50人のクラスで、前日に番組Aを見た生徒が20人、番組Bを見た生徒が15人、どちらも観た生徒が5人だったとき、どちらの番組も観なかった生徒は何人か。

事象A、Bが独立であることについて、条件付き確率の式から求めたP(A∩B)の式からどのような確率同士が等しいと言えるか。

事象ABCが与えられたとき、どのような式が成り立つときに、AとBは条件付き独立と言えるか。

離散確率変数X、Yの同時確率関数p(x,y)から、累積分布関数、Xの周辺分布関数、Xを与えたときの条件付き確率関数をもとめよ。

確率母関数G(s)の公式 整数値をとる確率変数Xの確率関数をp(x) 任意の実数s

確率母関数から、期待値と分散を、求めるやり方

モーメント母関数m(θ)の公式は、確率母関数のsを何に置き換えたものか

確率母関数やモーメント母関数の性質は？ 〜と一対一で対応 独立な変数の〜が母関数の〜に対応

モーメント母関数から、期待値と分散を求めよ

確率変数Xの分布関数をF(X)としたとき、分位点関数を表す式を答えよ

確率変数Xの分布関数F(X)が、〜かつ〜のとき、分位点関数は、分布関数の〜になる。

確率変数Xの確率密度関数をf(x)とするとき、最頻値はf(x)が〜となるxである。

右に裾が長い分布の場合、期待値、最頻値、中央値の関係はどのようになるか

歪度と尖度の式をＥ(X)、V(X)、Xを用いて表せ

共分散をＥ(X)、Ｅ(Y)、Ｅ(XY)、相関係数をCov(X,Y)、V(X)、V(Y)で表せ

データx1〜xnについて、幾何平均と調和平均を表す式

連続確率変数Xの確率密度関数をf(x)とし、新たにY=g(X)という確率変数を定義する。 Yの確率密度関数を表す式を答えよ

Xが平均μ、分散σ²の正規分布に従うとき、モーメント母関数を導出せよ。

確率変数X、Yが存在するとき、aX+bYの確率密度関数を求めるやり方を答えよ。 Xの確率密度関数をf(x) Yの確率密度関数をf(Y)

離散一様分布の期待値、分散、確率母関数を求めよ。

ベルヌーイ分布の期待値、分散、確率母関数を求めよ。

二項分布の期待値、分散、確率母関数を求めよ

超幾何分布の期待値と分散

二項分布から、ポアソン分布を導出せよ。 (二項分布においてnp=λに固定し、n→∞にする。つまり、p=λ/n→0)

ポアソン分布の期待値と分散と確率母関数

成功確率p、失敗確率q、失敗回数xとした時の幾何分布において、期待値、分散、確率母関数を求めよ。

成功確率p、失敗確率q、成功回数r、失敗回数yとして、負の二項分布の期待値、分散、確率母関数を求めよ。

多項分布の期待値、分散、確率母関数、共分散

連続一様分布のモーメント母関数、期待値、分散

正規分布の確率密度関数、標準正規分布の確率密度関数と累積分布関数は？

正規分布のモーメント母関数は？

指数分布の確率密度関数、累積分布関数は？

指数分布のモーメント母関数、期待値、分散

条件付き確率を用いて、無記憶性がある分布の確率について成り立つ式を答えよ。

ガンマ分布のモーメント母関数、期待値、分散

ガンマ分布において、a=1のとき、どの分布と一致するか。

ベータ分布の確率密度関数、期待値、分散

2変量正規分布におけるX1=x1が与えられたときの、X2の条件付き分布における期待値と分散

2変量正規分布に従う確率ベクトルの成分の任意の1次結合は1変量の正規分布に従う。 これを式で表せ

混合正規分布の確率密度関数と、累積分布関数

2要素の混合正規分布の場合、二峰性を示すときの条件

カイ二乗分布の確率密度関数、期待値、分散、モーメント母関数は？

非心度λの非心カイ二乗分布のモーメント母関数、期待値、分散

t分布の確率密度関数、期待値、分散

t分布の確率密度関数は、n=1で〜の確率密度関数と一致し、n→∞で〜の確率密度関数と一致する。

F分布の確率密度関数、期待値、分散

確率変数列｛Xn｝がYに、概収束するとき、確率収束するとき、平均二乗収束するときの式をそれぞれ示せ

大数の弱法則の説明と、式による証明

確率変数列｛Xn｝の分布関数Fn(x)が、ある分布Gに分布収束するときに満たす式は？

小数法則を説明

中心極限定理とは？

{Xn}が、独立同一分布に従うとき、最大値を適切に位置尺度変換したら、分布収束する。 収束先を示せ

連続写像定理とは？

スツルスキーの補題とは？

分布収束の便利な性質③ 確率変数列Xnのモーメント母関数と確率変数Xのモーメント母関数の間にどのような関係が成り立つと、XnがXに分布収束するか。

デルタ法とは？

二次元確率変数ベクトル(Xn,Yn)についての、分布収束について、説明せよ

サイコロを30回投げたとき、数字の3が10回以上現れる確率の近似値を求めよ。ただし、連続修正する。

最尤法とは？

モーメント法とは？

真のパラメータθと推定値の差異を表する指標は？ また、２つの推定量の推定精度を比較する際の指標は？

平均二乗誤差のバイアス・バリアンス分解とは？

一様最小分散不偏推定量とは？

ガウス・マルコフの定理とは？

クラメール・ラオの不等式を使って、一様最小分散不偏推定量であることを判定する方法

十分統計量とは？

T(X)が、パラメータθの十分統計量のとき、確率密度関数を、適当な関数hとgを用いて表せ。 また、表した式から、最尤推定量に対してどのようなことが言えるか？

漸近有効性は、どのようなときに成り立つか。

漸近正規性とは？

漸近論とは？

ジャックナイフ法とは?

