t分布の確率密度関数、期待値、分散

一様最小分散不偏推定量とは？

確率変数列｛Xn｝がYに、概収束するとき、確率収束するとき、平均二乗収束するときの式をそれぞれ示せ

大数の弱法則の説明と、式による証明

指数分布の確率密度関数、累積分布関数は？

主成分分析における、第j主成分の、変数xkの主成分負荷量は？ 第j主成分の固有値λj、第j主成分の変数xkにおける固有ベクトルuj,kとする。

モーメント法とは？

大きさNの母集団があらかじめL個の層にわけられており、各層の大きさがNhとする。 層hから、他の層とは独立に大きさnhの標本を抽出(層化非復元無作為抽出)して得られた変量を、xiとする。 母平均μの推定量を表す式と、その期待値、分散を求めよ。 h層の母分散をσ²hとする。

二次元データ(xi、yi)がともに順位データであるばあいに、スピアマンの順位相関係数とケンドールの順位相関係数の式を求めよ。

回帰診断法(回帰分析の誤差項の仮定についての診断)の、正規Q‐Qプロットからわかることを答えよ。

3つの群A、B、Cの分布に差があるかを、クラスカル・ウォリスの検定で考える場合の検定統計量と、使用する分布を答えよ。 群iのサンプルサイズをni、群の順位をRi、群の順位の平均をRiバー、各群のサンプルサイズの合計をN、順位の中央値N~とする。

十分統計量とは？

事象ABCが与えられたとき、どのような式が成り立つときに、AとBは条件付き独立と言えるか。

離散一様分布の期待値、分散、確率母関数を求めよ。

確率変数Xの分布関数F(X)が、〜かつ〜のとき、分位点関数は、分布関数の〜になる。

二項分布の期待値、分散、確率母関数を求めよ

デルタ法とは？

漸近正規性とは？

小数法則を説明

平均二乗誤差のバイアス・バリアンス分解とは？

表が出る確率がqのコインを繰り返し投げる試行において、n回目に表が出るときXn=1、裏が出るときXn=2となる確率変数Xを考える。 確率変数列を考えると、任意の自然数nで、πn=(q,1-q)となり、定常分布を同じになることを示せ。

実数の確率変数列Xnと集合B∈R(実数の全体集合)に対して、マルコフ性と、状態空間について説明せよ。

混合正規分布の確率密度関数と、累積分布関数

群Aの点数が30、20、52で、群Bの点数が40、50、35とする。 帰無仮説を、２つの群の成績の分布は同じ、対立仮説を群Aの成績の分布の形は、群Bと同じだが、悪い方にズレているとして、ウィルコクソンの順位和検定によって片側P値を求めよ。

ベータ分布の確率密度関数、期待値、分散

離散確率変数X、Yの同時確率関数p(x,y)から、累積分布関数、Xの周辺分布関数、Xを与えたときの条件付き確率関数をもとめよ。

成功確率p、失敗確率q、失敗回数xとした時の幾何分布において、期待値、分散、確率母関数を求めよ。

群Aの点数が30、20、52で、群Bの点数が40、50、35とする。 帰無仮説を、２つの群の成績の分布は同じ、対立仮説を群Aの成績の分布の形は、群Bと同じだが、悪い方にズレているとして、並べ替え検定によって片側P値を求めよ。

ポアソン回帰モデルの式は？ 確率変数Yは、計数値であり、期待値をπとする。また、Yは平均πのポアソン分布に従うとして、p個の説明変数xで回帰する。

二項分布から、ポアソン分布を導出せよ。 (二項分布においてnp=λに固定し、n→∞にする。つまり、p=λ/n→0)

正規分布のモーメント母関数は？

確率変数X、Yが存在するとき、aX+bYの確率密度関数を求めるやり方を答えよ。 Xの確率密度関数をf(x) Yの確率密度関数をf(Y)

確率母関数G(s)の公式 整数値をとる確率変数Xの確率関数をp(x) 任意の実数s

スツルスキーの補題とは？

中心極限定理とは？

サイコロを30回投げたとき、数字の3が10回以上現れる確率の近似値を求めよ。ただし、連続修正する。

ジャックナイフ法とは?

ポアソン過程が満たす性質

主成分分析とは？

共分散をＥ(X)、Ｅ(Y)、Ｅ(XY)、相関係数をCov(X,Y)、V(X)、V(Y)で表せ

試行回数n₁、成功確率θ₁の二項分布に従う確率変数X₁と、試行回数n₂、成功確率θ₂の二項分布に従う確率変数X₂における母比率の差の検定を考える。 帰無仮説のもとで、最尤推定量を求めることで、使える検定統計量を求めよ。

大きさNの有限母集団から、非復元単純無作為抽出で、大きさnの標本抽出したとき、標本平均の、期待値と分散は？

独立増分性と定常増分性の説明

分布収束の便利な性質③ 確率変数列Xnのモーメント母関数と確率変数Xのモーメント母関数の間にどのような関係が成り立つと、XnがXに分布収束するか。

点数差 -15, -9, 0, 6, 11, 20, 25において、符号検定をする方法を示せ。

確率母関数やモーメント母関数の性質は？ 〜と一対一で対応 独立な変数の〜が母関数の〜に対応

確率変数Yの期待値をπ、Yの確率分布として指数型分布族を仮定する。 指数型分布族について、式を示せ。

2変量正規分布に従う確率ベクトルの成分の任意の1次結合は1変量の正規分布に従う。 これを式で表せ

直行表において、相互作用の列に、特定の因子を割り付けたことで、ある効果と他の効果が入り込んで、分離できなくなることをなんというか

40人の学生に対して、補習前後の点数の差を求めたところ、5人が0点で、正順位和が420だった。補習の効果を確認するため、有意水準5%の片側検定を符号付き順位検定を用いて行え。ただし、正規分布近似を用いて良い。

