

線分 I=[0,1]

次のうち、弧状連結な集合はどれですか。

ユークリッド平面 R2

次のうち、弧状連結でない集合はどれですか。

2本の平行な直線からなる図形

弧状連結性は位相不変量です。このことから何が言えますか。

弧状連結な図形と弧状連結でない図形は同相になりえない

「道（path）」とは、この文脈において何を指しますか。

線分 I=[0,1] から図形への連続写像

位相空間 X が弧状連結であるためには、いくつの点の間で道が結べればよいですか。

任意の2点

円周 S1 は弧状連結ですか。

弧状連結である

図形 X が弧状連結で、写像 f:X→Y が連続であるとき、f による X の像 f(X) はどうなりますか。

必ず弧状連結になる

数直線上の集合 (0,1)∪(2,3) が弧状連結でない理由は何ですか。

例えば点 0.5 と点 2.5 を、この集合の中だけを通る道で結べないから

「同相写像」であるための条件として、当てはまらないものはどれですか。

図形の面積を保つこと

写像 f が同相写像であるとき、その逆写像 f−1 について何が言えますか。

必ず存在し、かつ連続である

開区間 (−1,1) と数直線全体 R1 の関係はどうなっていますか。

同相である

2つの図形 X と Y が同相であることの直感的な意味は何ですか。

X と Y は、ゴムのように連続的に変形させることで互いに移り合うことができる

次のうち、同相でないペアはどれですか。

円周 S1 と結び目（トレフォイル結び目）

X と Y が同相であるとき、X がコンパクトであれば、Y はどうなりますか。

必ずコンパクトである

X と Y が同相であるとき、X が弧状連結であれば、Y はどうなりますか。

必ず弧状連結である

位相幾何学において、図形を分類する基本的な考え方は何ですか。

同相かどうかで分類する

穴のあいた平面 R2−{0} は、どのような図形と同相ですか。

無限に長い円柱の側面

「位相不変量」の役割として最も重要なものは何ですか。

2つの図形が同相でないことを証明するための道具

この章で紹介された「点列コンパクト」の定義はどれですか。

集合内の任意の点列が、収束する部分列を持つこと

ユークリッド空間において、第4話の「有界かつ閉集合」という定義と「点列コンパクト」という定義の関係はどうなっていますか。

一方が成り立てば他方も成り立つ（同値である）

コンパクトな集合 X と連続写像 f:X→Y があります。このとき、f による像 f(X) はどうなりますか。

必ずコンパクトになる

この章で述べられた「最大値・最小値の定理」の内容として正しいものはどれですか。

コンパクト集合上で定義された連続な実数値関数は最大値と最小値を持つ

なぜ円周 S1 は数直線 R1 と同相ではありえないのでしょうか。この章の議論に基づいた理由はどれですか。

S1 はコンパクトだが R1 はコンパクトでない。もし同相なら、連続写像でコンパクト集合が非コンパクト集合に写ることになり矛盾する。

開区間 (0,1) 上で定義された関数 f(x)=1/x が最小値を持たないのはなぜですか。

定義域である開区間 (0,1) がコンパクトでないから

数直線 R1 上の点列 xn=n (n=1,2,3,…) が収束する部分列を持たないことは、何を示していますか。

R1 がコンパクトでないこと

コンパクトな集合 X から数直線 R1 への連続写像 f を考えます。f の値域 f(X) はどのような集合になりますか。

R1 上の有界な閉集合（閉区間の有限個の和集合など）

「点列コンパクト」という概念の強みは何ですか。

「有界」や「閉集合」が定義しにくい、より一般的な位相空間でもコンパクト性を議論できる

閉区間 [0,1] 上の連続関数 f(x) が必ず最大値を持つことの証明の要点は何ですか。

[0,1] がコンパクトであり、その連続像もコンパクト（有界な閉集合）になるため、その上限が像に含まれるから

「位相不変量」とは、どのような性質を指しますか。

同相写像によって保たれる性質

2つの図形 X,Y について、X はコンパクトで、Y はコンパクトでないことがわかっています。このとき、どのような結論が導けますか。

X と Y は同相ではない

線分 I=[0,1] と円周 S1 が同相でないことを示すために、この章で用いられた議論は何ですか。

1点を取り除いたときの連結性の違いを使うから

次の性質のうち、位相不変量でないものはどれですか。

図形の直径の長さ

アルファベットの「I」の字形と「T」の字形が同相でないことを示すには、どのような点を調べればよいですか。

図形から取り除くと、図形が3つ以上に分割される点（切断点）の存在

位相不変量を用いることの最大の目的は何ですか。

図形を分類し、異なる図形がなぜ異なるのかを数学的に説明するため

R1（直線）と R2（平面）が同相でないことを示すために、どのような議論が使われましたか。

1点を取り除いた後の連結性の違い

位相不変量を使って2つの図形が同相でないことは証明できますが、「同相である」ことを証明するには何が必要ですか。

具体的に同相写像を一つ見つける

円周 S1 から1点を取り除くと、どのような図形と同相になりますか。

開区間（または数直線 R1）

位相幾何学において、図形の「硬さ」（例えば、まっすぐな辺や角があること）は位相不変量ですか。

位相不変量ではない

この章で導入された「単体」について、1-単体とは何ですか。

線分

「多面体」の三角形分割とは、どのような操作ですか。

多面体の表面を、辺と頂点を共有する三角形の集まりで覆うこと

オイラー数 χ(X) の定義式として正しいものはどれですか。（ci は i-単体の個数）

χ(X)=c0−c1+c2

オイラー数の最も重要な性質は何ですか。

図形の分割の仕方に依らない値であり、位相不変量である

球面のオイラー数 χ(S2) はいくつか。

トーラス（ドーナツの表面）のオイラー数 χ(T2) はいくつか。

ある多面体 X のオイラー数が 2 で、別の多面体 Y のオイラー数が 0 であることがわかった。このことから何が言えますか。

X と Y は同相ではない

頂点4つ、辺6つ、面4つからなる四面体（多面体とみなす）のオイラー数はいくつか。

線分（1-単体）を三角形分割（ここでは、より小さな線分に分割）すると考えます。頂点数 n、辺の数 n−1 のとき、オイラー数はいくつか。

100

円板（中身のつまった円）のオイラー数はいくつか。（ヒント：円板は1点に押しつぶせます）