標本X1〜Xnから得られた推定量θについて、ジャックナイフ法を使って、ジャックナイフ推定量を求める方法

多項分布に従う確率変数Niが存在し、iは1〜kまでとする。 このときN1とN2の共分散を途中の計算式を詳細に示しながら解け

確率piで事象Ai(i=1…k)が起こるような試行をn回行ったとき、それぞれの事象が起こる回数Niに関する分布を多項分布という。 p1-p2の期待値、分散、信頼区間の求め方は？ p1、p2はどちらも標本比率

帰無仮説(μ=μ₀)のもとでの検定統計量と、その検定統計量が従う文布、また対立仮説(μ≠μ₀、例えばμ=μ₁)のもとで、検定統計量が従う文布を答えよ。

母平均μがμ₀と異なるかどうかを検証する有意水準2.5%の片側検定を考える。 対立仮説は母平均μはμ₁>μ₀とし、検出力が0.8以上となるサンプルサイズnを求めよ。

不良率を指標とする計数抜き取り検査の場合、合格の検査ロットの不良率をp₀、不合格の検査ロットの不良率をp₁とし、サンプルサイズnの中に不良個数をk個とする。 k≦cで合格、k≧c+1で不合格と判定する。 本来合格であるロットが不合格となる確率と、本来不合格であるロットが合格となる確率の式を求めよ

試行回数n、成功確率θの二項分布に従う確率変数Xで、X/nが最尤推定量であることを示せ。

試行回数n、成功確率θの二項分布に従う確率変数Xで、θ=θ₀の帰無仮説とする仮説検定をする。対立仮説が片側対立仮説θ>θ₀の場合、どのような検定量を用いるか。

試行回数n₁、成功確率θ₁の二項分布に従う確率変数X₁と、試行回数n₂、成功確率θ₂の二項分布に従う確率変数X₂における母比率の差の検定を考える。 帰無仮説のもとで、最尤推定量を求めることで、使える検定統計量を求めよ。

パラメータλのポアソン分布に従う確率変数Xを考える。 帰無仮説 λ=λ₀>0 のもとで、標準正規分布に従う検定統計量を求めよ。

カテゴリー数I、生起確率pi、総度数n、カテゴリiの観測度数xiにおける適合度検定の統計量の式と、その統計量が従う分布を示せ。 また、イェーツの補正についても説明せよ。

パラメトリック法と、ノンパラメトリック法を説明せよ。

群Aの点数が30、20、52で、群Bの点数が40、50、35とする。 帰無仮説を、２つの群の成績の分布は同じ、対立仮説を群Aの成績の分布の形は、群Bと同じだが、悪い方にズレているとして、ウィルコクソンの順位和検定によって片側P値を求めよ。

群Aの点数が30、20、52で、群Bの点数が40、50、35とする。 帰無仮説を、２つの群の成績の分布は同じ、対立仮説を群Aの成績の分布の形は、群Bと同じだが、悪い方にズレているとして、並べ替え検定によって片側P値を求めよ。

群Aの点数が30、20、52で、群Bの点数が40、50、35とする。 帰無仮説を、２つの群の成績の分布は同じ、対立仮説を群Aの成績の分布の形は、群Bと同じだが、悪い方にズレているとして、並べ替え検定によって片側P値を求めよ。

点数差 -15, -9, 0, 6, 11, 20, 25において、符号付き順位検定をする方法を示せ。

40人の学生に対して、補習前後の点数の差を求めたところ、5人が0点で、正順位和が420だった。補習の効果を確認するため、有意水準5%の片側検定を符号付き順位検定を用いて行え。ただし、正規分布近似を用いて良い。

点数差 -15, -9, 0, 6, 11, 20, 25において、符号検定をする方法を示せ。

3つの群A、B、Cの分布に差があるかを、クラスカル・ウォリスの検定で考える場合の検定統計量と、使用する分布を答えよ。 群iのサンプルサイズをni、群の順位をRi、群の順位の平均をRiバー、各群のサンプルサイズの合計をN、順位の中央値N~とする。

二次元データ(xi、yi)がともに順位データであるばあいに、スピアマンの順位相関係数とケンドールの順位相関係数の式を求めよ。

実数の確率変数列Xnと集合B∈R(実数の全体集合)に対して、マルコフ性と、状態空間について説明せよ。

Xのmステップ推移確率の式を示せ。

集合Ｓ上のXを斉時的有限マルコフ連鎖とする。このとき状態iからjへのmステップ推移確率の式と、推移確率行列を表せ。

推移確率行列Qと、状態確率ベクトルπnについて成り立つ性質を示せ。

定常分布とは？

表が出る確率がqのコインを繰り返し投げる試行において、n回目に表が出るときXn=1、裏が出るときXn=2となる確率変数Xを考える。 確率変数列を考えると、任意の自然数nで、πn=(q,1-q)となり、定常分布を同じになることを示せ。

定常分布を求める際は、推移確率行列Qのn乗を求めて、状態確率ベクトルπn=π₀Qのn乗とπ(n→∞のπnの極限)を用いてから算出できる。 別の方法で、定常分布を求めるにはどうするか？

推移確率行列Qが、パラメータθに依存しているときに、θの最尤推定量の求め方

ブラウン運動の性質