問題一覧
1
sinθが分かっていて、cosθを知りたい
sin²θ＋cos²θ＝1
2
tanθが分かっていて、cosθを知りたい
1+tan²θ＝1/cos²θ
3
sinθとcosθが分かっていてtanθを知りたい
tanθ＝sinθ/cosθ
4
正弦定理
a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R
5
トレミーの定理を表せ
AB×CD＋AD×BC＝AC×BD
6
2つの三角形の底辺が等しいとき、面積比は何と等しいか
2つの三角形の高さの比
7
2つの三角形の高さが等しいとき、面積比は何と等しいか
底辺の比
8
この図を用いて、チェバの定理を表せ
AR/RB×BP/PC×CQ/QA＝1
9
この図を用いてメネラウスの定理を表せ
AR/RB×BP/PC×CQ/QA＝1
10
ACの長さはどうやって求められるか
円の外部の点から引いた2本の接線の長さは等しいことを利用する →答え.13
11
角αの値はどうやって求められるか
円の接戦と弦のつくる角における定理を用いる(＝接弦定理) →答え.46°
12
4点A,B,C,Dが同一円周上にある条件を三つ述べよ
・∠BAD＋∠BCD＝180° (もしくは外角が等しい) ・ADが直線BCについて同じ側にあって∠BAC＝∠BDC (円周角の定理の逆) ・ある点PについてPA×PB＝PD×PC(方べきの定理の逆)
13
a,bが共に実数であり、a＋b×i＝0のとき、成り立つ式はなにか
a＝b＝0
14
aが集合Aの要素であるとき、どう表すか
aEA(Eは代用)
15
xが実数であるとき、x²は何を満たすか
x²≧0
16
sinθは?
sinθ＝a/c(対辺/斜辺)
17
cosθは?
cosθ＝b/c(底辺/斜辺)
18
tanθは?
tanθ＝a/b(対辺/底辺)
19
三角形ABCの内接円の半径がrであり、三角形の三辺はa,b,cである。面積を求めよ
面積S＝1/2r(a＋b＋c)
20
CPの長さはいくつか
角FAP＝角CAP⇔AB:AC＝BP:CP これより 4:3＝BP:CP よって BC:CP＝1:3 であるから CP＝3BC ＝9
21
m:nと面積比が等しくなる三角形はどれとどれか。全てあげろ。
△ABD＝△ACD △BPD＝△CPD △APB＝△APC
22
三角形の垂心の求め方と特徴を挙げろ
・三角形の各頂点から対辺に下ろした垂線が1点で交わる場所 ・三角形の外部に存在する時でも、頂点から垂心を結んだ直線を延長すると、対辺との直角を作る
23
PBを求めろ
方べきの定理より AP×PB＝DP×PC これより 5×PB＝4×2 PB＝8/5
24
BPを求めろ
方べきの定理より PA×PB＝PC×PD これより PA×(PA＋8)＝6×8 PA＝4(PA＞0) よって BP＝8＋PA＝12
25
この時成り立つ式を応えろ
方べきの定理より PA×PB＝PT²
26
直線hが平面αと垂直であるとき、何が成り立つか
平面α上の全ての直線と垂直
27
直線hが平面α上の平行でない2直線ℓ、mに共に垂直な時、何が成り立つか
直線h ⊥ 平均α
28
正四面体の頂点から底面に垂線を下ろした時、垂線と底面の交点は何の性質を持つか
外心と重心
29
四面体ABCDの内接球の半径がr、4つの面の面積がそれぞれA,B,C,Dと分かっている。四面体の体積Vを表せ
V＝1/3ｒ(A＋B＋C＋D)
30
等式A＝Bの証明方法を3つの挙げろ
1.右辺を変形して左辺を導く(逆もおなじ) 2.両辺を変形して同じ形を導く 3.A－B＝0を示す
31
条件式付きの、等式A＝Bの証明方法を2つ挙げろ
1.条件式を用いて文字を減らす 2.分数式(比例式)＝kと置く →k＝○○で表せるから
32
不等式A＞Bの証明方法を2つ挙げろ。また、そのために用いるものがあれば全てあげろ。
1.A－B＞0を示す →A－Bで求まった式に対して ①積の形を作り符号を調べる ②(実数)²≧0を利用 ③√□≧0, |△|≧0を利用 2.A＞0, B＞0の時 A＞B⇔A²＞B² A ≧ B⇔A² ≧ B²
33
a,b,c,dが実数の時、 a＋bi＝c＋di (iは虚数)で成り立つ式はなにか
a＝cかつb＝d
34
2点A(x,y)B(m,n)間の距離を求めよ
AB＝√(m-x)²+(n-y)² ※√ は式の最後までかかっている
35
2点A(X1,Y1)、B(X2,Y2)を結ぶ線分ABをm:nに内分、外分する点の座標をそれぞれ求めよ
解説参考
36
3点A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3)を頂点とする三角形ABCの重心の座標Gを求めろ。
解説参考
37
点Cの座標を求めろ
点Aが線分BCの中点より (p+X)/2＝X1 かつ (q+Y)/2＝Y2 すなわち X＝2×X1－p かつ Y＝2×Y1－q したがって C(2×X1－p,Y＝2×Y1－q)
38
kを含む直線が、kの値に関わらずある定点を通る。この時、どのように考えると解きやすいか
直線の式を「kの恒等式」と考える →kについて整理して、恒等式として解けばいい
39
円と直線の共通点について、距離をd、円の半径をrとして場合分けしろ
d＜r →異なる2点で交わる d＝r →接する d＞r →共有点なし 「円と直線の式を連立してyを消去した」xの二次方程式を用いる場合 ⇒判別式をDとおく D＞0 異なる2点で交わる D＝0 接する D＜0 共有点なし
40
円x²+y²＝r²上の点(m,n)における接戦ℓの方程式を求めろ
ℓ:mx＋ny＝r²