定常分布とは？

連続一様分布のモーメント母関数、期待値、分散

t分布の確率密度関数は、n=1で〜の確率密度関数と一致し、n→∞で〜の確率密度関数と一致する。

50人のクラスで、前日に番組Aを見た生徒が20人、番組Bを見た生徒が15人、どちらも観た生徒が5人だったとき、どちらの番組も観なかった生徒は何人か。

モーメント母関数m(θ)の公式は、確率母関数のsを何に置き換えたものか

乱塊法とは？

ガウス・マルコフの定理とは？

正規分布の確率密度関数、標準正規分布の確率密度関数と累積分布関数は？

2変量正規分布におけるX1=x1が与えられたときの、X2の条件付き分布における期待値と分散

Xのmステップ推移確率の式を示せ。

歪度と尖度の式をＥ(X)、V(X)、Xを用いて表せ

ポアソン分布の期待値と分散と確率母関数

試行回数n、成功確率θの二項分布に従う確率変数Xで、X/nが最尤推定量であることを示せ。

非心度λの非心カイ二乗分布のモーメント母関数、期待値、分散

T(X)が、パラメータθの十分統計量のとき、確率密度関数を、適当な関数hとgを用いて表せ。 また、表した式から、最尤推定量に対してどのようなことが言えるか？

群Aの点数が30、20、52で、群Bの点数が40、50、35とする。 帰無仮説を、２つの群の成績の分布は同じ、対立仮説を群Aの成績の分布の形は、群Bと同じだが、悪い方にズレているとして、並べ替え検定によって片側P値を求めよ。

指数分布のモーメント母関数、期待値、分散

カイ二乗分布の確率密度関数、期待値、分散、モーメント母関数は？

標本配分法のうち、推定量の分散が最小となるようにる、ネイマン配分法を用いても求まる層hの標本の大きさは？ 層の数L、層hの大きさNh、層hの標準偏差σhとする

条件付き確率を用いて、無記憶性がある分布の確率について成り立つ式を答えよ。

点数差 -15, -9, 0, 6, 11, 20, 25において、符号付き順位検定をする方法を示せ。

多項分布に従う確率変数Niが存在し、iは1〜kまでとする。 このときN1とN2の共分散を途中の計算式を詳細に示しながら解け

集合Ｓ上のXを斉時的有限マルコフ連鎖とする。このとき状態iからjへのmステップ推移確率の式と、推移確率行列を表せ。

ガンマ分布において、a=1のとき、どの分布と一致するか。

超幾何分布の期待値と分散

成功確率p、失敗確率q、成功回数r、失敗回数yとして、負の二項分布の期待値、分散、確率母関数を求めよ。

2要素の混合正規分布の場合、二峰性を示すときの条件

標本X1〜Xnから得られた推定量θについて、ジャックナイフ法を使って、ジャックナイフ推定量を求める方法

プロビットモデルの式は？

ガンマ分布のモーメント母関数、期待値、分散

右に裾が長い分布の場合、期待値、最頻値、中央値の関係はどのようになるか

ブラウン運動のパラメータ(μ、σ)推定の方法

確率変数Xの分布関数をF(X)としたとき、分位点関数を表す式を答えよ

ポアソン過程N、独立に同一の分布に従う確率変数列Uからなる、複合ポアソン過程Xtで、モーメント母関数を求めよ。

二次元確率変数ベクトル(Xn,Yn)についての、分布収束について、説明せよ

Xが平均μ、分散σ²の正規分布に従うとき、モーメント母関数を導出せよ。

不良率を指標とする計数抜き取り検査の場合、合格の検査ロットの不良率をp₀、不合格の検査ロットの不良率をp₁とし、サンプルサイズnの中に不良個数をk個とする。 k≦cで合格、k≧c+1で不合格と判定する。 本来合格であるロットが不合格となる確率と、本来不合格であるロットが合格となる確率の式を求めよ

試行回数n、成功確率θの二項分布に従う確率変数Xで、θ=θ₀の帰無仮説とする仮説検定をする。対立仮説が片側対立仮説θ>θ₀の場合、どのような検定量を用いるか。

カテゴリー数I、生起確率pi、総度数n、カテゴリiの観測度数xiにおける適合度検定の統計量の式と、その統計量が従う分布を示せ。 また、イェーツの補正についても説明せよ。

モーメント母関数から、期待値と分散を求めよ

事象A、Bが独立であることについて、条件付き確率の式から求めたP(A∩B)の式からどのような確率同士が等しいと言えるか。

パラメータλのポアソン分布に従う確率変数Xを考える。 帰無仮説 λ=λ₀>0 のもとで、標準正規分布に従う検定統計量を求めよ。

漸近論とは？

漸近有効性は、どのようなときに成り立つか。

最尤法とは？

ブラウン運動の性質

F分布の確率密度関数、期待値、分散

ベルヌーイ分布の期待値、分散、確率母関数を求めよ。

回帰診断法(回帰分析の誤差項の仮定についての診断)の、残差プロットからわかることを答えよ。

被説明変数に、左打ち切り、右打ち切りが発生する場合の、線形モデルをなんというか。