単位平均値あたりの標準偏差

下髭: 第一分位数から1.5xIQR引いた値までの範囲で最小データ。 上髭: その逆。

レーダーチャート

とは: 平均0, 分散1, 標準偏差1になるようにデータを変形させること。 式: 平均を引いて、標準偏差で割る。

まず標準化をする。 次に10を掛けて、50を足す。

分子: xの平均からのズレ ✖️ yの平均からのズレ。これをシグマしてサンプルサイズで割る。 分母: xの標準偏差 ✖️yの標準偏差

こんなの

名義尺度

順序尺度

間隔尺度

比例尺度

質的変数: 名義尺度、順序尺度 量的変数: 間隔尺度、比例尺度

目的変数

説明変数

用途: ヒストグラムを作る時の階級の数(何階級に分けたらいいのか)の目安を求める 公式: 階級の数=log2底のサンプル数 +1

ヒストグラムを棒が大きい方から並べ替えたもの。しばしば累積相対度数と合わせて描かれる。これを使うと「全体の8割は○○に分布している」などと言いやすい。

まずは度数分布表をつくり、各階級について ・累積相対度数を求める。 ・存在する映画館の数と全体に対する割合を求め、累積割合も求めていく。 以下のような分散図をつくる ・横軸 累積相対度数 ・縦軸 累積相対割合 ・y=xの完全平等線を書き入れる 図はスクリーン数となっているが、これを映画館数と読み替えること。

上弦が多いが、どちらもある。 度数分布表はしばしば階級が昇順で描かれるため、高い階級にくらべて低い階級の累積相対割合は少なくなりがち。このため上弦になる。 しかし、階級が降順に描かれることもありこの場合は下弦となる。

ローレンツ曲線とy=xの完全平等線で囲まれた面積の「2倍」。 0-1の間の数値となる。

データの偏り 度数分布表の1階級に全てのデータが集まってる状態だと0になる。 度数分布表の低い階級にほとんどデータが集まって、ほんの一部のデータが超高い階級にいると1に近づく。 平坦なヒストグラムの場合だと0.5くらいになる(はず)。

プラス 歪度は平均値からの距離の3乗の項がはいっているので平均との距離が離れたデータがある裾の方向に引っ張られる。 左に偏ってるということは右に裾があり、右方向に引っ張られるので正となる。

こんなの

こんなの 図の横幅は男女の比率(この場合1:1)になってるのが特徴。

こんなの

各データの平均との差

偏差の絶対値を平均したもの

こんなの CはComplementaryの略 高校数学ではバーを使ったが、統計でバーは一般に平均を示すのでcを使う

互いに背反の事象の和集合の確率は、それぞれの事象の和に等しいから

画像

事象Aと事象Bが独立の場合はAかつBが起こる確率はP(A)xP(B)となるが、 独立でない場合は画像のように表せる

画像のようになる。 しばしばB→Aの順で事象がおこることに用いられる。なぜならA→Bの順でおこることについて、Aが起こったときのBの起こる確率は簡単にもとまるから。 Aの起こった後には必ずB1からBnのいずれかが起きることが前提となっている。

こうなる

「確率変数Xがその分布に従ってるときの、Xの期待値」ということ

期待値との距離をとって2乗をし、変数の値に対応する確率を重みとしてかける。これを変数のシグマで合算する。

分散は、変数の二乗の期待値から期待値の2乗を引いたものになる 例えば、サイコロの出る目の分散は ・サイコロの出た目の2乗の期待値 ・サイコロの出た目の期待値 前者から後者の2乗を引く

k2乗倍 分布が原点を固定して横に伸ばされるので標準偏差はk倍される

ベルヌーイ試行をn回行い、片方の結果の回数がX回出るときのXの確率分布。 しばしばB(n, p )で表される。pはその片方の結果がでる確率。

期待値 np 分散 np(p-1)

二項分布 二項分布の試行回数を大きく、確率を小さくしたものがポアソン分布となる。

二項分布に近似できるが、確率を出す際にn,pの両方が必要になる。 ポアソン分布は平均λ(n x p )さえ分かればn,pは個別にわからなくても確率が求まる。

二項分布の極限で考える n→♾️、p→0のとき E(x) = np = λ V(x) = np(p-1) → λ

確率pで成功する試行がX回で初めて成功するような、確率変数Xが従う分布。

こうなる

2種類の状態をもつ個体の集団から無作為に特定数を選出したとき、片方の種類がX個となるような確率が従う分布。 式は画像の通り。Nは全体数、Mは上記でいう片方の種類、nは選出した個体の数。

捕獲再捕獲法

期待値: もとの割合を選出数にかける 分散: ひとまず覚えなくていいとする。ただ、Nが無限大にいくと二項分布の期待値や分散に近づく。

定義1: 確率pのベルヌーイ試行で、k回成功するまでにX回失敗する確率が従う確率分布。 式は画像の通り。 定義2: k回成功するまでにかかる全試行回数がXであるときの確率が従う分布。

覚えなくていいと思う とりあえず載せておく。

これ

平均0,分散1の正規分布

データAとデータBがそれぞれ独立な正規分布に従うとき、AとBを足したデータも正規分布に従うこと。

平均を引き、標準偏差でそれを割る

任意の値以上の面積(=確率)

68.3% 95.5% 99.7% かつ、上記が両側の数値であることを言えて正解とする

ある単位期間に平均λ回起こる事象が起こってから次起こるまでの期間がX単位期間である確率が従う分布。 式は図の通り。λは正。

こうなる

1-exp(-λm)

全ての事象が等しく起こるとき、その事象が起こる確率が従う分布。 P(X)=1/N Nは事象の数。

こうなる

ある区間で確率が一定であり、他の区間では確率が0になるような確率密度分布

a≦x≦bにおいて一様なとき画像の通りとなる

画像の通り

2つの確率変数によって構成される確率分布 例)あるクラスについて 変数1...血液型 変数2...性別 A型女子が全体のなん%とか。全て足し合わせると1になる。

同時確率分布を一方の変数だけで表したもの。もう一方の変数方向に総和(積分)することで得られる。 図の「計」の部分。

求まる 期待値の足し算は足し算の期待値 引き算も同様

求まらない 期待値の掛け算が掛け算の期待値になるのは、両事象が独立のときだけ。 ビンゴは玉を戻さないので独立ではない。

画像の通り 1は分散の定義式と似ている 2は1から導出できる 3はV(X+Y)を分散の定義式に当てはめると導出できる関係式

共分散を両者の標準偏差で割ったものが、相関係数。共分散だと同じくらい相関しててもデータのスケールで値が変わってしまうので標準偏差で標準化している。

○○→記述統計学 ××→推測統計学

有限→日本人すべて 無限→サイコロを振って出る目

全数調査 標本調査

全国民に番号を振って乱数で出た数の人を抽出する

サンプルサイズ または 標本の大きさ

サンプル数 または 標本数

5 標本数は標本に含まれるデータの数(100人)じゃない

母集団をいくつかのグループ(層)に分けておき、各層から無作為抽出する

母集団を複数のクラスターに分けておき、その何割かを無作為抽出する 該当クラスターについて全数調査する

母集団をクラスターに分けいくつか無作為抽出する。 各クラスター内でさらにクラスターをつくり無作為抽出する。 これを何回か繰り返して標本を決定する。

母集団に通し番号をつけておき、無作為に1人選ぶ。そこから等間隔で選ぶ。

層化抽出法の発展形 母集団の情報がないとき、とりあえず抽出を行い1相目とする。この層の情報を取得し、ここから層化抽出する(これが2相目)。

横断は対象を1回だけ調査し、その結果を分析して結論を出す。健康診断で肥満度と運動習慣の相関を見る。 縦断は対象を数回、追跡的に調査して時系列変化をみる。健康診断で運動習慣の変化と肥満度の変化を追跡し、運動がもたらす効果をみつもる。 縦断は手間がかかるがより詳しく調べられる。

標本平均がサンプルサイズnが大きくなるにつれ母平均に近づく法則

画像の通り 分散は1/nになることに注意

母集団の平均や分散などのパラメータ

推定量は母数を推測するために使う値。例えば母平均を推定したいとき、標本平均を推定量とする。これが的を得た推定量かどうかはまた別の話。標本平均がどんな値になるか確率的に決まるように、推定量も確率変数である。つまり、推定量は具体的な値ではない。 実測したときに初めて値が決まるが、これを推定値と呼ぶ。

両者とも推定統計学における推定量の性質。 一致性: ある標本についてその標本のサンプルサイズが大きくなれば、推定量が推定したい母数に収束する性質 不偏性: 標本をたくさんとりさえすれば、全ての推定値の平均が推定したい母数と一致する性質。正確には推定量の期待値が母数と一致する性質。

標本分散 一致性あり、不偏性なし 不偏分散 両方あり

画像の通り

正規分布が潰れてかつ裾が広がったような分布。 自由度nによって決定され、nが小さいほど大きく潰れて、大きいほど正規分布に近づく。

正規分布表は縦軸が右側面積の少数第一位であり横軸が少数第2,3位だったが、t分布表では縦軸は自由度で横軸が面積となる。

30

自由度9の面積0.025の数値

xバー: 標本平均 t: t分布表から得られる値(自由度n-1) s: 標本の不偏分散 n: サンプル数

pハット: 標本比率 z: 標準正規分布表からもってきた値 n:サンプル数 近似をもとに成り立っている式で、nが十分大きくないとこの近似が成り立たない

画像の数値の2倍が信頼区間の幅なのでそれが3となるようなnを求める ただし、pハット(母比率の推定値)が不明の場合は0.5を用いる。なぜなら0.5が最も必要なサンプル数が多いから。 母比率の区間推定の式を覚えていれば簡単に解ける

標本分散に自由度を乗じて母分散で割った数値がχ2分布(同自由度)に従うことを利用する。 χ2分布は左右対称ではないので95%信頼区間だと2.5%と97.5%の部分を読み取る

標準正規分布に従う数値X1, X2, ..., Xkについて、それぞれを二乗して足した数値が従う分布 kは自由度と呼ばれる。

帰無仮説: この仮説をもとに検定を行う。これが棄却されれば、対立仮説を採用 対立仮説: 帰無仮説の排反